山东省烟台市中英文学校2025届高三数学上学期第一次月考试题

PAGEPAGE10山东省烟台市中英文学校2025届高三数学上学期第一次月考试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．“不等式在上恒成立”的充要条件是（）A． B． C． D．3．已知函数，则（）A．-1 B．0 C．1 D．4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则角B等于（）A． B． C． D．5．在中，为的中点，且，若的面积为，则的长为（）A． B． C．3 D．6．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法探讨代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，许多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（）A．B．C．D．7．定义在上的函数满意，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．8．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，若函数在上单调递减，则正数的最大值为A． B．1 C． D．二、多选题9．若a，b，，，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．10．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（）A．若，则B．若，则是等腰三角形C．若，则是直角三角形D．若，则是锐角三角形11．已知为的重心，为的中点，则下列等式成立的是（）A． B．C． D．12．已知是定义域为R的函数，满意，，当时，，则下列说法正确的是（）A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为4C．当时，函数的最小值为D．方程有10个根三、填空题13．已知，若，则．14．已知平面对量，满意，若，则向量的夹角为______.15．锐角中,分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________．16．《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为__________．四、解答题17．已知函数（1）求函数在区间上的单调增区间：（2）当，且，求的值18．已知的内角、、的对边分别为、、．且．（1）求；（2）若且的面积为6．求的周长．19．已知函.（1）利用“五点法”，完成以下表格，并画出函数在区间上的图象；0π000（2）求出函数的单调减区间；（3）当时，有解，求实数a的取值范围.20．某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深化.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特特性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域（如图所示），其中三角形区域为健身休闲区，四边形区域为文娱活动区，，，，，，为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.（1）求道路的长度；（2）求道路，长度之和的最大值.21．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周支配宽的绿化，绿化造价为200元/，中间区域地面硬化以便利后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/.设矩形的长为.（1）设总造价（元）表示为长度的函数；（2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.22．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若当时，总有，求的最大值．参考答案1．B，，所以.2．A∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m，又∵m⇒△＝1﹣4m＜0，所以m是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，3．A因为，所以.4．A由正弦定理有,又,故,因为,故,即,又,故.5．B设由题得，所以，所以.因为的面积为，所以.所以.所以.D令，可得圆的半径，又，则，再依据题图知，即．故本题答案选．7．C设，则，∴在上是增函数，不等式可化为，即，∴，．8．A依题意，，向左平移个单位长度得到.故，下面求函数的减区间：由，由于故上式可化为，由于函数在上单调递减，故，解得，所以当时，为正数的最大值.故选A.9．BD对于A，由，则，故A不正确；对于B，由，则，故B正确；对于C，当时，，当时，，故C不正确；对于D，由，，所以，故D正确.10．AC对选项A，，故A正确；对选项B，因为所以或，则是等腰三角形或直角三角形.故B错误；对选项C，因为，所以，，，因为，所以，，是直角三角形，故③正确；对D，因为，所以，为锐角.但，无法推断，所以无法推断是锐角三角形，故D错误.11．ABD解：如图，依据题意得为三等分点靠近点的点.对于A选项，依据向量加法的平行四边形法则易得，故A正确；对于B选项，，由于为三等分点靠近点的点，，所以，故正确；对于C选项，，故C错误；对于D选项，，故D正确.12．ABD是定义域为R的函数，由，则，即，又，所以，即，所以，所以函数是偶函数，故A正确；由，依据周期的定义可知函数的最小正周期为4，故B正确；当时，，函数的最小值为，由，所以为对称轴，所以当时，函数的最小值为，故C不正确；作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，又与为偶函数，由对称性可知方程有10个根，故D正确.试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以．14．∵，，∴，∴．设向量的夹角为，则，又，∴．15．，由得，又为锐角三角形，，又，即，解得，.由正弦定理可得，解得，又，，.16．3如图，延长到点，使，是线段的中点，四边形是平行四边形，，在中，，，当且仅当等号成立在中，，.17．（1）由题意，令，解得，令可得，故函数在区间上的单调增区间为；（2）由可得解得，又，，，.18．（1）因为，所以由正弦定理得，即，所以．因为，所以，可得，所以．（2），所以，由余弦定理得，即，解得，所以的周长为．19．解：（1）列表、画图如下：0000（2）由，，得：，，的单调减区间为：，，，（3），，，，．，．有解，即有解，故，．20．（1）如图，连接，在中，由余弦定理得，所以，因为，所以，又，所以，在中，，，，由正弦定理得，所以，或（舍去），所以，，得，即的长度是.（2）设，因为，所以，在中，由正弦定理得，因为，所以，，所以，因为，所以，所以当，即时，取得最大值，即道路，长度之和的最大值为.21．（1）由矩形的长为，则矩形的宽为，则中间区域的长为，宽为，则定义域为则整理得，（2）当且仅当时取等号，即所以当时，总造价最低为元22．（1）当时