2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步阶段性评估1习题含解析北师大版必修2

阶段性评估(一)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列平面图形中，能够旋转得到左图的是(A)解析：由四个选项中的平面图形旋转后与原图比较知A正确．2．下列说法错误的是(D)A．多面体至少有四个面B．长方体、正方体都是棱柱C．九棱柱有9条侧棱、9个侧面，侧面均为平行四边形D．三棱柱的侧面为三角形解析：对于A，面最少的多面体是三棱锥，故多面体至少有四个面，故A正确；对于B，长方体和正方体都是四棱柱，故B正确；对于C，由棱柱的定义知九棱柱有9条侧棱、9个侧面，侧面均为平行四边形，故C正确；对于D，三棱柱的侧面为平行四边形，故D错误．3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(D)A．AB B．ADC．BC D．AC解析：还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．4．已知正方体被过其中一面的对角线和它对面相邻两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主视图与俯视图如图所示，则它的左视图是(A)解析：由题意可知截去三棱台后的几何体是七面体，左视图的轮廓是正方形，正方形内有一条虚线，故选A.5．如图为某几何体的三视图，则此几何体为(C)A．球与三棱柱的组合体 B．半球与圆柱的组合体C．半球与圆锥的组合体 D．半球与三棱柱的组合体解析：明显是半球与圆锥的组合体．6．已知△ABC是边长为a的正三角形，那么△ABC平面直观图△A′B′C′的面积为(A)A.eq\f(\r(6),16)a2B.eq\f(\r(3),32)a2C.eq\f(\r(3),16)a2D.eq\f(\r(6),8)a2解析：正三角形的AB边上的高为CM＝eq\f(\r(3),2)a，在直观图中的长度为C′M′＝eq\f(\r(3),4)a，故△A′B′C′的面积为eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(3),4)a·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),16)a2.7．已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是(B)A．上部分是一个圆锥、下部分是一个圆柱B．上部分是一个圆锥、下部分是一个四棱柱C．上部分是一个三棱锥、下部分是一个四棱柱D．上部分是一个三棱锥、下部分是一个圆柱解析：由三视图中三角形与圆知组合体中有圆锥，由俯视图知有一个四棱柱．8．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为(B)A．4 B．4eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8解析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面VAB，其面积S＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).故选B.9．直角边分别为1和eq\r(3)的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是(C)A．等腰直角三角形B．边长为eq\r(3)的等边三角形C．边长为2的等边三角形D．不能确定解析：由俯视图知长为eq\r(3)的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．10．底面水平放置的正三棱柱的全部棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为(A)A．2eq\r(3)B．3C.eq\r(3) D．4解析：当主视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S左＝2eq\r(3).11．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是(D)A．2 B．2eq\r(2)C.eq\r(3) D．2eq\r(3)解析：由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A－BCD，由三视图知正方体的棱长为2.所以S△ABD＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△ADC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＝2.所以所求的最大面积为2eq\r(3).故选D.12．如图所示，在透亮塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，则有下列说法：①水的形态成棱柱形(如图1)；②水的形态成棱台形(如图2)；③水的形态成棱锥形(如图3)．其中正确的说法是(A)A．① B．①②C．②③ D．①②③解析：①正确；②③中水的形态是棱柱形．故选A.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．一个棱柱至少有5个面，面数最少的棱锥有4个顶点，顶点最少的棱台有3条侧棱．解析：由棱柱、棱锥、棱台的定义可得．14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为图中的解析：点M，N在平面ADD1A1上的正投影分别是AA1，AD的中点，由此可得三角形MND在平面ADD1A15．已知正三棱锥V—ABC的主视图、俯视图如图所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，则该三棱锥的左视图的面积为6.解析：此正三棱锥的侧棱长是4，底面正三角形的边长是2eq\r(3)，而其左视图是等腰三角形，底边长是2eq\r(3)，高是三棱锥的高，即为2eq\r(3)，所以左视图的面积是6.16．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于2.解析：由三视图可知，这是一个三棱柱，内切球在主视图中的投影是主视图的内切圆，设其半径为r，依据三角形面积公式有eq\f(1,2)(6＋8＋10)r＝eq\f(1,2)×6×8，解得r＝2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示的几何体的侧面绽开图是一个矩形，且几何体的底面边长均为3，侧面的棱长为5，已知点P是棱AA1上一动点，Q是棱BB1上一动点，求CP＋PQ＋QC1的最小值．解：将几何体沿棱CC1剪开，其侧面绽开为平面图形，如图所示，CP＋PQ＋QC1的最小值即平面图中矩形对角线CC1的长，所以(CP＋PQ＋QC1)min＝eq\r(3＋3＋32＋52)＝eq\r(106).18．(12分)如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝BO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．解：法一：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)，梯形的高D′E′＝eq\f(\r(2),4)，于是梯形A′B′C′D′的面积为eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(3\r(2),8).法二：梯形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)(DC＋AB)×OD＝eq\f(1,2)(1＋2)×1＝eq\f(3,2).所以梯形ABCD直观图的面积为S′＝eq\f(\r(2),4)S＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(3,2)＝eq\f(3\r(2),8).19．(12分)如图所示是一个半圆柱OO1与三棱柱ABC—A1B1C1的组合体，其中，圆柱OO1的轴截面ACC1A1是边长为4的正方形，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥解：由题意可知几何体的主视图与左视图都是中间有一条线段的矩形，俯视图由半圆与等腰直角三角形组成，如图：20．(12分)依据所给三视图，画出物体的直观图．解：(1)画轴．建立空间直角坐标系，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①.(2)画圆柱的两底面和圆台的上底面．画出底面圆O，在z轴上截取点O′，使OO′等于三视图中相应高度．过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出底面圆O′(与画圆O一样)．再在z轴上截取点O″，使O′O″等于三视图中相应高度．过O″作Ox的平行线O″x″，Oy的平行线O″y″，利用O″x″与O″y″画出底面圆O″.(3)成图．连接AA′，A′A″，B″B′，B′B，整理得到三视图所表示的立体图形的直观图，如图②.21．(12分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD—A1B1C1D1解：过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和eq\r(2)x.∵△VA1C1∽△VMN，∴eq\f(\r(2)x,2r)＝eq\f(h－x,h).∴eq\r(2)hx＝2rh－2rx，∴x＝eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).即圆锥内接正方体的棱长为eq\f(2rh,2r＋\r(2)h).22．(12分)圆台的上、下底面半径分别为5cm,10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．解：(1)如右图所示，将侧面绽开，绳子的最短距离为侧面绽开图中AM的长度，θ＝eq\f(10－5,20)×