天津市和平区第一中学2025届高三数学上学期10月月考试题含解析

PAGE19-天津市和平区第一中学2025届高三数学上学期10月月考试题（含解析）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺当!一、选择题：1.已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|≥﹣1}，则A∪B＝（）A.（﹣1，2） B.（﹣1，2] C.（0，1） D.（0，2）【答案】B【解析】【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．【详解】∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础学问，考查运算求解实力，是基础题．2.对一切，恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得的取值范围，依据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为，再解一元二次不等式求得的取值范围.【详解】解：对一切，恒成立，转化为：的最大值，又知，的最大值为；所以，解得或.故选：B.【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3.把函数图象上全部点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最终所得曲线的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出图像变换最终得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.【详解】由题得图像变换最终得到的解析式为，令，令k=-1,所以.故选：A【点睛】本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于基础题.4.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过分段法，依据指数函数、对数函数和三角函数的性质，推断出，由此选出正确结论.【详解】解：∵，，，；∴.故选：C.【点睛】本小题主要考查利用对数函数、指数函数和三角函数的性质比较大小，考查分段法比较大小，属于基础题.5.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及二倍角公式，化简求得的值.【详解】解：∵，则,故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式和二倍角公式进行恒等变换，求表达式的值，属于基础题.6.已知是定义在上的奇函数，若，，则的值为（）A.-3 B.0 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】依据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数的周期，即可求出结果.【详解】∵为奇函数，∴.又，所以，因此，∴函数是周期为4的周期函数，所以.又，，因此.故选A.【点睛】本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，敏捷运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.7.用边长为的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设截去小正方形的边长为x,求出铁盒的容积的解析式，再利用导数求函数的最值和此时x的值得解.【详解】设截去的小正方形的边长为x,则铁盒的长和宽为18-2x,高为x,所以，所以，所以函数在（0,3）单调递增，在（3,9）单调递减，所以当x=3时，函数取最大值.故选:C【点睛】本题主要考查导数的应用，意在考查学生对该学问的理解驾驭水平和分析推理应用实力.8.设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先留意到，是函数的一个零点.当时，将分别常数得到，构造函数，画出的图像，依据“函数与函数有一个交点”结合图像，求得的取值范围.【详解】解：由恰有两个零点，而当时，，即是函数的一个零点，故当时，必有一个零点，即函数与函数必有一个交点，利用单调性，作出函数图像如下所示，由图可知，要使函数与函数有一个交点，只需即可.故实数的取值范围是.故选：A.【点睛】本小题主要考查已知函数零点个数，求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知函数，其中，，其图象关于直线对称，对满意的，，有，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据已知得到函数两个对称轴的距离也即是半周期，由此求得的值，结合其对称轴，求得的值，进而求得解析式.依据图像变换的学问求得的解析式，再利用三角函数求单调区间的方法，求得的单调递减区间.【详解】解：已知函数，其中，，其图像关于直线对称，对满意的，，有，∴.再依据其图像关于直线对称，可得，.∴，∴.将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像.令，求得，则函数的单调递减区间是，，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图像与性质求函数解析式，考查三角函数图像变换，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.二、填空题：10.已知复数的实部为－1，则________【答案】【解析】【分析】化简为的形式，依据实部为求得的值，由此求得，进而求得.【详解】解：∵，∴，即.∴，则.故答案：.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数实部的概念和运算，考查复数模的求法，属于基础题.11.已知，则值是________.【答案】【解析】【分析】先将已知条件两边平方，求得，再依据，求得的值.【详解】解：把，两边平方得：，即，则，则.故答案为：.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式的运用，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则，的值分别为________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先求得函数的导函数，利用切点和斜率列方程，解方程求得的值.【详解】解：得，曲线在点处的切线方程为.，，即，，解得，，故答案为：（1）；（2）.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关曲线切线方程的问题，考查方程的思想，属于基础题.13.已知函数f(x)＝||，实数m，n满意0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________.【答案】9.【解析】【分析】先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再依据函数的单调性得到m,n的值，即得解.【详解】因为f(x)＝|log3x|＝,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)＝f(n)，可得,则,所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)＝－log3m2＝解得m＝，则n＝3，所以＝9.故答案为：9【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在考查学生对这些学问的理解驾驭水平，属于中档题.14.已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放在甲盒中，放入个球后，甲盒中含有红球的个数为，则的值为________【答案】【解析】【分析】当抽取个球时，的取值为，依据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.当抽取个球时，的取值为，依据古典概型概率计算公式，计算出概率，并求得期望值.【详解】解：甲盒中含有红球的个数的取值为1，2，则，.则；甲盒中含有红球的个数的值为1，2，3，则，，.则.∴.故答案为：.【点睛】本小题主要考查随机变量期望值的计算方法，考查古典概型概率计算公式，考查组合数的计算，属于中档题.15.已知函数，有以下结论：①若，则；②在区间上是增函数；③的图象与图象关于轴对称；④设函数，当时，。其中正确结论为__________。【答案】②③④【解析】【分析】首先化简函数解析式，逐一分析选项，得到答案.【详解】①当时，函数的周期为，，或，所以①不正确；②时，，所以是增函数，②正确；③函数还可以化简为，所以与关于轴对称，正确；④，当时，，，④正确故选②③④【点睛】本题考查了三角函数的化简和三角函数的性质，属于中档题型.三、解答题：16.已知，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，可得的值.（II）先求得的值,再利用二倍角公式结合齐次式计算求得、的值,再利用两角和的正弦公式求得的值.【详解】解：（I）∵已知，，∴，∴.（II）∵，∴，∴，【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式，考查齐次式的计算，考查两角和的正弦公式，属于中档题.17.已知函数，为的导数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；（Ⅲ）设，若对随意，均存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）将代入求出切点坐标，由题可得，将代入求出切线斜率，进而求出切线方程。（Ⅱ）设，则，由导函数探讨的单调性进，而得出答案。（Ⅲ）题目等价于，易求得，利用单调性求出的最小值，列不等式求解。【详解】（Ⅰ），所以，即切线斜率，且，从而曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）设，则.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.（Ⅲ）由已知，转化为，且的对称轴所以.由(Ⅱ)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以当时，.所以，即，因此，的取值范围是.【点睛】导数是高考的重要考点，本题考查导数的几何意义，利用单调性解决函数的恒成立问题，存在性问题等，属于一般题。18.已知函数f（x）=sin（2ωx+）+sin（2ωx-）+2cos2ωx，其中ω＞0，且函数f（x）的最小正周期为π（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调增区间（3）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-，]上有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)1.(2)[-+kπ，+kπ]，k∈Z，(3)见解析.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用三角函数周期公式可求的值．（2）由正弦函数的单调性可求的单调增区间．（3）作出函数在上的图象，从图象可看出，可求当曲线与在∈上有两个交点时，2，即可得解实数的取值范围．【详解】（1）由三角恒等变换的公式，可得f（x）=sin（2+）+sin（2-）+2=sin2+cos2+sin2-cos2+1+cos2=sin2+cos2+1，又因为T==π，所以．（2）由2kπ-2+2kπ+，k∈Z，解得：-+kπ+kπ，k∈Z，可得f（x）的单调增区间为：[-+kπ，+kπ]，k∈Z，（3）作出函数在上的图象如图：函数g（x）有两个零点，即方程有两解，亦即曲线与在x∈上有两个交点，从图象可看出f（0）=f（）=2，f（）=+1，所以当曲线与在x∈上有两个交点时，则2，即实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，其中解答合理利用三角恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了计算实力和数形结合思想的应用，属于中档题．19.设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在其次象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）依据离心率和弦长列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（II）设出两点的坐标，利用的面积与面积的关系得到，利用向量结合平面对量共线的坐标运算，求得两点横坐标的关系.分别联立直线的方程与直线、直线的方程与椭圆的方程，依据两点横坐标的关系列方程，解方程求得的值.【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得∴，，所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）设点，，由题意，且由的面积是面积的3倍，可得，所以，从而，所以，即.易知直线的方程为，由消去，可得由方程组消去，可得.由，可得，整理得，解得，或.当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去.所以，的值为.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查两条直线交点、直线和椭圆交点坐标的求法，考查方程的思想，考查运算求解实力，属于中档题.20.已知函数，，（Ⅰ）当，时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）当时，若对随意的，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当，时，若方程有两个不同的实数解，求证：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；（Ⅱ）对，都成立，则对，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；（Ⅲ）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数