安徽省合肥市肥东县高级中学2025届高三数学下学期5月调研考试试题文含解析

PAGE20-安徽省合肥市肥东县高级中学2025届高三数学下学期5月调研考试试题文（含解析）一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.集合，则是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数的定义域及值域分别求出集合和集合，求出集合的补集，即可求得.【详解】∵集合∴∵集合∴∵∴∴故选C.【点睛】本题考查函数的定义域与函数的值域的求法，集合的交、并、补的运算，考查计算实力．2.设复数满意，则（）A.5 B. C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】利用复数的四则运算将复数化简，然后求模即可.【详解】由，得，则.故选B.【点睛】本题考查复数的四则运算和复数模长的计算公式，属于简洁题.3.已知，则下列不等式中恒成立的是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】构造函数在上是减函数，已知,则，故A正确;,故B不正确；C构造函数是增函数，故，故选项不正确；D.，构造函数是增函数，故，所以选项不正确.故答案为A.4.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知求得，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解即可．【详解】因为角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，所以，则．故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查直线的斜率与倾斜角的关系，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．5.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击竞赛，每人射击1次，击中的环数如表：学生1号2号3号4号5号6号甲队677877乙队676797则以上两组数据的方差中较小的一个为A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】视察两组数据的波动性大小推断方差大小，再利用平均数公式计算平均数，利用方差公式求方差的值．【详解】甲组数据为：6，7，7，8，7，7，乙组数据：6，7，6，7，9，7，所以甲组数据波动较小，方差也较小，甲组数据的平均数为，方差为，故选B．【点睛】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．算术平均数公式；样本方差公式.6.已知拋物线的焦点为，过的直线与曲线交于两点，，则中点到轴的距离是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】分析：将点到焦点的距离转化为到准线的距离，可得，从而求出中点横坐标，进而可得结果.详解：由，得，设，等于点到准线的距离，同理，等于到准线的距离，，，中点横坐标为，中点到轴的距离是，故选B.点睛：与抛物线焦点、准线有关的问题，一般状况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题肯定要留意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决7.函数在区间上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】很明显，且，则函数在区间内由两个零点，选项A,B错误；结合，且可解除C选项.本题选择D选项.8.下列推断正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.函数的最小值为2C.当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题D.命题“”的否定是“”【答案】C【解析】【分析】利用充分条件推断A的正误；基本不等式推断B的正误；命题的真假推断C的正误；命题的否定推断D的正误【详解】解：当时，成立，不成立，所以A不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以B不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以C正确；命题“,”的否定是“,”，所以D不正确，故选：C.【点睛】本题以命题的真假关系的推断为载体，主要考查了充分必要条件的推断，全称命题与特称命题的否定及基本不等式的应用等学问的综合应用，属于中档题．9.已知分别是内角的对边，，当时，面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】详解】由，故（当且仅当时取等号），故选：C．10.设满意，且在上是增函数，且，若函数对全部，当时都成立，则的取值范围是A. B.或或C.或或 D.【答案】B【解析】若函数f（x）≤t2﹣2at+1对全部的x∈[﹣1，1]都成立，由已知易得f（x）的最大值是1，∴1≤t2﹣2at+1⇔2at﹣t2≤0，设g（a）=2at﹣t2（﹣1≤a≤1），欲使2at﹣t2≤0恒成立，则⇔t≥2或t=0或t≤﹣2．故选B．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的状况下把参数分别出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要留意分别参数法不是万能的，假如分别参数后，得出的函数解析式较为困难，性质很难探讨，就不要运用分别参数法.11.三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最终确定球的表面积．【详解】解：依据题意，得到三棱锥的外接球的球心在等边三角形的中心高线和过直角三角形斜边的中点的高的交点位置，如图所示：三棱锥中，平面平面，，，，所以，，在直角三角形中，，解得：，所以，三棱锥的外接球半径，则，故选．【点睛】本题考查的学问要点：三棱锥的外接球的球心的确定，球的表面积公式的应用．12.已知，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：依据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别推断出的取值范围，结合函数的单调性，从而可得结果.详解：由指数函数的性质可得，，由对数函数的性质可得，，，又，在上递增，所以，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是推断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性干脆解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知两个不相等的平面对量且，则_____.【答案】【解析】∵∴，又∴即，解得又∴故答案为14.若x，y满意：，则的最大值是______．【答案】4【解析】【分析】先画出满意条件的平面区域，求出A的坐标，结合图象求出z的最大值即可．【详解】解：画出x，y满意：的平面区域，如图：由，解得而可化为，由图象得直线过时z最大，z的最大值是：4，故答案为4．【点睛】本题考察了简洁的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．15.已知双曲线的左焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】依据双曲线几何性质得渐近线斜率取值范围，再解出离心率取值范围.【详解】因为过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支有且只有一个交点，所以【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再依据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.已知为球的直径，，是球面上两点且，.若球的表面积为，则棱锥的体积为__________．【答案】【解析】如图，由题意球的表面积为，可得球的半径为，知，，所以平面，，所以，所以棱锥的体积．点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的提及的求法，解答时要仔细审题，留意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两相互垂直时，可复原为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再依据勾股定理求球的半径；（3）假如设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.三､解答题(本大题共6小题，共70分.其中22､23为选考题.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.在数列和等比数列中，，，．1求数列及的通项公式；2若，求数列的前n项和．【答案】（1）；;（2）.【解析】【分析】Ⅰ先求出公比，可得数列的通项，从而可求的通项公式；Ⅱ利用错位相减法，可求数列的前n项和．【详解】Ⅰ依题意，，设数列的公比为q，由，可知，由，得，又，则，故，又由，得Ⅱ依题意，则得，即，故【点睛】本小题主要考查等比数列、数列通项公式、数列求和等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程思想等．数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等.18.如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．再由DC∥AE，DC＝AE能得到DC∥EB，DC＝EB．说明四边形DEBC为平行四边形．可得CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．（Ⅱ）由题意依据勾股定理运算得到，又由（Ⅰ）的结论得到，可得平面，再利用等体积转化有，计算结果.【详解】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，,又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查了三棱锥体积的求法，运用了转化思想，是中档题．19.某客户考察了一款热销的净水器，运用寿命为十年，改款净水器为三级过滤，每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在运用过程中，一级滤芯须要不定期更换，其中每更换个一级滤芯就须要更换个二级滤芯，三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个元，二级滤芯每个元.记一台净水器在运用期内须要更换的二级滤芯的个数构成的集合为.如图是依据台该款净水器在十年运用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.

（1）结合图，写出集合；（2）依据以上信息，求出一台净水器在运用期内更换二级滤芯的费用大于元的概率（以台净水器更换二级滤芯的频率代替台净水器更换二级滤芯发生的概率）；（3）若在购买净水器的同时购买滤芯，则滤芯可享受折实惠（运用过程中如需再购买无实惠）.假设上述台净水器在购机的同时，每台均购买个一级滤芯、个二级滤芯作为备用滤芯（其中，），计算这台净水器在运用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据，假如客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为个，则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少？【答案】（1）；（2）0.3；（3）见解析.【解析】分析】（1）依据直方图和一级滤芯和二级滤芯之间的关系，可得答案；（2）更换二级滤芯的费用大于元，即更换4个二级滤芯，转化为更换12个一级滤芯，由直方图得出答案；（3），，可以分为和两种状况，分别算出其平均数，得到结论【详解】（1）由题意可知当一级滤芯更换、、个时，二级滤芯须要更换个，当一级滤芯更换个时，二级滤芯须要更换个，所以；（2）由题意可知二级滤芯更换个，需元，二级滤芯更换个，需元，在台净水器中，二级滤芯须要更换个的净水器共台，二级滤芯须要更换个的净水器共台，设“一台净水器在运用期内更换二级滤芯的费用大于元”为事务，所以；（3）因为，，（i）若，，则这台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为（ii）若，，则这台净水器在更换滤芯上所需费用的平均数为所以假如客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数为个，客户应当购买一级滤芯个，二级滤芯个．【点睛】本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数等问题，关键是要读懂题意.属于中档题.20.过圆上的点作圆的切线，过点作切线的垂线，若直线过抛物线的焦点.（1）求直线与抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，点在抛物线的准线上，且，求的面积.【答案】（1）.；（2）见解析.【解析】【试题分析】（1）利用斜率求得过点的切线方程，由此得到垂线的斜率，再由点斜式得到直线的方程，令可求得焦点的坐标，由此得出抛物线的方程.（2）联立方程组求得两点的坐标.设出点的坐标，利用向量的数量积求得点的坐标，利用弦长公式和点到直线的距离公式得出面积.【试题解析】（1）过点且与圆相切的直线方程为，斜率为，故直线的斜率为，故直线的方程为：，即.令，可得，故的坐标为，∴，抛物线的方程为；（2）由可得，设，，则，，，点的坐标分别为，.设点的坐标为，则，，则，解之得或，∴，则点到直线的距离为，故或，当时，的面积为.当时，的面积为.21.设函数,其中为自然对数的底数．（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点．【答案】（1）的单调递减区间为,单调递增区间为；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；（2）分类探讨，利用导数探讨函数的单调性，求得函数的值域，从而证得结果.【详解】（1）若,则,∴．令,则,当时,即单调递增,又,∴当时,单调递减,当时,单调递增．∴的单调递减区间为,单调递增区间为．（2）当时,，明显无零点．当时,(i)当时,，明显无零点．(ii)当时，易证，∴,∴．令，则，令，得，当时，；当时，，故，从而，明显无零点.综上,无