专题09【五年中考+一年模拟】几何压轴题-备战2023年成都中考数学真题模拟题分类汇编(原卷版+解析)

专题09几何压轴题1．（2022•成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．【尝试初探】（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．【深入探究】（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．【拓展延伸】（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．2．（2021•成都）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．3．（2020•成都）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．4．（2019•成都）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．（1）求证：；（2）当时（如图，求的长；（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．5．（2018•成都）在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．6．（2022•武侯区校级模拟）在菱形中，，，是射线上一点，连接，将沿折叠，得到△．（1）如图，当点在左侧，且时，求的度数；（2）当时，求线段的长；（3）连接，当时，求线段的长．7．（2022•武侯区模拟）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（1）如图1，若．（ⅰ）当，且时，求的度数；（ⅱ）试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若，当时，求的值．8．（2022•成华区模拟）在中，，，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）连接，是否存在点，使，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．9．（2022•锦江区模拟）如图1，在矩形中，平分交于，过点作交的延长线于点，连接交于点，连接交于点．（1）求证：①；②；（2）求证：；（3）如图2，将绕点旋转得到，连接，．若，，当有最大值时，求的长．10．（2022•金牛区模拟）已知是矩形的对角线，将沿折叠得到，与交点为．（1）如图1，求证：；（2）连接交于点，连接交于点，连接，如图2，①若，，求的值；②若，求的值．11．（2022•天府新区模拟）如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，．（1）求的值；（2）如图2，连接，，将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，，当，，三点在一条直线上时，求的长度．12．（2022•青羊区模拟）在中，，，是边上一点，连接．（1）如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：；（2）如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；（3）如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得△，，对应点分别是，，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．13．（2022•高新区模拟）在中，，，点，分别是，边上的动点，连接，作关于对称的图形△．（1）如图1，当点恰好与点重合，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上，且，求的长；（3）如图3，若，连接，是的中点，连接，在点的运动过程中，求线段长度的最大值．14．（2022•双流区模拟）如图，在菱形中，过点作于点，菱形的对角线交于点，连接．已知，．（1）求证：；（2）连接交于点，求的值；（3）已知点为折线上一动点，连接．当线段的长为何值时，与互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值．15．（2022•温江区模拟）在中，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，若，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接和，与交于点．（1）求证：；（2）若，点在边上运动的过程中，求的最小值；（3）试探究、、之间满足的数量关系（用含的式子表示），并证明．16．（2022•新都区模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为秒．（1）当点落在边上时，求和的面积；（2）当点在边上时，设的面积为，求与之间的函数关系式；（3）连接，直接写出将分成的两部分图形面积相等时的值．17．（2022•青羊区校级模拟）（1）如图①，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长；（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．（ⅰ）求线段的长；（ⅱ）若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．18．（2022•龙泉驿区模拟）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．问题情景：数学课上，老师让同学们以等腰三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，已知为等腰三角形，，，为边上一点（不与，重合），将沿翻折后得到，连接．操作发现：（1）如图1，与交于点，求证：；探究发现：（2）如图2，当时，探究线段，，之间的数量关系；探究拓广：（3）若，当时，求的面积．19．（2022•锦江区校级模拟）（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且．则；（2）模型应用如图②，在中，．若，，求的长；（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于．若，，求的面积．20．（2022•新都区模拟）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，把绕点旋转，点为射线与的交点．（1）如图1，当点在线段上时，求证：；（2）若，，①如图2，当点在延长线上时，求的长；②在旋转过程中，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值．21．（2022•锦江区校级模拟）如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，连接，以为边在上方作正方形，连接，，交于点．（1）求证：；（2）如图2，延长，交于点．若，求线段的长；（3）在点的运动过程中，求的最小值．22．（2022•高新区校级模拟）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．①判断与的数量关系：；②推断：的值为；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．23．（2022•郫都区模拟）在四边形中，点，分别是边，上的点，连接、并延长，分别交，的延长线于点、．（1）如图1，若四边形是正方形，，连接，求证：；（2）如图2，若四边形是菱形，，，设，，求与的函数关系式；（3）如图3，若四边形是矩形，，，，求的长．24．（2022•成都模拟）如图，在矩形中，，，平分交于点．连接，点是上一动点，过点作交于点．将绕点旋转得到△．（1）如图1，连接，，求证：；（2）当点恰好落在直线上时，若，求的值；（3）如图3，连接，当与交于点时，猜想与的数量关系，并证明．25．（2022•青羊区校级模拟）【探究发现】（1）如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合）．连接，作点关于直线的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，．①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长交于点．②进一步探究发现，当点与点重合时，的度数为．【类比迁移】（2）如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于直线的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，，，当，，时，求的长；【拓展应用】（3）如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，连接，作点关于直线的对称点，若恰好落在菱形的边上（不与顶点重合），求的长．26．（2022•锦江区校级模拟）取一张矩形纸片，为边上一动点，将沿直线折叠得．（1）如图1，连接，，，当时，试判断的形状；（2）如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；（3）如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得△，分别连接，，取中点连接，试探究线段与的数量关系．27．（2022•郫都区模拟）如图，矩形中，点为对角线上一点，过点作交边于点．（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，连接，探究线段、、的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若面积的最大值为6，求的长．28．（2022•双流区校级模拟）如图1，在菱形中，是对角线，，点、分别是边、上的动点，且满足，连接与相交于点．（1）求的度数．（2）如图2，作交于点，若，，求的值．（3）如图3，点为线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当构成等腰三角形时，请直接写出的长．29．（2022•简阳市模拟）已知在正方形中，是边上一动点，作点关于的对称点，交于点，连结．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，过点作交的延长线于点，连结，．若，试探究四边形的形状，并说明理由；（3）如图3，连结，在上截取，点，分别是，上的动点．若正方形的面积为32，直接写出周长的最小值．30．（2022•武侯区校级模拟）在矩形中，点为射线上一动点，连接．（1）当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线时，求的长．31．（2022•青羊区校级模拟）在中，，，点为线段上一动点（点不与、重合），连接，分别以，为斜边向右侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．（1）当点在的外部时，求证：；（2）如图1，当，，三点共线时，求的面积；（3）如图2，当点在的延长线上时，其它条件不变，连接，若，求的长．32．（2022•成都模拟）如图，在等腰中，，，点在上，点在上，过点作分别交，于点，，连接，，且满足．（1）求证：；（2）当时，求的值；（3）当点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．33．（2022•郫都区模拟）（1）如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，延长交于点，连接，．求证：；（2）如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，，．如果，，，求的长；（3）如图③，已知四边形为方形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上时（顶点除外），如果，请直接写出此时的长．34．（2022•青白江区模拟）（1）如图1，在正方形中，点、分别在边和上，于点，求证：；（2）如图2，在矩形中，将矩形折叠，得到四边形，交于点，点落在边上的点处，折痕交边于，交边于，连接交于点；①若，且，，求与的长；②先阅读下面内容，再解决提出的问题，当时，我们可以利用配方法求出此时的取值范围．由题意可知，即，显然此时或，所以或，如图3，若，，请根据前述方法直接写出的最大值及此时的长．专题09几何压轴题1．（2022•成都）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．【尝试初探】（1）在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．【深入探究】（2）若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．【拓展延伸】（3）连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．【答案】见解析【详解】解：（1）四边形和四边形是矩形，，，，，在点的运动过程中，与始终保持相似关系；（2）如图1，是线段中点，，设，，则，，，由（1）知：，，即，，，，，当时，，当时，；综上，的值是．（3）分两种情况：①如图2，，设，，四边形是矩形，，，，，矩形矩形，，，，由（1）知：，，，，，；②如图3，，矩形矩形，，，，，，，，共线，，，，，，，，，由①可知：，，，由勾股定理得：，，（负值舍），，综上，的值是或．2．（2021•成都）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点，的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点，求的长；（3）如图3，连接，，直线交于点，点为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】解：（1），，，，，绕点顺时针旋转得到△，点落在的延长线上，，，△中，，；（2）过作交于，过作于，如图：绕点顺时针旋转得到△，，，，，，，中，，，，，，中，，同理，，，，，，；（3）存在最小值1，理由如下：过作交延长线于，连接，如图：绕点顺时针旋转得到△，，，，，而，，，，，，，，在和△中，，△，，即是中点，点为的中点，是△的中位线，，要使最小，只需最小，此时、、共线，的最小值为，最小为．3．（2020•成都）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1）四边形是矩形，，将沿翻折，使点恰好落在边上点处，，，，，，，四边形是矩形，，，；（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，，，又矩形中，，，，，，，，，，，，，，，．（3）过点作于点，，，，，，，，，设，平分，，，，，设，则，，，解得．．．4．（2019•成都）如图1，在中，，，点为边上的动点（点不与点，重合）．以为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于点，连接．（1）求证：；（2）当时（如图，求的长；（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，．（2）解：如图2中，作于．在中，设，则，由勾股定理，得到，，或（舍弃），，，，，，，，，，，，，，，．（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得．理由：作于，于，于．则，四边形为矩形，，，，，，，，在中，由勾股定理，得，，，，，，，，，，当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，，，，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．5．（2018•成都）在中，，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到△（点，的对应点分别为，，射线，分别交直线于点，．（1）如图1，当与重合时，求的度数；（2）如图2，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；（3）在旋转过程中，当点，分别在，的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】解：（1）由旋转可得：，，，，，，，，，，；（2）为的中点，，由旋转可得，，，，，，，，，，；（3），最小，即最小，，法一：（几何法）取的中点，，，即，当最小时，最小，，即与重合时，最小，，，的最小值，；法二（代数法）设，，由射影定理得：，当最小时，最小，，当时，“”成立，，的最小值，．6．（2022•武侯区校级模拟）在菱形中，，，是射线上一点，连接，将沿折叠，得到△．（1）如图，当点在左侧，且时，求的度数；（2）当时，求线段的长；（3）连接，当时，求线段的长．【答案】见解析【详解】解：（1）如图1中，设交于点．由翻折的性质可知，，，，，；（2）如图2中，过点作于点．四边形是菱形，，，，由翻折的性质可知，，，，，在中，，，，；（3）如图3中，连接，，过点作于，过点作于点，过点作于点，设交于点．，，，，，，，，，可以假设，，，，，，在中，则有，解得或（舍去），，，，设，则，，，，，，经检验，是分式方程的解，．如图4中，当点在的延长线上时，同法可得，，，，设，则，，，，，，经检验，是分式方程的解，，综上所述，满足条件的的值为或．7．（2022•武侯区模拟）如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，在线段上取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（1）如图1，若．（ⅰ）当，且时，求的度数；（ⅱ）试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若，当时，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到，，，，，，，将线段绕点逆时针旋转得到，，，，；，理由如下：过点作于，过点作于，，，，，，又，，，，，，，，，又，，；（3）过点作于，过点作于，，，，，，又，，，，，设，，，，，，，，，，，，．8．（2022•成华区模拟）在中，，，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）连接，是否存在点，使，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，沿直线折叠，点的对应点为，，，；（2）解：设，、交于点，过点作于点，如图：，，，，，，，由折叠可知，，，又，，又，．，设，则，，，，，解答，，，，△是等腰直角三角形，，，，答：的值为；（3）解：存在点，使，理由如下：①当在左侧时，过作于，如图：沿直线折叠，点的对应点为，，，，△是等边三角形，，，，，，，在中，设，则，，、是等腰直角三角形，，，，；②当在右侧时，过作于，如图：同理可得，△是等边三角形，，，、是等腰直角三角形，，在中，设，则，，，，，，综上所述，的值为或．9．（2022•锦江区模拟）如图1，在矩形中，平分交于，过点作交的延长线于点，连接交于点，连接交于点．（1）求证：①；②；（2）求证：；（3）如图2，将绕点旋转得到，连接，．若，，当有最大值时，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：①如图1中，四边形是矩形，，，平分，，，，．②证明：连接交于点，连接，，，四边形是矩形，，，，，，，，五点共圆，．（2）证明：，又，，，，都是等腰直角三角形，，，，，；（3）解：四边形是矩形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，当，，共线时，的值最大，如图中，当点在线段上时，在中，，；如图中，当点在线段的延长线上时，同法可得，综上所述，的长为或．10．（2022•金牛区模拟）已知是矩形的对角线，将沿折叠得到，与交点为．（1）如图1，求证：；（2）连接交于点，连接交于点，连接，如图2，①若，，求的值；②若，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：将沿折叠得到，，，，四边形是矩形，，，，，，，；（2）解：①如图，连接，将沿折叠得到，，平分，垂直平分，，四边形是矩形，，，，，在中，，①设与相交于点，则，，，，，，，在中，，，的值为，②由①知，是的中位线，，，设，，则，，，，，解得，，，．11．（2022•天府新区模拟）如图1，和中，，，边与相交于点，且，连接，．（1）求的值；（2）如图2，连接，，将绕着点在平面内旋转，在旋转过程中是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若，，当，，三点在一条直线上时，求的长度．【答案】见解析【详解】解：（1）不妨设，，，，，，；（2），理由如下：，，即：，，，，，即：，又，，；（3）如图1，当点在上是，由（2）得，，，，，同理可得：，，，，如图2，当点在的延长线上，，综上所述：或．12．（2022•青羊区模拟）在中，，，是边上一点，连接．（1）如图1，是延长线上一点，与垂直，求证：；（2）如图2，过点作，为垂足，连接并延长交于点，求证：；（3）如图3，将（1）中的以点为中心逆时针旋转得△，，对应点分别是，，为上任意一点，为的中点，连接，若，，最大值为，最小值为，求的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，设的延长线交于，，，，，，在和中，，，；（2）证明：如图2，作交的延长线于，，，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如图3，点运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，设上的高是，垂足为，则的轨迹是以为圆心，为半径的圆，运动的轨迹是大圆和小圆围成的圆环，当点运动与小圆交于，此时最小，为，，延长交大圆于，最大，，，，，，，．13．（2022•高新区模拟）在中，，，点，分别是，边上的动点，连接，作关于对称的图形△．（1）如图1，当点恰好与点重合，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上，且，求的长；（3）如图3，若，连接，是的中点，连接，在点的运动过程中，求线段长度的最大值．【答案】见解析【详解】解：（1）由题意可得：，，，，，；（2）如图，过点作于，延长交于点，，，，，设，，，，，，，，，，设，，则，，，，，，，由题意可得：，，，；（3）如图，过点作于，取的中点，连接，，过点作于，，，点是的中点，点是的中点，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当点在的延长线上时，有最大值，，点是的中点，，，，又，，，，，，在中，由勾股定理可得：，的最大值为．14．（2022•双流区模拟）如图，在菱形中，过点作于点，菱形的对角线交于点，连接．已知，．（1）求证：；（2）连接交于点，求的值；（3）已知点为折线上一动点，连接．当线段的长为何值时，与互为余角，并求此时直线与直线所夹锐角的正切值．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是菱形，，，在和中，，，；（2）解：如图1中，延长交于点，交的延长线于点．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）如图2中，当点在上时，连接，连接交于点，设交于点．与互为余角，，，，，，，，，，，，，，，，，．如图3中，当点在上时，连接交于点，设交于点．，，，，，，，，，，，，，，，，综上所述，满足条件的直线与直线所夹锐角的正切值为或1．15．（2022•温江区模拟）在中，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，若，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接和，与交于点．（1）求证：；（2）若，点在边上运动的过程中，求的最小值；（3）试探究、、之间满足的数量关系（用含的式子表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，，，，；（2）解：如图2，，，，，，，，，，，，，取的中点，连接，，，设，，，，，，，，，，当时，的最小值为；（3）解：．证明：如图2，取的中点，，，，，，，，，为的中点，，，在中，，．16．（2022•新都区模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动，以、为邻边构造，设点运动的时间为秒．（1）当点落在边上时，求和的面积；（2）当点在边上时，设的面积为，求与之间的函数关系式；（3）连接，直接写出将分成的两部分图形面积相等时的值．【答案】见解析【详解】解：（1）当点落在边上时，，，，，，为的中位线，，；（2）①如图1，当时，作于，则，，；②如图，当时，作于，则，，同法可得；综上：；（3）当点落在直线上时，将分成的两部分面积相等，有两种情况：①当点在上，且点在上时，如图，过点作于，过点作于，，，，四边形是平行四边形，，在与中，，，，，，，，，解得，当点在上时，此时点在上符合题意，作于，，，，，，，，解得，综上：或．17．（2022•青羊区校级模拟）（1）如图①，在三角形纸片中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的长；（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．（ⅰ）求线段的长；（ⅱ）若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．【答案】见解析【详解】解：（1），，，，将折叠，使点与点重合，，，，，，，；（2）如图②中，，，由题意垂直平分线段，，，，，，，，，，；（3）（ⅰ）如图③中，由折叠的性质可知，，，，，，，，，，，，；（ⅱ）如图③中，，，，，，，点在线段上运动，，，，．18．（2022•龙泉驿区模拟）图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．问题情景：数学课上，老师让同学们以等腰三角形纸片为背景进行探究性活动．如图，已知为等腰三角形，，，为边上一点（不与，重合），将沿翻折后得到，连接．操作发现：（1）如图1，与交于点，求证：；探究发现：（2）如图2，当时，探究线段，，之间的数量关系；探究拓广：（3）若，当时，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，将沿翻折后得到，，，，，，；（2）延长到，使，连接，过点作于点，，，，设，，，，，，，，，，，，，，，将沿翻折后得到，，又，，，，又，△，，又，，，即，，即；（3）①在上截取，使，连接，过点作于，设，，，，，解得，，，，，，，折叠，，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，，，，；②如图，在上截取，使，连接，过点作于点，同理求出，，，是直角三角形，，，．19．（2022•锦江区校级模拟）（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且．则；（2）模型应用如图②，在中，．若，，求的长；（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于．若，，求的面积．【答案】见解析【详解】解：（1）在中，，，，是的外角，，故答案为：；（2）如图1，以为圆心，长为半径画弧交于，作于，，，由（1）得，，，，，，，；（3）如图2，作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，，，，设，则，，，由（1）知：，，，由（2）模型知：，，四边形是矩形，，，，，，．20．（2022•新都区模拟）如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，把绕点旋转，点为射线与的交点．（1）如图1，当点在线段上时，求证：；（2）若，，①如图2，当点在延长线上时，求的长；②在旋转过程中，当四边形为正方形时，直接写出线段长度的值．【答案】见解析【详解】（1）证明：和是等腰直角三角形，，，，，，，，又是等腰直角三角形，，；（2）解：①和是等腰直角三角形，，，，，，，，，又，，，，，，；②当四边形为正方形时，点在线段上，，，，，；如图，当点在线段的延长线上时，同理．综上所述可得的长为或．21．（2022•锦江区校级模拟）如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，连接，以为边在上方作正方形，连接，，交于点．（1）求证：；（2）如图2，延长，交于点．若，求线段的长；（3）在点的运动过程中，求的最小值．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，在和中，，；（2）解：作于，，，，，，，设，，，，，，解得（负值舍去），；（3）解：四边形是正方形，，作点关于的对称点，连接，则的最小值为的长，由勾股定理得，，的最小值为．22．（2022•高新区校级模拟）（1）问题探究：如图1，在正方形中，点，分别在边、上，于点，点，分别在边、上，．①判断与的数量关系：；②推断：的值为；（无需证明）（2）类比探究：如图（2），在矩形中，为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，四边形中，，，，，点、分别在边、上，求的值．【答案】见解析【详解】解：（1）①证明：四边形是正方形，，．．，．．，．故答案为：．②结论：．理由：，，，，四边形是平行四边形，，，，．故答案为：1．（2）结论：．理由：如图2，作于．，，，，，，，，四边形是矩形，，．（3）如图3，过点作，交的延长线于点，过点作，连接，，，，四边形是矩形，，，，，，，，，，且，，且，，，，，，，（不合题意，舍去），，，由（2）的结论可知：．23．（2022•郫都区模拟）在四边形中，点，分别是边，上的点，连接、并延长，分别交，的延长线于点、．（1）如图1，若四边形是正方形，，连接，求证：；（2）如图2，若四边形是菱形，，，设，，求与的函数关系式；（3）如图3，若四边形是矩形，，，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，同理，，，，，，，，，；（2）解：四边形是菱形，，，，，，，同理，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如图，取中点，过点作，交于点，交于点，连接，，，且是中点，，，，，，，，，，，，，，，，且，四边形是平行四边形，且，，四边形是正方形，，四边形是正方形，且，由（2）可得：，，，，，，，，故的长为．24．（2022•成都模拟）如图，在矩形中，，，平分交于点．连接，点是上一动点，过点作交于点．将绕点旋转得到△．（1）如图1，连接，，求证：；（2）当点恰好落在直线上时，若，求的值；（3）如图3，连接，当与交于点时，猜想与的数量关系，并证明．【答案】见解析【详解】（1）证明：，，，，，，即，；（2）如图1，四边形是矩形，，平分，，，，，，由（1）知：，，，，在中，由勾股定理得，，，，综上所述：；（3）如图2，，理由如下：于，（1）得，，，，，，设，，，，，，，，，，，．25．（2022•青羊区校级模拟）【探究发现】（1）如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合）．连接，作点关于直线的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，．①小明探究发现：当点在上移动时，，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长交于点．②进一步探究发现，当点与点重合时，的度数为．【类比迁移】（2）如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，作点关于直线的对称点，的延长线与的延长线交于点，连接，，，当，，时，求的长；【拓展应用】（3）如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，连接，作点关于直线的对称点，若恰好落在菱形的边上（不与顶点重合），求的长．【答案】见解析【详解】（1）①证明：如图①，延长由对称可知，，，，四边形是正方形，，，在和中，，．②解：如图1，当点与点重合时，由对称可知，四边形是正方形，，，由①得到，，故答案为：．（2）解：如图2，延长交于点，由对称可知，点是的中点，，，，是的中位线，点是的中点，，，由（1）①得，，，，，，，，是的中位线，．（3）解：如图3，当落在上时，延长交于点，四边形是菱形，，，，，，同理证得，，，；如图4，当落在上时，延长交于点，由轴对称的性质得出，，，四边形是菱形，，，，，，，，，又，，，，设，则，，，解得，，综上所述，或．26．（2022•锦江区校级模拟）取一张矩形纸片，为边上一动点，将沿直线折叠得．（1）如图1，连接，，，当时，试判断的形状；（2）如图2，连接，当，的最大值与最小值的和为20时，求线段的值；（3）如图3，当点落在边上，分别延长，交于点，将绕点逆时针旋转得△，分别连接，，取中点连接，试探究线段与的数量关系．【答案】见解析【详解】解：（1）结论：是等边三角形．理由：如图1中，由翻折变换的性质可知，，四边形是矩形，，，，，，在和中，，，，，是等边三角形；（2）如图2中，连接，由题意，的最大值为线段的长，设，则最小值为，当，，共线时，的值最小，，，，，，；（3）结论：．理由：如图3中，延长到，使得，连接，，．，，，△，，，由翻折的性质可知，，，，，，又，，，△，，，，，，，，△是等腰直角三角形，．27．（2022•郫都区模拟）如图，矩形中，点为对角线上一点，过点作交边于点．（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，连接，探究线段、、的数量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若面积的最大值为6，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1，连接，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，，在和中，，，，，，，在四边形中，，，，，，；（2）如图2，作于，作于，，四边形是矩形，，四边形是矩形，，，，即：，，，，，，，，，，在中，设，，，，，，，，，；（3）如图3，作于，设，，，，，，，，，，，，．28．（2022•双流区校级模拟）如图1，在菱形中，是对角线，，点、分别是边、上的动点，且满足，连接与相交于点．（1）求的度数．（2）如图2，作交于点，若，，求的值．（3）如图3，点为线段中点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当构成等腰三角形时，请直接写出的长．【答案】见解析【详解】解：（1）四边形是菱形，，，，是等边三角形．，，，，；（2）如图2中，延长至点使得．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等边三角形，，，，，；（3）如图中，当时，连接交于点，连接，．，点在的垂直平分线上，垂直平分线段，点在上，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．如图中，当点与重合时，，延长交于点，设，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，整理得，，解得或（舍弃），，．综上所述，或．29．（2022•简阳市模拟）已知在正方形中，是边上一动点，作点关于的对称点，交于点，连结．（1）如图1，求的度数；（2）如图2，过点作交的延长线于点，连结，．若，试探究四边形的形状，并说明理由；（3）如图3，连结，在上截取，点，分别是，上的动点．若正方形的面积为32，直接写出周长的最小值．【答案】见解析【详解】解：（1）如图1，连结，点、关于对称，，四边形是正方形，，．．，．在四边形中，，．即；（2）四边形是平行四边形，理由如下：如图2，连接．，．，．在中，，，又四边形是正方形，，，又，．．，．．又．四边形是平行四边形；（3）周长的最小值为．如图3，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连结，，．连结交于点，交于点，连结．，则周长的最小值为的长，由对称知．．．，．．．，．．，．，．于点，点在以为直径的圆弧上运动，取中点，则．当、、三点共线时最小．最小值为，最小值为．周长的最小值为．30．（2022•武侯区校级模拟）在矩形中，点为射线上一动点，连接．（1）当点在边上时，将沿翻折，使点恰好落在对角线上点处，交于点．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点的对应点为，当点，，三点共线