第2讲直角三角形八年级数学下册讲义（北师大版）

第2讲直角三角形目标导航目标导航1.掌握直角三角形的性质；2.掌握直角三角形的判定条件；3.熟练运用勾股定理及其逆定理进行计算和证明知识精讲知识精讲知识点1.定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2.性质（1）直角三角形的两锐角互余（2）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（4）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半3.判定（1）有一个角是90°的三角形是直角三角形；（2）有一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；（3）勾股定理逆定理：若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形【知识拓展1】直角三角形的两个锐角互余.例1．（2021·云南昭通·八年级期中）如图，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠BAC的度数．【答案】80°【分析】先根据AD是△ABC的边BC上的高得出，再由直角三角形性质得出,根据BE平分∠ABC得出，进而得出,再根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵是的高．即，∴，∵在中，，∴．∵平分，∴，∴，∴【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线定理，熟知三角形内角和是180°是解题关键．例2．（2021·广西融水·八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°；求∠AEC的度数．【答案】∠AEC=115º．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠DAE的度数，再根据三角形的外角的性质即可求出∠AEC的度数．【详解】解：∵∠BAC=80º，∠B=60º，∴∠C=180º∠BAC∠B=180º80º60º=40º，∵AD⊥BC，∴∠DAC=90º∠C=90º40º=50º，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×50º=25º，∴∠AEC=∠DAE+∠ADE=25º+90º=115º．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质．熟练掌握各个知识点是解题的关键．3．（2022·陕西榆林·八年级期末）如图，在中，，于点，点是上一点，连接．求证：．

【分析】根据等角的余角性质得出∠BAD=∠C，再根据∠BED是△ABE的外角，得出∠BED＞∠BAD=∠C即可．【详解】证明：∵，∴∠BAD+∠DAC=90°，∵，∴∠DAC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＞∠BAD=∠C，∴∠BED＞∠C．【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，等角的余角性质，三角形外角性质，掌握直角三角形两锐角互余，等角的余角性质，三角形外角性质，在证明不等关系中经常利用等量转化方法是解题关键．例4．（2021·辽宁铁西·八年级阶段练习）两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB与DF交于点M，BCEF，求∠BMD的度数．【答案】75°【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可算出∠F和∠B的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MDB的度数，在△BMD中，利用三角形内角和可求出∠BMD的度数．【详解】解：如图，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°−∠C＝60°，∠F＝90°−∠E＝45°，∵BCEF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°−∠B−∠MDB＝75°．【点睛】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．【即学即练1】（2021·安徽长丰·八年级阶段练习）如图1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD（不与点A，D重合）上的一动点，EF⊥BC于点F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度数．（2）求证：∠C﹣∠B＝2∠DEF．（3）如图2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E为AD上一点，EF⊥AD交BC延长线于点F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接写出∠F的度数（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）；（2）证明过程见解析；（3）【分析】（1）根据垂直得到，再根据得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得解；（2）由（1）可知，，，即可得解；（3）根据已知条件得到，，再根据两锐角互余和三角形内角和定理计算即可；【详解】（1）∵EF⊥BC，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵AD平分∠BAC，∴，∴；（2）由（1）可知，，，，，，∴；（3）∵AD平分∠BAC，∴，，∵，∴，∴，，，，，∴．【点睛】本题主要考查了三角内角和定理，角平分线的性质，准确分析计算是解题的关键．【即学即练2】（2021·黑龙江建华·八年级期末）如图，中，于点D，，，，连接AF．线段AE与AF有怎样的关系？请写出你的猜想，并说明理由．【答案】，，见解析【分析】先证明≌，可得，，再利用，从而可得答案.【详解】解：，理由如下：∵，，∴≌∴，∵于D，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等”是解本题的关键.【知识拓展2】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.例1．（2021·河南·八年级期末）已知：如图，ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CECD，连接DE．（1）证明：BDE是等腰三角形；（2）若AB＝2，求DE的长度．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，根据等角对等边即可证得；（2）由勾股定理求出BD即可求得．【详解】（1）证明：为等边三角形，，，，，为中线，，，是等腰三角形；（2）解：为中线，，，，在中，由勾股定理得：,．【点睛】此题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，解题的关键是求出DE=BD和求出BD的长．例2．（2021·江苏·靖江外国语学校八年级阶段练习）如图，已知在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的长．【答案】【分析】首先根据等边三角形的性质和AB的长度求出AD的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出AE的长度，进而求出CE的长度，然后根据30°角所对直角边是斜边的一半求出CF的长度，即可求出BF的长度．【详解】∵在等边△ABC中，D是AB的中点，∴AD=BD=AB=6，∵∠A=60°，DE⊥AE，∴∠ADE=30°，∴，∴CE=ACAE=123=9，又∵∠C=60°，EF⊥BC，∴∠FEC=30°，∴CF=CE=，∴BF=BCCF=12=．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，30°角直角三角形的性质．例3．（2021·山东汶上·八年级期中）重新定义：1．如图1和图2中，点P平面内一点，如果或，称点P是线段AB的强弱点．2．我们都知道，在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半．那么反过来，如果在一个直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角也为30°．启发应用：请利用以上材料完成以下问题：（1）如图2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，判断点B是否是线段AP的强弱点？并说明理由；（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是线段AC的强弱点（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分线，求证：点D是线段AC上的强弱点．【答案】（1）是，理由见解析；（2）见解析【分析】（1）在Rt△PAB中，根据直角三角形30度角的性质得：AB和PB的关系，由新定义即可解决问题；（2）如图3中，由B是线段AC的强弱点（BA＞BC），推出AB＝2BC，可得∠A＝30°，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定，直角三角形30度角的性质可得AD＝2CD，解决问题；【详解】（1）解：点B是线段AP的强弱点，理由是：如图1中，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2PB，∴，∴点B是线段AP的强弱点；（2）证明：如图2中，∵B是线段AC的强弱点（BA＞BC），∴AB＝2BC，∴Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，Rt△BCD中，BD＝2CD，∴＝2，∴点D是线段AC上的强弱点．【点睛】本题考查新定义：线段的强弱点、角平分线的定义、直角三角形30°角的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，理解新定义并运用．【即学即练1】（2021·浙江瑞安·八年级阶段练习）如图，已知△ABC是等边三角形，BD是AC上的高线．作AE⊥AB于点A，交BD的延长线于点E．取BE的中点M，连结AM．（1）求证：△AEM是等边三角形；（2）若AE＝1，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）利用条件可求得∠E＝60°且利用直角三角形的性质可得出ME＝AM，可判定△AEM的形状；

（2）由条件利用勾股定理可求得AB和BD的长，可求出△ABC的面积．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高线，AE⊥AB，

∴∠ABD＝30°，

∴∠E＝60°，

∵点M是BE的中点，

∵在Rt△ABE中，AM＝BE＝EM，

∴△AEM是等边三角形；（2）∵AE＝1，∠EAB＝90°，∠ABD＝30°

∴BE＝2AE＝2，

由勾股定理得：AB＝，∴AB＝AC＝BC＝，

∴AD＝AB＝，

∴BD＝，

∴S△ABC＝××＝．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质、勾股定理以及直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，掌握等边三角形的性质和判定是解题的关键．【即学即练2】（2021·浙江余杭·八年级阶段练习）如图，在中，，，是边上的点，且，过点作边的垂线交边于点，求的长．【答案】．【分析】运用含角的直角三角形的性质得，从而得出答案．【详解】，，，，，，．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握直角三角形中角所对的边是斜边的一半是解题的关键．【知识拓展3】直角三角形性质的应用例1.如图，一位同学做了一个写明装置进行科学实验，△ABC是该装置左视图，∠ACB=90°，∠B=15°，为了加固斜面，在斜面AB的中点D处连结一条支撑杆CD，量得CD=6．（1）求斜坡AB长和∠ADC的度数；（2）该同学想用彩纸实验装置中的△ABC的表面，请你计算△ABC的面积.【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）过C作CE⊥AB于E，根据直角三角形的性质得到CE=CD=3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案与解析】解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD，∴∠ADC=2∠B=30°；（2）过C作CE⊥AB于E，∵∠ADC=30°，∴CE=CD=3，∴S△ABC=×12×3=18.【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键.【即学即练1】如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB的中垂线交BC的延长线于D，交AC于E,已知DE=2.则AC的长为_________.【答案】3；提示：连接AD，证△ABD为等边三角形，则DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.【知识拓展3】勾股定理及逆定理的应用例1．（2019•仙居县模拟）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则AE：AB的值是（）A． B． C． D．【思路点拨】设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，利用勾股定理求得AE的长，即可得出AE：AB的值．【答案】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，∵CD＝BC＝a，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，∵AE＝AD，∴AE＝（﹣1）a，∴＝．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．【即学即练1】（2019秋•慈溪市期末）长度为下列三个数据的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．3，5，7 C．1，，3 D．1，【思路点拨】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【答案】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；B、32+52≠72，不能组成直角三角形，故此选项错误；C、12+（）2≠32，不能组成直角三角形，故此选项错误；D、12+（）2＝（）2，能组成直角三角形，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．【即学即练2】（2019秋•萧山区期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以1为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（）A．1 B．﹣1 C．1﹣ D．【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可．【答案】解：∵正方形的边长为1，∴BC＝＝，∴AC＝，即|A﹣1|＝，故点A表示1﹣．故选：C．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及勾股定理和正方形的性质，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【即学即练3】（2019•宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和【思路点拨】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【答案】解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【即学即练4】（2019•绍兴模拟）如图，已知∠MAN＝30°，点B在边AM上，且AB＝4，点P从点A出发沿射线AN方向运动，在边AN上取点C（点C在点P右侧），连结BP，BC．设PC＝m，当△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个时，m的值为4或2或4√3＜m≤12．【思路点拨】如图，作BH⊥AN于H．当△BPC是等边三角形时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．【答案】解：如图，作BH⊥AN于H．①当△BPC是等边三角形时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．在Rt△ABH中，∵AB＝4，∠A＝30°，∴BH＝AB＝2，∵△BPC是等边三角形，BH⊥PC，∴∠PBH＝30°，PH＝HC＝BH•tan30°＝2，∴PC＝2PH＝4，②当PC＝BH＝2时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．③当4√3＜m≤12时，△BPC成为等腰三角形的个数恰好有3个．故答案为4或2或4√3＜m≤12．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．能力拓展能力拓展模块一模块一解特殊直角三角形（1）如图11，已知中，，，，，求DB的长为_______．（2）如图12，在中，，，，，则AD的长为_______．（3）已知：如图13，中，，，，求BC．（1）10；（2）；（3）．（1）某楼梯的侧面视图如图21所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为__________．（2）如图22，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若，则折痕CE的长为（）．A．B． C． D．6图21图22（1）米；（2）A，易得．如图，已知在四边形ABCD中，，，，，求．连接BD，则是边长为6的等边三角形，为含角的直角三角形。所以：．模块二模块二最短路径问题如图，长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm．（1）点到点之间的距离是多少？（2）若一只蚂蚁从点爬到（只能从长方体表面爬行），则爬行的最短路程是多少？（1）∵长方体的高为5cm，底面长为4cm，宽为1cm，∴（cm），∴（cm）；（2）爬行的最短路程是cm．（5与最接近，平方和最小）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值为_________cm．如图所示：连接DC，CF，由题意：，，，，∴吸管口到纸盒内的最大距离，∴．故答案为：．模块模块三勾股定理及证明如图11，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则不难证明．（正三角形面积是边长平方的）（1）如图12，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，那么、、之间有什么关系？（不必证明）（2）如图13，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的关系并加以证明．图11图12图13（1）设BC、CA、AB长分别为a、b、c，则，；（2）．证明如下：显然，，，，∴．【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用、、表示，则（设斜边所做图形面积为）．已知a，b，c是三角形的三边长，，，（n为大于1的自然数），试说明为直角三角形．因为，．所以，所以为直角三角形．分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．（2021·贵州毕节·八年级期中）下列各组数据不是直角三角形的三边长的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．5，13，18【答案】D【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系即可判断．【详解】A、32+42=52，故为直角三角形；B、62+82=102，故为直角三角形；C、52+122=132，故为直角三角形；D、5+13=18，故不能围成三角形；故选D．【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理．2．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（）A．60° B．36° C．56° D．46°【答案】B【分析】根据直角三角形中，两锐角互余计算即可．【详解】解：∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∴，故选：B．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．3．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图所示，公路AC、BC互相垂直，点M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C、M两点间的距离，若测得AB的长为6km，则M、C两点间的距离为（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【答案】D【详解】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C两点间的距离为3km，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、填空题4．（2021·广西隆安·八年级期中）在中，锐角，则另一个锐角_______．【答案】【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解．【详解】解：在中，∵锐角，∴另一个锐角．故答案为：【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．5．（2022·全国·八年级）禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入______元【答案】10800【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得为直角三角形，CD为斜边；由此可知，四边形ABCD由和构成，即可求解．【详解】解：在中，∵，∴AC=5．在中，，，而，即，∴，即：=．所以需费用：（元）．故答案为10800．【点睛】本题考查了勾股定理，逆定理的相关知识，以及割补法求图形的面积，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．6．（2021·江苏滨海·八年级期中）若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为_____cm2．【答案】【分析】设三边的长是5x，12x，13x，根据周长列方程求出x的长，则三角形的三边的长即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，然后利用面积公式求解．【详解】解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．【点睛】本题考查三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积，比较基础，掌握三角形周长，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解与运用，三角形面积是解题关键．7．（2021·黑龙江五常·八年级期末）如图，点是上的一点，，则下列结论：①；②；③；④，其中成立的有______个．【答案】1【分析】根据，得出AC=EB＜BC，可判断①；根据，可得∠ADC=∠ECB，得出AD∥BC，根据BC与BE相交，可判断②；根据，得出∠ADC=∠ECB，根据直角三角形两锐角互余得出∠ADC+∠ACD=90°，利用等量代换得出∠ECB+∠ACD=90°可判断③；，得出AD=EC，DC=CB，根据线段和AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，可判断④即可．【详解】解：∵点是上的一点，，∴AC=EB＜BC，故①不正确；∵，∴∠ADC=∠ECB，∴AD∥BC，∵BC与BE相交，故②不正确；∵，∴∠ADC=∠ECB，∵∠ADC+∠ACD=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°即∠ACB=90°，故③正确；∵，∴AD=EC，DC=CB，∴AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，故④不正确；∴其中成立的有1个．故答案为1．【点睛】本题考查全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，线段和差，平行线判定，掌握全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，线段和差，平行线判定是解题关键．三、解答题8．（2022·全国·八年级）如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少?【答案】24平方米【分析】利用割补法，将图形补齐，连接AC，根据勾股定理判定是直角三角形，即可求出四边形面积．【详解】解：如图，连接AC，在中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵，∴是直角三角形，∴这块地的面积==（平方米）【点睛】本题主要考查勾股定理的判定，利用辅助线构造直角三角形，再进行面积求值，熟练掌握勾股定理的应用是本题的关键．9．（2021·陕西临渭·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求∠B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．【答案】（1）∠B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．【详解】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，，∴P、Q两点之间的距离为13cm．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出∠B＝90°．题组B能力提升练一、单选题1．（2022·云南广南·八年级期末）若以下列各组数值作为三角形的三边长，则不能围成直角三角形的是（）A．4、6、8 B．3、4、5C．5、12、13 D．1、3、【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．【详解】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；

B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；

C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；

D、12+32=，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．

故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．（2021·河北·邯郸市永年区第八中学八年级阶段练习）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同旁内角互补，两直线平行B．对于有理数a，如果3a＞0，那么a＞0C．有两个内角互余的三角形是直角三角形D．在任何一个直角三角形中，都没有钝角【答案】D【分析】先写出每个选项中的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；B、对于有理数a，如果3a＞0，那么a＞0的逆命题为：对于有理数a，如果a＞0，则3a＞0，是真命题，不符合题意；C、有两个内角互余的三角形是直角三角形的逆命题为：直角三角形有两个内角互余的，是真命题，不符合题意；D、在任何一个直角三角形中，都没有钝角的逆命题为：没有钝角的三角形是直角三角形，是假命题，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了逆命题，判定命题真假，解题的关键在于能够熟知相关知识进行求解．二、填空题3．（2021·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．【答案】150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．【详解】解：连接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可．【详解】解：∵点P、A、B在x轴上，∴P、A、B三点不能构成三角形．设点P的坐标为（m，0）．当△PAC为直角三角形时，①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠ACP＝90°时，如图，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴点P的坐标为（，0）；当△PBC为直角三角形时，①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）；②∠BCP＝90°时，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．三、解答题5．（2021·吉林朝阳·八年级期末）如图，有一张四边形纸片，．经测得，，，．（1）求、两点之间的距离．（2）求这张纸片的面积．【答案】（1）15cm；（2）114cm2【分析】（1）连接，在中利用勾股定理求解即可；（2）先用勾股定理的逆定理证明，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】解：（1）如图所示，连结．∵在中，．∴由勾股定理，得．∴．（2）∵，，∴．∴．∴四边形的面积．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．6．（2021·江苏·赣榆汇文双语学校八年级阶段练习）已知a，b，c满足|a﹣＋（c﹣）2＝0（1）求a，b，c的值；并求出以a，b，c为三边的三角形周长；（2）试问以a，b，c为边能否构成直角三角形？请说明理由．【答案】（1）a=，b=5，c=，周长=；（2）不能构成直角三角形，理由见解答．【分析】（1）由非数的性质可分别求得a、b、c的值，进而解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可．【详解】解：（1）∵|a﹣＋（c﹣）2＝0．∴a=0，b5=0，c=0，∴a=2，b=5，c=3，∴以a，b，c为三边的三角形周长=2+3+5=5+5；（2）不能构成直角三角形，∵a2+c2=8+18=26，b2=25，∴a2+c2≠b2，∴不能构成直角三角形．【点睛】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键．题组C培优拔尖练一、解答题1．（2021·山西平定·八年级期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（1）如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；（2）如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S1，△DCE的面积为S2，则有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）见解析；（3）=【分析】（1）根据全等三角形的性质可直接进行求解；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，进而可得∠BAF=∠ADH，然后可证△ABF≌△DAH，则有AF=DH，进而可得DH=EQ，通过证明△DHG≌△EQG可求解问题；（3）过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD交OD延长线于N，过点C作CM⊥OD交OD延长线于M，由题意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，则有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，进而可得OD=NE，通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题．【详解】解：（1）∵，∴；（2）分别过点D和点E作DH⊥FG于点H，EQ⊥FG于点Q，如图所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即点G是DE的中点；（3），理由如下：如图所示，过点D作DO⊥AF交AF于O，过点E作EN⊥OD