专题03圆中的相似问题(原卷版+解析)

专题03圆中的相似问题知识回放知识回放割线与切线形成的A字型相似如图，PA为圆O的切线，PC为过圆心的直线，则△PAB∽△PCA，，可得：割线与割线形成的A字型相似如图，割线PD、PC交于点P，则△PAB∽△PCD，，可得：弦与弦形成的8字型相似（蝴蝶）如图，弦AC、BD交于点E，则△ABE∽△DCE，，可得：圆中的双垂直（射影定理）如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，则△ABD∽△CAD∽△CBA，可得：、、真题解析真题解析典例1.（2022•辽宁朝阳中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．典例2.（2022•湖南株洲中考真题）如图所示，三角形的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．(1)求证：直线是⊙的切线；(2)若线段与线段相交于点，连接．①求证：；②若，求⊙的半径的长度．典例3.（2022•湖北黄石中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．典例4.（2022•贵州遵义中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．典例5.（2022•广西梧州中考真题）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与圆O交于点G，若．(1)求证：①；②CD是圆O的切线．(2)求的值．真题演练真题演练1.（2022•湖北鄂州中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

2.（2022•辽宁大连中考真题）是⊙O的直径，C是⊙O上一点，，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与的延长线相交于点E．(1)如图1，求证；(2)如图2，连接，若⊙O的半径为2，，求的长．3.（2022•湖南岳阳中考真题）如图，在⊙O中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．（1）若，则弧AD的长为______（结果保留）；（2）若，则______．

4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，三角形中，，为上一点，以为直径的⊙O与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若，，求的长．5.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，⊙O是三角形的外接圆，为⊙O的直径，点为⊙O上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．(1)求证：是⊙O的切线．(2)若，，求⊙O的半径．

6.（2022•湖北江汉中考真题）如图，正方形内接于⊙O，点E为的中点，连接交于点F，延长交⊙O于点G，连接．(1)求证：；(2)若．求和的长．7.（2022•贵州铜仁中考真题）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．(1)求证：AB=CB；(2)若AB=18，sinA=，求EF的长．专题03圆中的相似问题知识回放知识回放割线与切线形成的A字型相似如图，PA为圆O的切线，PC为过圆心的直线，则△PAB∽△PCA，，可得：割线与割线形成的A字型相似如图，割线PD、PC交于点P，则△PAB∽△PCD，，可得：弦与弦形成的8字型相似（蝴蝶）如图，弦AC、BD交于点E，则△ABE∽△DCE，，可得：圆中的双垂直（射影定理）如图，BC为圆O的直径，AD⊥BC，则△ABD∽△CAD∽△CBA，可得：、、真题解析真题解析典例1.（2022•辽宁朝阳中考真题）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．(1)求证：AF是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）证明：∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°，∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，∴∠DAF=∠ACD，∴∠DAF+∠DAC=90°，∴，∵AC是直径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：作于点H，∵⊙O的半径为5，∴AC=10，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH～△ACD，∴，∴，∵AD＝6，∴，∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，∴AD=ED，．典例2.（2022•湖南株洲中考真题）如图所示，三角形的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知．(1)求证：直线是⊙的切线；(2)若线段与线段相交于点，连接．①求证：；②若，求⊙的半径的长度．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②【解析】(1)证明：∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，∴OD⊥OB，∵OD∥BC，∴CB⊥OB，∵OB为半径，∴直线BC是⊙O的切线；(2)解：①∵∠BAC=45°，∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，∴∠ODB=45°，∴∠BAC=∠ODB，∵∠ABD=∠DBE，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴或（舍去）．即⊙O的半径的长为．典例3.（2022•湖北黄石中考真题）如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的值；(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．【答案】(1)见解析；(2)；(3)【解析】（1）解：如图所示，连接OA，∵是直径，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵OA为半径，∴直线是的切线；（2）解：∵，，∴，∴，由知，半径，则，，在中，，在中，，即（3）在（2）的条件下，，∴，∴，在中，，，解得，，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴．典例4.（2022•贵州遵义中考真题）探究与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．探究展示：如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点，在点，，所确定的上（依据2）点，，，四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．①求证：，，，四点共圆；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等(2)45°；(3)①见解析；②不发生变化，值为8【解析】（1）答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等（2）在线段同侧有两点，，四点共圆，故答案为：（3）①∵，，点与点关于对称，，，四点共圆；②，理由如下，四点共圆，，关于对称，，，，，，，，又，，，，，．典例5.（2022•广西梧州中考真题）如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与圆O交于点G，若．(1)求证：①；②CD是圆O的切线．(2)求的值．【答案】(1)①证明过程见解析；②见解析；(2)【解析】(1)证明：①∵，∴∠D=∠A，且对顶角∠CFD=∠BFA，∴；②∵OB=CO，∴∠OCB=∠ABC=45°，∴∠COB=180°-∠OCB-∠ABC=90°，∵，∴∠OCD=180°-∠COB=90°，∴CD是圆O的切线．(2)解：连接DB，连接BG交CD于M点，如下图所示：∵且CD=BO，∴四边形COBD为平行四边形，∵∠COB=90°，CO=BO，∴四边形COBD为正方形，由（1）知：，∴，∵CE∥DB，∴，∴，即E为CO的中点，∵AB是半圆的直径，∴∠AGB=∠BGD=90°，∴∠GBD+∠BDG=90°=∠BDC=∠BDG+∠EDC，∴∠GBD=∠EDC，且BD=CD，∠BDM=∠DCE=90°，∴△BDM≌△DCE（ASA），∴DM=CE，即M为CD的中点，设CM=x，则DB=CD=2x，，由勾股定理知：，在Rt△MBD中：，，解得，在Rt△DGB中由勾股定理可知：，又且其相似比为，∴，在Rt△BFG中由勾股定理可知：，∴，∴．真题演练真题演练1.（2022•湖北鄂州中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．【答案】(1)PC与⊙O相切，理由见解析；(2)9【解析】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切；（2）解：∵∠ACB=90°，，∴，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴，∴，∴AB=6，∴，∴，∵，∴△PBC∽△POD，∴，即，∴，∴CD=6，∴．2.（2022•辽宁大连中考真题）是⊙O的直径，C是⊙O上一点，，垂足为D，过点A作⊙O的切线，与的延长线相交于点E．(1)如图1，求证；(2)如图2，连接，若⊙O的半径为2，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）解：∵，∴，∵AE是⊙O的切线，∴，在和中，，，∴（2）解：如图，连接AC．∵⊙O的半径为2，∴，，∵在和中，，，∴，∴，即，∴，在中，由勾股定理得：，∴．∵，经过⊙O的圆心，∴，∴．∵AB是⊙O的直径，∴，在中，由勾股定理得：．在中，由勾股定理得：．3.（2022•湖南岳阳中考真题）如图，在⊙O中，为直径，，为弦，过点的切线与的延长线交于点，为线段上一点（不与点重合），且．（1）若，则弧AD的长为______（结果保留）；（2）若，则______．【答案】（1）；（2）．【详解】解：（1）∵，∴弧AD的长；故答案为：；（2）连接，∵是切线，是直径，∴，∴，∵是直径，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．4.（2022•湖北十堰中考真题）如图，三角形中，，为上一点，以为直径的⊙O与相切于点，交于点，，垂足为．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【解析】（1）如图，连接，，则，设，，，，为⊙O的直径，，，即，，，，，，，，为⊙O的半径，是⊙O的切线；（2）如图，连接OE，是⊙O的切线，则，又，四边形是矩形，，四边形是正方形，，在中，，，，，由（1）可得，，，，解得．5.（2022•辽宁鞍山中考真题）如图，⊙O是三角形的外接圆，为⊙O的直径，点为⊙O上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．(1)求证：是⊙O的切线．(2)若，，求⊙O的半径．【答案】(1)过程见解析；(2)3【解析】（1）证明：连接OE．∵，，∴∠ABC=∠BOE，∴，∴∠OED=∠BCD．∵EF∥AC，∴∠FEC=∠ACE，∴∠OED+∠FEC=∠BCD+∠ACE，即∠FEO=∠ACB．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠FEO=90°，∵EO是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．（2）∵，∴．∵BF=2，．设⊙O的半径为r，∴OF=2+r，，BC=．∵，∴，解得，∴⊙O的半径是3．6.（2022•湖北江汉中考真题）如图，正方形内接于⊙O，点E为的中点，连接交于点F，延长交⊙O于点G，连接．(1)求证：；(2