专题09三角形中的特殊模型-燕尾（飞镖）型风筝（鹰爪）模型（原卷版）

专题09三角形中的特殊模型燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1图2条件：如图1，凹四边形ABCD；结论：①；②。条件：如图2，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC；结论：∠O=（∠A+∠C）。飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如图2，连接AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连接CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，......大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是；(2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；(3)应用：如图4，AE是∠CAD的平分线，BF是∠CBD的平分线，AE与BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，请你直接写出∠C的大小．例2．（2023·成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（

）A．80° B．75° C．60° D．45°例3．（2023·湖北·八年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（

）．A． B． C． D．例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC中，，为三角形内任意一点，连结AP，并延长交BC于点D.求证：（1）；（2）.例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．

探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数；拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则度．模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型图1图21）鹰爪模型：结论：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鹰爪模型（变形）：结论：∠A+∠O=∠2∠1。图3图43）角内翻模型:如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2；如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2∠1。例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图，，，分别是四边形的外角，判定下列大小关系：①；②；③；④．其中正确的是．（填序号）例2．（2022秋·重庆渝北·八年级校考阶段练习）如图,将△ABC沿着DE翻折,使B点与B'点重合,若∠1+∠2=80°,则∠B的度数为（

）A．20° B．30° C．40° D．50°例3．（2022秋·河北廊坊·八年级校考期中）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为（

）

A． B． C． D．例4．（2023春·甘肃天水·七年级校联考期末）如图①，、是四边形的两个不相邻的外角．

(1)猜想并说明与、的数量关系；(2)如图②，在四边形中，与的平分线交于点．若，，求的度数；(3)如图③，、分别是四边形外角、的角平分线．请直接写出、与的数量关系．例5．（2022春·河南鹤壁·七年级统考期末）中，，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点，令，，．初探：(1)如图1，若点P在线段AB上，且，则_____________；(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1，∠2，之间的关系为_____________；再探：(4)如图4，若点P运动到的内部，写出此时∠1，∠2，之间的关系，并说明理由．例6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将沿折叠，使点A落在的内部的点M处，当，时，求的度数；（2）如图，将沿折叠，使点A落在的外部的点M处．求图中，，之间的数量关系；（3）如图，将、一起沿折叠，使点A、点B的对应点M、N分别落在射线的左右两侧，，，、的数量关系．(直接写结果，不需要过程）课后专项训练1．（2023.广东八年级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则∠A与∠1+∠2之间有始终不变的关系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）2．（2023·重庆万州·七年级统考期末）如图，六边形ABCDEF中，AFCD，ABDE，∠A=140°，∠B=100°，∠ECD＝20°，将CDE沿CE翻折，得到，则∠BC的度数为（

）A．60° B．80° C．100° D．120°3．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，，沿图中虚线翻折，使得点B落在上的点D处，则等于（

）A．160° B．150° C．140° D．110°4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，中，，将沿翻折后，点A落在边上的点处．如果，那么的度数为．5．（2023春·宁夏吴忠·九年级校考期中）将△ABC沿着DE翻折，使点A落到点A′处，A′D、A′E分别与BC交于M、N两点，且DEBC．已知∠A′NM＝27°，则∠NEC＝．6.（2023·湖北·七年级期末）三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度．在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上．（1）说明为什么．（2）说明为什么．（3）与，哪一个更大？证明你的答案；（4）与，哪一个更大？证明你的答案．7．（2023春·江苏扬州·七年级统考期末）（1）如图1，把三角形纸片折叠，使个顶点重合于点．这时，__________；

（2）如果三角形纸片折叠后，个顶点并不重合于同一点，如图，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）折叠后如图所示，直接写出、、、、、之间的数量关系_______；（4）折叠后如图，直接写出、、、、、之间的数量关系：_______；8．（2023春·江苏连云港·七年级校联考阶段练习）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于”．在三角形纸片中，点D，E分别在边上，将沿折叠，点C落在点的位置．(1)如图1，当点C落在边上时，若，则＝，可以发现与的数量关系是；(2)如图2，当点C落在内部时，且，，求的度数；(3)如图3，当点C落在外部时，若设的度数为x，的度数为y，请求出与x，y之间的数量关系．9．（2022春·江苏扬州·七年级校考期末）如图①，把纸片沿折叠，使点A落在四边形内部点的位置，通过计算我们知道：.请你继续探索：(1)如果把纸片沿折叠，使点A落在四边形的外部点的位置，如图②，此时与之间存在什么样的关系？(2)如果把四边形沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部、的位置，如图③，你能求出、、与之间的关系吗？（直接写出关系式即可）10．（2023春·江苏南京·七年级统考期中）如图，在和中，．点F与A位于线段所在直线的两侧，分别延长、至点、．

【特殊化思考】若时，请尝试探究：（1）当在内部时，请直接写出、与的数量关系为__________；（2）当在外部时，请直接写出、与的数量关系为__________；（3）若平分，平分．无论点在内部（如图③）还是外部（如图④）时，都有，请选择一幅图进行证明；

【一般化探究】若时，请尝试探究：（4）若射线、分别是，的等分线（为大于2的正整数），且，．当时，直接写出与需满足的条件：__________．10．（2023·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD=α，∠BCD=β．（1）如图1，若α+β=100°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD=40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；（3）如图2，若α=β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．11．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，(1)探索与之间的数量关系，并说明理由．(2)如果点落在四边形外点的位置，与、之间的数量关系有何变化，请说明理由．12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．（1）∠ABC＋∠ADC＝°；（2）如图①，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的外角，请写出DE与BF的位置关系，并证明；（3）如图②，若BE，DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），试求∠E的度数．13．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数．14．（2023·广西·八年级专题练习）如图，中，(1)若、的三等分线交于点、，请用表示、；(2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，．15．（2023·云南保山·八年级校考期中）已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．（1）如图1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；（3）如图3，在（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．16．（2023·江苏苏州·七年级统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若、互为组角，且，则________；【理解运