专题03解非直角三角形小题(原卷版+解析)

专题03解非直角三角形小题1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+22．小明和小丽两人一前一后放风筝，结果风筝在空中处纠缠在一起（如示意图）．若，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，则的正切值是（）A． B． C． D．3．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_____________．4．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________．5．△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°则△ABC的面积是．6．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____．7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为____________．8．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____．10．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为________度．11．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB_______．12．如图，已知AC=4，求AB和BC的长.13．已知：如图，在中，，，．求：（1）的面积；（2）的余弦值．14．已知：如图，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6.求BC的长（结果保留根号）.15．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.16．如图,在△ABC中，∠B=30°,sinC=,AC=10，求AB的长.17．如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=,求：AC的长．18．）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值.19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝13，BC＝10，求sinA和AB．20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2.求tanB的值．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠A=120°,求BC的长.

22．如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14.求BC的长.23．如图，在△ABC中，sinB=，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面积.24．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．25．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tanC的值．26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=4．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．27．如图，在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=6﹣2．求AB的长．28．已知：如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2.求BC边的长.29．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，且S△ABC＝10，求tanC的值．30．已知．在△ABC中，如图，BC=AC，∠BCA=135°，求tanA的值．专题03解非直角三角形小题1．如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，则AB的长是（）A．4 B．3+ C．5 D．2+2【答案】C【分析】作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，求出CD和AD的长，在Rt△BCD中，求出BD的长，即可求出AB的长.【详解】作CD⊥AB于点D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=,∴AD=.在Rt△BCD中，∵tanB=，∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5.故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形，如果没有直角三角形则作垂线构造直角三角形，然后利用直角三角形的边角关系来解决问题，有时还会用到勾股定理等知识才能解决问题.2．小明和小丽两人一前一后放风筝，结果风筝在空中处纠缠在一起（如示意图）．若，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，则的正切值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先过点E作EA⊥MF于点A，得出MN=EN，AE=NA，sin45º=，进而将各边长用NE表示得出即可.【详解】解：过点E作EA⊥MF于点A，∵∠ENF=45º，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，∴MN=EN，AE=NA，∵sin45º=，∴AE=NE，∴tan∠M====−1，∴∠M的正切值为−1.故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.3．已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是_____________．【答案】或【详解】解：分两种情况：①△ABC为锐角三角形时，如图1．作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a．∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a，∴BC=BD+CD=a．在△BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC∴BE=；②△ABC为钝角三角形时，如图2．作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，∴CD=a，AD=a．∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=a，∴BC=BD+CD=a．在△BCE中，由余弦定理，得BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC∴BE=．综上可知AC边上的中线长是或．4．已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为____________．【答案】8或24．【分析】根据题意可知，这个要分情况讨论，讨论高是在内部还是外部，根据正切值和面积计算即可．【详解】解：如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是要分情况讨论．5．△ABC中，AB=12，AC=，∠B=30°则△ABC的面积是．【答案】21或15．【详解】解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，∴AD=AB=6，BD=ABcosB=12×=6，在Rt△ACD中，CD==，∴BC=BD+CD=6+=7，则S△ABC=×BC×AD=×7×6=21；②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，由①知，AD=6、BD=6、CD=，则BC=BD﹣CD=5，∴S△ABC=×BC×AD=×5×6=15，故答案为21或15．考点：解直角三角形．6．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位长度到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____．【答案】、5或．【详解】试题分析：过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，如图所示．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC=13，sin∠B=，cos∠B=．△ADE为等腰三角形分三种情况：①当AB=AE时，BE=2BM，BM=AB•cos∠B=，此时m=BE=；②当AB=BE时，m=BE=AB=5；③当BE=AE时，BN=AN=AB=，BE=，此时m=BE=．故答案为、5或．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；平移的性质．7．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=30º．以点B为旋转中心，旋转30º，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为____________．【答案】【详解】试题解析：分成两种情况进行讨论：顺时针旋转时.过点作，分析可知是等腰三角形,设则解可得：逆时针旋转时：分析可知是等腰三角形,设则故答案为或8．已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____．【答案】15或10【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得．【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，①如图1，当AB、AC位于AD异侧时，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10，∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5，在Rt△ACD中，∵AC=2，∴CD=，则BC=BD+CD=6，∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15；②如图2，当AB、AC在AD的同侧时，由①知，BD=5，CD=，则BC=BD-CD=4，∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10．综上，△ABC的面积是15或10，故答案为15或10．【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理．9．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cos∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____．【答案】12-12【详解】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．∵AB=12，DC=7，∴BF=5．又∵cos∠ABC=，∴BC=13，CF==12．∵AD=CF=12，AB=12，∴BD==12．∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，∴BP=BA=12，∴PD=BD﹣BP=12﹣12．故答案为12﹣12．【点睛】本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AD、BD的长度是解题的关键．10．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为________度．【答案】30或150【详解】如图，作AD⊥BC于点D，在Rt△ACD中，∵AC=3、cos∠ACB=，∴CD=ACcos∠ACB=3×=，则AD==1，①若点B在AD左侧，∵AB=2、AD=1，∴∠ABC=30°；②若点B在AD右侧，则∠AB′D=30°，∴∠AB′C=150°，故答案为30或150．11．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．则sin∠ACB_______．【答案】【分析】作BD⊥AC,交CA的延长线于D,由∠BAC＝120°，得到∠BAD=60°,根据含30°的直角三角形三边的关系得到AD=5,BD=5,再根据勾股定理计算出BC=5,然后利用正弦的定义求解.【详解】解：作BD⊥AC交CA的延长线于D,如图,∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,在Rt△ABD中,∠ABD=30°,AB=10,∴AD=AB=5,BD=5,∴CD=AC+AD=5+5=10,在Rt△BCD中,BC==5,∴sin∠ACB===.【点睛】本题考查了解直角三角形,中等难度,构造直角三角形,在直角三角形中利用边长表示出正弦值是解题关键.三、解答题12．如图，已知AC=4，求AB和BC的长.【答案】【分析】作CD⊥AB于点D，由∠A＝30°，知∠ACD＝60°，再利用三角函数即可求解.【详解】解：作CD⊥AB于点D，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°－∠A＝60°，，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝45°，∴，∴13．已知：如图，在中，，，．求：（1）的面积；（2）的余弦值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3，即可求出答案；（2）利用Rt△ACH中，AH=，CH=5，求出AC进而求出∠C的余弦值．【详解】分（1）作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，∴BH=3，AH=3，∴S△ABC=×8×3=12，（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．在Rt△ACH中，∵AH=3，CH=5，∴AC=2．∴cosC=．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键．14．已知：如图，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=6.求BC的长（结果保留根号）.【答案】+.【分析】过点A作AD⊥BC于点D，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求得BD、CD的长，则BC=BD+DC，由此其值就可以得到了．【详解】过点A作AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠B=45°，AB=6，∴在Rt△ADB中，BD=AD=ABsin45°=6×=3，∵∠C=60°，∴在Rt△ACD中，CD=，∴BC=BD+CD=3．【点睛】本题主要考查解直角三角形，求一般三角形的边常用的方法就是作高，从而把一般三角形的问题转化到直角三角形中进行求解．15．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求AB的长.【答案】2+2【详解】试题分析：本题注意考查的就是利用三角函数解直角三角形，过点C作CD⊥AB于D点，然后分别根据Rt△ADC中∠A的正弦、余弦值和Rt△CDB中∠B的正切值得出AD和BD的长度，从而得出AB的长度.试题解析：过点C作CD⊥AB于D点，在Rt△ADC中，∠A=30°，AC=4，∴CD=AC=×4=2，∴AD=，在Rt△CDB中，∠B=45°，CD=2，∴CD=DB=2，∴AB=AD+DB=2+2．16．如图,在△ABC中，∠B=30°,sinC=,AC=10，求AB的长.【答案】AB=16.【详解】试题分析：过A作BC的垂线，构造两个特殊直角三角形，Rt△ADC中，根据三角函数定义，求出AD,在Rt△ADB,∠B=30°，最后再求AB的长.试题解析：作AD⊥BC,垂足为点D，在Rt△ADC中，sinC=,AC=10，AD=AC·sinC=8,在Rt△ADB中，∠B=30°,AB==16.17．如图所示，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AB=,求：AC的长．【答案】2【分析】如图，过A点作AD⊥BC于D点，把一般三角形转化为两个直角三角形，然后分别在两个直角三角形中利用三角函数，即可求出AC的长度．【详解】过A点作AD⊥BC于D点；在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB=，∴AD=AB•sin∠B=1，在直角三角形ADC中，∠C=30°，∴AC=2AD=2．故答案为：2．18．）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=．（1）求BC的长；（2）利用此图形求tan15°的值.【答案】（1）16-2；（2）2-【详解】试题分析：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可得出结果；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=即可得出结果．试题解析：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：在Rt△ADC中，AC=4，∵∠C=150°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=2，CD=AC•cos30°=4×=2，在Rt△ABD中，tanB=，∴BD=16，∴BC=BD-CD=16-2；（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：∵∠ACB=150°，∴∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=.【点睛】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键．19．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AC＝13，BC＝10，求sinA和AB．【答案】sinA=；AB=【分析】过C作CD⊥AB于D，于是得到∠BDC=∠ADC=90°，根据等腰直角三角形的性质得到BD=CD=BC=，根据勾股定理得到AD=，即可得到结论．【详解】过C作CD⊥AB于D，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠B=45°，∴BD=CD=BC×=BC=，∴AD=，∴sinA=，AB=AD+BD=+=．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟练掌握特殊角度的锐角三角函数值以及三角函数的求法是解题的关键．20．如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2.求tanB的值．【答案】【分析】根据题意画出图形，由三角形的面积公式求出AH的长，再由勾股定理求出BH的长，最后由锐角三角函数的定义即可解答．【详解】过点A作AH⊥BC于H，∵∴∴AH=6，∵AB=10，∴∴21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8,∠A=120°,求BC的长.

【答案】8.【详解】试题分析：过点A作AD⊥BC，垂足为D．根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，在Rt△ABD中，根据三角函数可求BD的长,根据三线合一可求BC的长．解：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8.22．如图，在△ABC中，tanA=，∠B=45°，AB=14.求BC的长.【答案】∴BC=6【详解】试题分析：如图，过点C作CD⊥AB于点D，得到Rt△ADC和Rt△BCD，由在Rt△ADC中tanA=，设CD=3x，AD=4x，则在Rt△BCD中，由∠B=45°，可得BD=CD=3x，结合AB=14由勾股定理列出方程解得x的值，再在Rt△BCD中，由勾股定理即可求得BC的值.试题解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵tanA=，∴，设CD=3x，则AD=4x，∵∠B=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=3x，∵AD+BD=AB=14，∴4x+3x=14，解得x=2，∴BD=CD=6，∴BC=.点睛：本题是一道利用三角形函数解非直角三角形的问题，解题的关键是：通过过点C作CD⊥AB于点D，把原三角形分成Rt△ACD和等腰Rt△BCD，这样就可利用已知的tanA=、∠B=45°和AB=14在两个直角三角形中应用锐角三角形函数的知识结合勾股定理解出BC的长了.23．如图，在△ABC中，sinB=，∠A=105°，AB=2，求△ABC的面积.【答案】S△ABC=+1.【详解】试题分析:本题考查利用三角函数解决非直角三角形,通常我们根据已知条件,通过作高构造构造直角三角形进行解决,根据题意,过点A作AD⊥BC,根据已知条件在Rt△ABD中,利用正弦三角函数和勾股定理可求出AD,BD,∠BAD=45°,继而求出∠CAD=60°再在Rt△ADC中,根据已知条件,利用正切三角函数求出CD,继而求出BC,最后根据三角形面积公式求三角形面积.解:过A作AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，易得∠B=45°，又AB=2，∴∠DAB=∠B=45°，AD=BD=2×=，∴∠CAD=105°-45°=60°.在Rt△CAD中，tan∠CAD=，∴CD=AD·tan∠CAD=×tan60°=.∴BC=CD+BD=+.∴S△ABC=·BC·AD=(+)×=+1.24．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．【答案】①3②2-3③【分析】分四种情形分别求解即可解决问题；【详解】①当CD=CA，∠DCA=30°时，作DH⊥AC于H．在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，AB=4，∴BC=2，AC=2，∵∠ACD=∠CBA=30°，∴CD∥AB，∴S△BCD=S△ADC=•AC•DH=×2×=3．②当AC=AD，∠CAD=30°时，作DH⊥AC于H．S△BCD=S△ABC+S△ADC﹣S△ABD=×2×2+×2×﹣×4×3=2﹣3③当DA=DC，∠ADC=30°时，作DH⊥AC于H，连接BH．∵DA=DC，DH⊥AC，∴AH=CH=，∵∠DHC=∠ACB=90°，∴DH∥BC，∴S△BCD=S△BCH=×2×=.【点睛】考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．25．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tanC的值．【答案】tanC＝.【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由∠ABC＝45°，可得BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，由勾股定理可得CD，由BC＝BD＋DC，tanC＝即可求解..【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，∠B＝45°，∵sinB＝，∴AD＝AB·sinB＝4×sin45°＝4×＝2，∴BD＝AD＝2，在Rt△ADC中，AC＝6，由勾股定理，得DC＝＝＝2，∴BC＝BD＋DC＝2＋2，tanC＝＝＝.【点睛】此题考查了解非直角三角形，关键是作垂线构造出含有特殊角的直角三角形，利用三角函数进行求解.26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=4．（1）求BC的长；（2）求tan∠DAE的值．【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=4；解Rt△ADB，得出AB=6，根据勾股定理求出BD=2，然后根据BC=BD+DC即可求解；（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．试题解析：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=4，∴DC=AD=4．在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=4，∴AB=∴BD=，∴BC=BD+DC=（2）∵AE是BC边上的中线，∴CE=BC=，∴D