专项25概率(三大考点)(原卷版+解析)

专项25概率（三大考点）【考点1随机事件与概率】【典例1】下列事件中，是必然事件的是（）A．通常加热到100°C时，水沸腾 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．射击运动员射击次，命中靶心【变式1】下列事件是必然事件的是（）A．2021年7月12日青川县的天气是晴天 B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D．打开电视，正在播广告【典例2】一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）A． B． C． D．1【变式2】如图是一个可自由转动的转盘，转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是（）A． B． C． D．【典例3】由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（）A． B． C． D．【变式3-1】（2021春•沙坪坝区校级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，为黄球的概率是，则红球的个数为（）A．3 B．4 C．6 D．9【变式3-2】如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1﹣5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是（）A．1 B． C． D．【考点2用列举法求概率】【典例4】某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA1和BB1连成一条的概率．（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．【变式4-1】如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭A，接下来参观凉亭B或凉亭C（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（）A． B． C． D．【变式4-2】在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（）A． B． C． D．【变式4-3】一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．【典例5】为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；扇形统计图中∠α＝度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．【变式5】某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人，“散文”类所对应的圆心角的度数为；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数；（4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．【考点3用频率估计概率】【典例6】小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率【变式6-1】在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（）个．A．10个 B．11个 C．12个 D．13个【变式6-2】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm21．翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件是（）A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（）A． B． C． D．3任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（）A． B． C． D．4．一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如表所示．M号衬衫数13457包数207101112一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是（）A． B． C． D．5．在掷硬币的试验中，正确的是（）A．老师安排每位同学回家做试验，硬币自由选取 B．老师安排同学回家做试验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上 D．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度6．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（）A． B． C． D．7．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．8．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（）A． B． C． D．9．（2021春•温江区校级期末）一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球（）个．A．6 B．12 C．18 D．2410．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．则可估计袋中白球的个数是（）A．10 B．15 C．20 D．2511．现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是．12从﹣2，0，2这三个数中，任取两个不同的数分别作为a，b的值，恰好使得关于x的方程x2+ax﹣b＝0有实数解的概率为．13．交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门绘制出2021年五一小长假期间旅游情况统计图，根据信息解答下列问题：（1）五一小长假期间，该市旅游景区景点共接待游客50万人，请补全条形统计图．（2）根据2021年到该市旅游人数的情况，预计2022年五一小长假期间将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？（3）甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中任选一个景点旅游，求两个旅行团同时选择去同一景点的概率是多少？专项25概率（三大考点）【考点1随机事件与概率】【典例1】下列事件中，是必然事件的是（）A．通常加热到100°C时，水沸腾 B．掷一次骰子，向上一面的点数是6 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．射击运动员射击次，命中靶心【答案】A【解答】解：A、通常加热到100°C时，水沸腾，是必然事件，符合题意；B、掷一次骰子，向上一面的点数是6，是随机事件，不符合题意；C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；D、射击运动员射击次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；故选：A．【变式1】下列事件是必然事件的是（）A．2021年7月12日青川县的天气是晴天 B．从一副扑克中任意抽出一张是黑桃 C．在一个三角形中，任意两边之和大于第三边 D．打开电视，正在播广告【答案】C【解答】解：A、2021年7月12日青川县的天气是晴天，是随机事件，不符合题意；B、从一副扑克中任意抽出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；D、打开电视，正在播广告，是随机事件，不符合题意；故选：C．【典例2】一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）A． B． C． D．1【答案】A【解答】解：一共有3个球，其中白球有1个，因此摸出一球是白球的概率为，故选：A．【变式2】如图是一个可自由转动的转盘，转动转盘一次，当转盘停止转动后，指针落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由题意知，指针落在数字“Ⅳ”所示区域内的概率是＝，故选：D．【典例3】由三个正方形彼此嵌套组成一个如图所示的图案，其中每个内层正方形的顶点都是其外层正方形边的中点，在该图案上任意取点，恰好取在空白区域的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：观察这个图可知：空白区域占，故其概率等于．故选：B．【变式3-1】（2021春•沙坪坝区校级期末）在一个不透明的盒子中装有18个除颜色不同外，其余均相同的小球，共有白色、黄色和红色三种颜色，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，为黄球的概率是，则红球的个数为（）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】A【解答】解：根据题意知，白色球的个数为18×＝6（个），黄色球的个数为18×＝9（个），所以红色球的个数为18﹣6﹣9＝3（个），故选：A【变式3-2】如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号1﹣5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组成的图案是一个轴对称图形的概率是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，其概率为．故选：【考点2用列举法求概率】【典例4】某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各选两根细绳打个结，若拿开红布，三根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员．（1）若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA1和BB1连成一条的概率．（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率．【解答】解：（1）甲嘉宾随意打了个结，有3种可能的结果，所以他恰好将AA1和BB1连成一条的概率＝；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果，其中三根细绳连成一条的结果数为3，所以甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率＝＝．【变式4-1】如图，湖边建有A，B，C，D共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭A，接下来参观凉亭B或凉亭C（已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭D的有6种，则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为＝；故选：C．【变式4-2】在今年“十一”期间，小康和小明两家准备从华山、华阳古镇，太白山三个著名景点中分别选择一个景点旅游，他们两家去同一景点旅游的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：华山、华阳古镇，太白山分别用A、B、C表示，根据题意画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一景点的结果数为3，所以两家去同一景点的概率＝＝．故选：B．【变式4-3】一只不透明的袋子中装有3个大小、质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，搅匀后先从袋子中任意摸出1个球，记下数字后放回，搅匀后再从袋子中任意摸出1个球，记下数字．（1）第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是；（2）用画树状图或列表等方法求两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率．【解答】解：∵袋中共有3个分别标有数字1、2、3的小球，数字2为偶数，∴第一次摸到标有偶数的乒乓球的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两次都摸到标有奇数的乒乓球的结果有：（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），共4种，∴两次都摸到标有奇数的乒乓球的概率为．【典例5】为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈．为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）．将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有40人；扇形统计图中∠α＝108度；（2）请把条形统计图补充完整；（3）学校为举办2021年度校园文化艺术节，决定从A．书法；B．绘画；C．乐器；D．舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率．【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为4÷10%＝40（人），∠α＝360°×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝108°．故答案为：40；108．（2）选择C科目的人数为40×（1﹣10%﹣20%﹣40%）＝12（人），补全条形统计图如下：（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中选中书法与乐器组合在一起的结果有2种，∴选中书法与乐器组合在一起的概率为．【变式5】某校以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从“科普”、“绘画”、“诗歌”、“散文”四类书籍中选择最喜欢的一类，学校的调查结果如图：根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人，“散文”类所对应的圆心角的度数为；（2）请补全条形统计图；（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校喜欢“绘画”的学生人数；（4）最喜爱“科普”类的4名学生中有1名女生，3名男生，现从4名学生中随机抽取两人参加学校举办的科普知识宣传活动，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好都是男生的概率．【解答】解：（1）本次被调查的学生有20÷40%＝50（人），“散文”类所对应的圆心角的度数为×360°＝72°．故答案为：50；72°．（2）喜欢“绘画”的学生人数为50﹣4﹣20﹣10＝16（人）．补全条形统计图如图所示．（3）2500＝800（人）．∴估计该校喜欢“绘画”的学生人数有800人．（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好都是男生的结果有6种，∴所选的两人恰好都是男生的概率为＝．【考点3用频率估计概率】【典例6】小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（）A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率 C．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率【答案】A【解答】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率为，故此选项符合题意；B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；C、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率＝；故此选项不符合题意；D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，故此选项不符合题意；故选：A．【变式6-1】在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（）个．A．10个 B．11个 C．12个 D．13个【答案】B【解答】解：设黑球个数为：x个，∵摸到白色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到白色球的概率为25%，∴＝0.25，解得：x＝11，故黑球的个数为11个．故选：B．【变式6-2】如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）A．6cm2 B．7cm2 C．8cm2 D．9cm2【答案】B【解答】解：假设不规则图案的面积为xcm2，由已知得：长方形面积为20cm2，根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，综上：，解得：x＝7，∴不规则图案的面积大约为7cm2，故选：B．1．翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件是（）A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．无法确定【答案】B【解答】解：翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件是随机事件，故选：B．2．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是＝．故选：C．3任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，且掷出的点数大于4的有2种情况，∴任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的概率是：＝．故选：A．4．一位批发商从某服装制造公司购进60包型号为L的衬衫，由于包装工人疏忽，在包裹中混进了型号为M的衬衫，每包混入的M号衬衫数及相应的包数如表所示．M号衬衫数13457包数207101112一位零售商从60包中任意选取一包，则包中混入M号衬衫数不超过3的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：一位零售商从60包中任意选取一包，包中混入M号衬衫数不超过3的概率＝＝．故选：C．5．在掷硬币的试验中，正确的是（）A．老师安排每位同学回家做试验，硬币自由选取 B．老师安排同学回家做试验，硬币统一发（完全一样的）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 C．甲做了2000次，得出正面向上的机率是46%，于是他断定在做第2001次时，正面不会向上 D．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大量完全一样的硬币，随意朝上轻轻抛出，然后统计正面向上的次数，这样大大提高了速度【答案】D【解答】解：A、应选择相同的硬币，在类似的条件下试验，故错误，不符合题意；B、所有的试验结果都是有可能发生，也有可能不发生的，故错误，不符合题意；C、在做第2001次时，正面由可能向上，也有可能向下，故错误，不符合题意；D、符合模拟试验的条件，正确，符合题意．故选：D．6．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为＝，故选：A．7．不透明的盒子里有3个形状、大小、质地完全相同的小球，上面分别标记数字1、2、3，从中随机抽出一个小球，放回后再随机抽出1个小球，把第1次抽出的小球上的数字作为两位数a的十位数字，第2次抽出的小球上的数字作为两位数a的个位数字，则两位数a是3的倍数的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：画树状图得：共有9种等可能的情况，其中能被3整除的有12，21，33共3种情况，所以两位数a是3的倍数的概率为＝，故选：A．8．从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为＝．故选：B．9．（2021春•温江区校级期末）一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球（）个．A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解答】解：设有红色球x个，根据题意得：＝0.4，解得：x＝12，经检验，x＝12是分式方程的解且符合题意．故选：B．10．一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.3、0.5．