专题12二次函数(原卷版+解析)

第12讲二次函数（精讲精练）1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质3.会用配方法将数字系数的二次函数的关系式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。TOC\o"1-1"\h\u考点1.1：二次函数图像与性质 3考点1.2（拓展运用1）：二次函数性质 15考点1.3（拓展运用2）：二次函数最值问题 21考点2：二次函数图像与系数关系 28考点3：二次函数的平移 48考点4：二次函数与方程、不等式的关系 53考点5：待定系数法求二次函数解析式 64考点6：实际问题与二次函数 73课堂总结：思维导图 92分层训练：课堂知识巩固 93考点1.1：二次函数图像与性质1.二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数2.二次函数图像与性质｛二次函数的定义★｝下列关于的函数一定为二次函数的是A． B． C． D．｛二次函数的图像★｝一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是A．B． C． D．｛二次函数的图像★｝如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是A．B．C． D．｛二次函数的性质★｝某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：0121由于粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是A． B． C．2 D．｛二次函数的性质★｝已知二次函数、、为常数，且图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：0120233那么，它的对称轴为A．直线 B．直线 C．直线 D．直线｛二次函数的性质★｝抛物线的对称轴是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线｛二次函数的性质★｝已知二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为16，则的值为A． B． C．1 D．｛二次函数的性质★｝抛物线与轴的交点坐标为A． B． C． D．｛二次函数的性质★｝下列抛物线中，开口最窄的是A． B． C． D．｛二次函数的性质★｝若抛物线的顶点在轴上，则的值是A．1 B． C． D．｛二次函数的定义★｝已知是关于的二次函数，那么的值为．｛二次函数的图像★｝函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是A．B．C． D．｛二次函数的性质★｝二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是0134242A．抛物线开口向上 B．的最大值为4 C．当时，随的增大而减小 D．当时，｛二次函数的性质★｝抛物线，经过，两点，那么它的对称轴是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线｛二次函数的性质★｝关于的图象，下列叙述正确的是A．其图象开口向下 B．其最小值为2 C．当时随增大而减小 D．其图象的对称轴为直线｛二次函数的性质★｝由二次函数可知A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数最小值为3 D．随的增大而减小（2021•阜新）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，则下列说法正确的是A． B．点的坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线（2021•东营）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A．B．C． D．（2021•阿坝州）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是A．， B． C．方程的解是， D．不等式的解集是（2021•兰州）二次函数的图象的对称轴是A． B． C． D．考点1.2（拓展运用1）：二次函数性质（2021•福建）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则（2020•黄石）若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是A． B． C． D．（2019•福建）若二次函数的图象经过、、、，、，则、、的大小关系是A． B． C． D．｛★｝在抛物线上有，和三点，则、和的大小关系为A． B． C． D．｛★★｝若二次函数的图象，过不同的五点、、、，、，则、、的大小关系是A． B． C． D．｛★★｝已知抛物线经过、、、，下列结论中一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则｛★★★｝若二次函数的图象，过不同的六点、、、、，、，则、、的大小关系是A． B． C． D．｛★★★｝二次函数的图象经过，，，四个点，下列说法一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则｛★★｝二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表：013353则代数式的值为A． B． C．9 D．15考点1.3（拓展运用2）：二次函数最值问题（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为A． B．4 C． D．5（2018•黄冈）当时，函数的最小值为1，则的值为A． B．2 C．0或2 D．或2（2021•贵港）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，且，则的最大值是．（2020•德阳）若实数，满足，设，则的取值范围是．｛★★★｝已知二次函数为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是A． B． C．或 D．或｛★★★｝已知非负数，，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是A．16 B．15 C．9 D．7｛★★★｝若，且，则在最小值为，最大值为．｛★★★｝函数在有最小值，则实数的值是．｛★★｝如图，抛物线与抛物线交于点，，若无论取任何值，总取，中的最小值，则的最大值是A．4 B．5 C．2 D．1｛★★｝已知二次函数在时有最小值，则A．3 B．或 C．3或 D．或｛★★｝若点在抛物线上，则的最小值为．｛★★★｝当时，函数的最小值为1，则的值为．考点2：二次函数图像与系数关系｛二次函数图像与系数关系★｝已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是A． B． C． D．｛二次函数图像与系数关系★｝如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴是直线，点的坐标为．下面的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•日照）如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④若图象经过点，方程的两根为，，则．其中正确的结论的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•襄阳）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•株洲）二次函数，若，，点，，，在该二次函数的图象上，其中，，则A． B． C． D．、的大小无法确定｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•泸州）已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为A． B．2 C．3 D．4（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛二次函数图像与系数关系★｝（2019•德阳）对于二次函数，在下列几种说法中：①当时．随的增大而减小；②若函数的图象与轴有交点，则；③若，则二次函数的图象在轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标原点旋转，则旋转后的函数图象的顶点坐标为，其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4｛二次函数图像与系数关系★｝（2019•朝阳）已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4｛二次函数图像与系数关系★｝（2018•荆门）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛二次函数图像与系数关系★｝如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③方程有一个根大于2；④当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个｛二次函数图像与系数关系★｝二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤有两个相等的实数根，其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛二次函数图像与系数关系★｝已知抛物线，，是常数，与轴的一个交点为，，，其对称轴是直线．有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．3｛二次函数图像与系数关系★｝如图，抛物线与轴的一个交点在点和之间（包括这两点），顶点是矩形上（包括边界和内部）的一个动点，则的取值范围是A． B． C． D．｛二次函数图像与系数关系★｝（2021•黔东南州）如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤，其中正确的有．（填写正确的序号）（2021•攀枝花）如图，二次函数的图象的对称轴为，且经过点，下列说法错误的是A． B． C．当时， D．不等式的解集是（2021•日照）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若，和，是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是A．4 B．3 C．2 D．1（2021•牡丹江）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中：①；②；③；④，则正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4（2021•烟台）如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点．下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④．其中正确的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个（2021•鄂州）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5．上述结论中正确结论的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点3：二次函数的平移｛二次函数的平移★｝将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向右平移1个单位长，再向上平移3个单位长，平移后的解析式为y＝x2+bx+c，则b、c的值分别为（）A．b＝﹣2，c＝2 B．b＝﹣4，c＝﹣4 C．b＝﹣4，c＝5 D．b＝0，c＝2｛二次函数的平移★｝将抛物线绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的解析式为A． B． C． D．｛二次函数的平移★｝在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，而把轴、轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为A． B． C． D．｛二次函数的平移★｝将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：．｛二次函数的平移★｝将抛物线的图象绕坐标原点旋转所得的新的抛物线的解析式为．｛二次函数的平移★｝将的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后所得图象的函数表达式为．（2021•苏州）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是A．或2 B． C．2 D．（2021•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则该抛物线关于点成中心对称的抛物线的表达式为A． B． C． D．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则，的值为A．， B．， C．， D．，（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点4：二次函数与方程、不等式的关系｛二次函数与方程★｝根据表格中二次函数的自变量与函数值的对应值，可以判断方程的一个解的范围是00.511.5213.57A． B． C． D．｛二次函数与方程★｝如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到为1.21.31.41.51.60.250.76A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6｛二次函数与方程★｝已知二次函数中与的部分对应值如表：012232关于此函数的图象和性质有如下判断：①抛物线开口向下．②当时，函数图象从左到右上升．③方程的一个根在与之间．其中正确的是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为A． B． C．或 D．｛二次函数与不等式★｝如图，抛物线与轴交于点，，把抛物线在轴及共上方的部分记作将向左平移得到，与轴交于点，，若直线与，共3个不同的交点，则的取值范围是A． B． C． D．｛二次函数与方程★｝设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”④是函数，的“逼近区间”其中，正确的结论有多少个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛二次函数与方程★｝如图，已知顶点为的抛物线经过点，则下列结论中正确的是A． B． C．若点，在抛物线上，则 D．关于的一元二次方程的两根为和｛二次函数与不等式★｝已知关于的一元二次方程的一个根为，二次函数的图象的顶点坐标为，则关于的不等式的解为A．或 B．或 C． D．｛二次函数与方程★｝如表给出了二次函数中，的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解（精确到为1.21.31.41.51.60.250.76A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6（2020•昆明）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，点在抛物线上，则下列结论中错误的是A． B．一元二次方程的正实数根在2和3之间 C． D．点，在抛物线上，当实数时，（2020•毕节市）已知的图象如图所示，对称轴为直线．若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是A． B． C． D．（2021•贺州）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是A．或 B．或 C． D．（2020•梧州）如图，抛物线与直线交于，两点，下列是关于的不等式或方程，结论正确的是A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是，（2021•赤峰）已知抛物线上的部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：0123303以下结论正确的是A．抛物线的开口向下 B．当时，随增大而增大 C．方程的根为0和2 D．当时，的取值范围是考点5：待定系数法求二次函数解析式｛确定二次函数的解析式★｝如图是一个不倒翁的部分剖面图，可看作一个抛物线，若肚子最大的宽度，，按图示位置建立的平面直角坐标系可知，抛物线表达式为A． B． C． D．｛确定二次函数的解析式★｝若抛物线与抛物线的顶点重合，且与轴的交点的坐标为，则抛物线的表达式是．｛确定二次函数的解析式★｝如图，在平面直角坐标系中，，，，点的坐标为．抛物线经过、两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方抛物线上的一点，过点作垂直轴于点，交线段于点，使，求点的坐标．｛确定二次函数的解析式★｝已知抛物线与直线，无论取任何实数，此抛物线与直线都只有一个公共点，那么抛物线的解析式是．｛确定二次函数的解析式★｝如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，求抛物线的函数解析式．｛确定二次函数的解析式★｝若两个二次函数的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数的函数”；（2）已知关于的二次函数，和，其中的图象经过点，若与为“同簇二次函数”，求函数的表达式．并求当时，的取值范围．（2021•无锡）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴正半轴上的一个动点，过点的直线与二次函数的图象交于、两点，且，为的中点，设点的坐标为，，写出关于的函数表达式为：．（2017•广州）已知抛物线，直线，的对称轴与交于点，点与的顶点的距离是4．（1）求的解析式；（2）若随着的增大而增大，且与都经过轴上的同一点，求的解析式．考点6：实际问题与二次函数｛二次函数的应用★★｝（2021•连云港）某快餐店销售、两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份种快餐的利润，同时提高每份种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份种快餐利润每降1元可多卖2份，每份种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是元．｛二次函数的应用★★｝（2021•德州）某公司分别在，两城生产同种产品，共100件．城生产产品的成本（万元）与产品数量（件之间具有函数关系，城生产产品的每件成本为60万元．（1）当城生产多少件产品时，，两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？（2）从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和3万元件；从城把该产品运往，两地的费用分别为1万元件和2万元件．地需要90件，地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使，两城运费的和最小？｛二次函数的应用★★｝（2021•十堰）某商贸公司购进某种商品的成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价（元与时间（天之间的函数关系式为：，且日销量与时间（天之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：时间（天13610日销量142138132124（1）填空：与的函数关系为；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠元利润给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围．｛二次函数的应用★★｝（2021•扬州）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．说明：①汽车数量为整数；②月利润月租车费月维护费；③两公司月利润差月利润较高公司的利润月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出元给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求的取值范围．｛二次函数的应用★★｝（2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱组成，通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点．拱高为78米（即最高点到的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为A． B． C． D．｛二次函数的应用★★｝（2018•连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式．则下列说法中正确的是A．点火后和点火后的升空高度相同 B．点火后火箭落于地面 C．点火后的升空高度为 D．火箭升空的最大高度为｛二次函数的应用★★｝如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯，杯体轴截面是抛物线的一部分，则杯口的口径为A．7 B．8 C．9 D．10｛二次函数的应用★★｝如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廊是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为80m，高度分别为300m和225m，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（AB的长）为m．｛二次函数的应用★★｝（2019•舟山）某农作物的生长率与温度有如下关系：如图，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．（1）求的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数（天与生长率之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：生长率0.20.250.30.35提前上市的天数（天051015求：①关于的函数表达式；②用含的代数式表示．③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到时的成本为200元天，但若欲加温到，由于要采用特殊方法，成本增加到400元天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注农作物上市售出后大棚暂停使用）｛二次函数的应用★★｝（2019•包头）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？｛二次函数的应用★★｝（2019•通辽）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升．书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量（本与销售单价（元之间的函数关系式及自变量的取值范围．（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求的值．｛二次函数的应用★★｝（2019•嘉兴）某农作物的生长率与温度有如下关系：如图1，当时可近似用函数刻画；当时可近似用函数刻画．（1）求的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数（天与生长率满足函数关系：生长率0.20.250.30.35提前上市的天数（天051015①请运用已学的知识，求关于的函数表达式；②请用含的代数式表示．（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本（元与大棚温度之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，，垂足为．已知，，则该水流距水平面的最大高度的长度为A． B． C． D．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：分钟）近似满足的函数关系为：，，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度与足球被踢出后经过的时间之间的关系为，则足球距地面的最大高度是．（2021•沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为元时，才能使每天所获销售利润最大．（2021•随州）如今我国的大棚（如图种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米与其离墙体的水平距离（米之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米．（1）直接写出，的值；（2）求大棚的最高处到地面的距离；（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？（2020•黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价（元满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为（元．（1）请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当元时，网络平台将向板栗公司收取元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求的值．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•莱州市期末）如图是二次函数的图象，则函数的图象可能是A． B． C． D．2．（2022秋•西工区校级期中）抛物线的顶点坐标是A．9， B． C． D．3．（2020秋•射阳县校级月考）关于的二次函数的图象过原点，则的值为A． B．3 C． D．04．（2022秋•潮阳区期末）二次函数的顶点坐标是A． B． C． D．5．（2022秋•游仙区期中）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④6．（2022秋•青县月考）已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是A．该抛物线的开口向下 B． C．点在轴的正半轴 D．当时，函数随的增大而增大7．（2022秋•晋安区期中）已知点，，，在的图象上，则，，的大小关系是A． B． C． D．8．（2022秋•靖西市期中）对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为A．3 B．4 C．5 D．69．（2022•内蒙古）如图，抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴为直线，下列结论：①；②；③当时，的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有其中结论正确的个数是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022•衢州）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为A．或4 B．或 C．或4 D．或411．（2022•普定县模拟）将二次函数向左平移5个单位，再向上平移3个单位，所得新抛物线表达式为A． B． C． D．12．（2022•兰州）已知二次函数，当函数值随值的增大而增大时，的取值范围是A． B． C． D．13．（2022•贺州）已知二次函数在时，取得的最大值为15，则的值为A．1 B．2 C．3 D．414．（2022秋•江干区校级期中）二次函数的最小值是，最大值是．15．（2022秋•莱州市期末）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：与飞行时间（单位：直接具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为．16．（2022秋•南关区校级期末）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长的栅栏，设面积为，垂直于墙的一边长为．则关于的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）1．（2022•下城区校级二模）关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则2．（2022•宝安区校级模拟）如图，二次函数的图象经过点，点，点，其中，下列结论：①，②，③，④方程有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数为个．A．1 B．2 C．3 D．43．（2022•碑林区校级模拟）一身高的篮球运动员在距篮板与的水平距离）处跳起投篮，球在运动员头顶上方处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用来描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.254．（2022•梧州）如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，，，下列结论错误的是A． B．若实数，则 C． D．当时，5．（2022•文登区一模）如图，点，点的坐标分别为，，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于，两点（点在点的左侧）．若点的横坐标的最大值为6，则点的横坐标的最小值为A． B．1 C． D．6．（2022•常德）我们发现：，，，，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对，则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上，其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（2022•槐荫区一模）二次函数为常数，，当时二次函数的函数值恒小于4，则的取值范围为A． B． C．或 D．或8．（2022•天津二模）已知抛物线，，均是不为0的常数）经过点．有如下结论：①若此抛物线过点，则；②若，则方程一定有一根；③点，，，在此抛物线上，若，则当时，，其中，正确结论的个数是A．0 B．1 C．2 D．39．（2022•贺州二模）已知二次函数，当时，取得最小值为，则的值为A． B．0 C．1 D．210．（2022•云岩区一模）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是抛物线，，为常数，对称轴上的一个动点．若抛物线的对称轴上恰存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值为A．或 B．或0 C．或2 D．0或211．（2022•长清区二模）二次函数，当时，对应的的整数值有4个，则的取值范围是A． B． C．或 D．或12．（2022•莱芜区二模）定义：平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的折线距离，记为（其中的“”是四则运算中的加法），若抛物线与直线只有一个交点，已知点在第一象限，且，令，则的取值范围为A． B． C． D．13．（2022•龙岩模拟）已知点，，，均在抛物线上，若，，则A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，14．（2022•涡阳县二模）如图，在菱形中，，，矩形的四个顶点分别在菱形的四边上，，则矩形的最大面积为A． B． C． D．15．（2022•锡山区校级二模）当时，二次函数的最小值为，则的值为A．2 B． C．2或 D．2或16．（2022•双流区模拟）在平面直角坐标系中，如果抛物线不动，把轴向上平移2个单位长度，轴向右平移2个单位长度，那么关于新坐标系下的抛物线，下列说法正确的是A．新坐标系下的抛物线的对称轴为直线 B．新坐标系下的抛物线与轴的交点纵坐标为 C．新坐标系下的抛物线的顶点在第三象限 D．新坐标系下的抛物线与轴一定有两个交点1．（2022•樊城区模拟）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若且，则．其中正确的有A．①④ B．③④ C．②⑤ D．②③⑤2．（2022•香洲区校级一模）如图（1）所示，为矩形的边上一点，动点，同时从点出发，点沿折线运动到点时停止，点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是秒．设、同时出发秒时，的面积为．已知与的函数关系图象如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①；②；③当时，；④当秒时，；其中正确的结论是A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④3．（2022•阜新模拟）如图，已知二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，是抛物线上一点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）如图1，当点在直线上方时，求面积的最大值；（3）直线轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•香坊区二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，，连接，．（1）如图1，分别求、的值；（2）如图2，点为第一象限的抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点的横坐标是3，点在上，连接，点在上，点为第二象限内直线左侧一点，连接、，，连接并延长至点，连接，，，，交于点，若，求点的坐标．5．（2022•丹东）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为．（1）求抛物线的表达式；（2）设线段的长度为，请用含有的代数式表示；（3）如图2，过点作，垂足为，当时，请求出的值；（4）如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标．6．（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为．（1）求抛物线的表达式；（2）是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标；（3）是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•江岸区校级模拟）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，若，是抛物线上两点，在对称轴右侧，且，求点坐标；（3）如图3，是点右侧抛物线上的一动点，、两点关于轴对称，直线、分别交直线于、两点，交轴于，求的值．第12讲二次函数（精讲精练）1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质3.会用配方法将数字系数的二次函数的关系式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。TOC\o"1-1"\h\u考点1.1：二次函数图像与性质 3考点1.2（拓展运用1）：二次函数性质 15考点1.3（拓展运用2）：二次函数最值问题 21考点2：二次函数图像与系数关系 28考点3：二次函数的平移 48考点4：二次函数与方程、不等式的关系 53考点5：待定系数法求二次函数解析式 64考点6：实际问题与二次函数 73课堂总结：思维导图 92分层训练：课堂知识巩固 93考点1.1：二次函数图像与性质1.二次函数的定义：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数2.二次函数图像与性质｛二次函数的定义★｝下列关于的函数一定为二次函数的是A． B． C． D．【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【解答】解：．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；．当时，不是二次函数，故本选项不符合题意；．是二次函数，故本选项符合题意；．是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如、、为常数，的函数，叫二次函数．｛二次函数的图像★｝一次函数与二次函数在同一平面直角内坐标系中的图象可能是A．B． C． D．【分析】先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．故选：．【点评】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．｛二次函数的图像★｝如图，一次函数与二次函数图象在同一坐标系下如图所示，则函数的图象可能是A．B．C． D．【分析】根据一次函数与二次函数图象交点位置，即可判断函数的图像与轴在交点的位置．【解答】解：一次函数与二次函数图象的交点在第二象限，两个交点的横坐标都是负数，函数的图像与轴的交点的横坐标都为负数，函数的图像与轴的负半轴有两个交点，故选：．【点评】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，关键是根据图象确定出交点横坐标的符号．｛二次函数的性质★｝某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：0121由于粗心，他算错了其中一个值，则这个错误的数值是A． B． C．2 D．【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质可知、、对应的函数值是正确的，从而可以求得二次函数的解析式，再将和代入解析式，即可判断哪个值是错误的，本题得以解决．【解答】解：由表格可得，该二次函数的对称轴是直线，经过点，，，，解得，，，当时，，当时，，故选：．【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出函数的解析式，利用二次函数的性质解答．｛二次函数的性质★｝已知二次函数、、为常数，且图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：0120233那么，它的对称轴为A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【分析】首先找出纵坐标相等的两个点，可根据这两个点的横坐标判断出抛物线的对称轴；【解答】解：由抛物线过、两点知：抛物线的对称轴是直线，故选：．【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是从表中找到两个纵坐标相等的点，难度不大．｛二次函数的性质★｝抛物线的对称轴是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【分析】根据抛物线的顶点式方程，可以直接写出它的对称轴直线方程．【解答】解：抛物线的对称轴是直线；故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式方程为，顶点坐标是，对称轴是直线．｛二次函数的性质★｝已知二次函数，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为16，则的值为A． B． C．1 D．【分析】根据题意可以判断的正负和关于的方程，从而可以求得的值，本题得以解决．【解答】解：二次函数，该函数的对称轴是直线，当时，随的增大而增大，且时，的最大值为16，，当时，，解得，或（舍去），故选：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．｛二次函数的性质★｝抛物线与轴的交点坐标为A． B． C． D．【分析】令，求出相应的的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标．【解答】解：抛物线，当时，，即抛物线与轴的交点坐标是，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与轴交点，就是求出当时的值．｛二次函数的性质★｝下列抛物线中，开口最窄的是A． B． C． D．【分析】根据的绝对值越大，开口越小，绝对值越小，开口越大，可以解答本题．【解答】解：，函数的图象的开口最窄，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．｛二次函数的性质★｝若抛物线的顶点在轴上，则的值是A．1 B． C． D．【分析】抛物线的顶点在轴上时，抛物线与轴的交点只有一个，因此根的判别式△，可据此求出的值．【解答】解：抛物线的顶点在轴上，，即，解得．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解当顶点在轴上时，抛物线与轴有唯一的公共点．｛二次函数的定义★｝已知是关于的二次函数，那么的值为2．【分析】根据形如是二次函数，可得答案．【解答】解：是关于的二次函数，且．解得．故答案为：2．【点评】本题主要考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义得出关于的方程是解题的关键．｛二次函数的图像★｝函数的图象如图所示，则选项中函数的图象正确的是A．B．C． D．【分析】先根据的图象得到、、的正负情况，然后即可得到函数的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．【解答】解：由的图象可得，，，，函数，该函数的图象开口向下，顶点坐标为，且该函数图象的顶点在第一象限，故选：．【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出、、的正负情况，利用二次函数的性质解答．｛二次函数的性质★｝二次函数的与的部分对应值如下表，则下列判断中正确的是0134242A．抛物线开口向上 B．的最大值为4 C．当时，随的增大而减小 D．当时，【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断．【解答】解：将点，，代入二次函数的解析式，得：，解得：，抛物线的解析式为，，抛物线开口向下，选项不合题意，由顶点式可知的最大值为，选项不合题意，由解析式可知抛物线的对称轴为，当，随着的增大而增大，当时，随的增大先增大，到达最大值后，随的增大而减小，选项不合题意，当时，，当时，，又对称轴为，当时，，当时，，故选项正确；故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，关键是能根据表中的数据确定抛物线的解析式．｛二次函数的性质★｝抛物线，经过，两点，那么它的对称轴是A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【分析】抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标的平均数．【解答】解：因为已知两点的纵坐标相同，都是9，所以对称轴是直线．故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解抛物线的对称性，题目比较灵活，也比较容易．｛二次函数的性质★｝关于的图象，下列叙述正确的是A．其图象开口向下 B．其最小值为2 C．当时随增大而减小 D．其图象的对称轴为直线【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：二次函数中，，该函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，函数有最小值2，当时，随的增大而增大，故选项、、错误；选项正确；故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性．｛二次函数的性质★｝由二次函数可知A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴为直线 C．函数最小值为3 D．随的增大而减小【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可．【解答】解：，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，函数有最小值1，当时，随的增大而减小，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．（2021•阜新）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，则下列说法正确的是A． B．点的坐标为 C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴为直线【分析】因为图象开口方向向上，所以，故错误，因为图象对称轴为直线，且过，所以点坐标为，故错误，正确，当时，由图象可知随的增大先减小后增大，故错误，即选．【解答】解：二次函数的图象开口方向向上，，故错误，图象对称轴为直线，且过，点的坐标为，故错误，正确，由图象知，当时，由图象可知随的增大先减小后增大，故错误，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图形性质是解题的关键．（2021•东营）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是A． B． C． D．【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可得出、的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【解答】解：、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，一次函数图象应该过第二、三、四象限，不可能；、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，一次函数图象应该过第一、三、四象限，不可能；、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，一次函数图象应该过第二、三、四象限，可能；、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，一次函数图象应该过第二、三、四象限，不可能．故选：．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据、的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．（2021•阿坝州）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是A．， B． C．方程的解是， D．不等式的解集是【分析】根据函数图象确定对称轴、最大值、增减性、二次函数与一元二次方程的关系判断即可．【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，所以；对称轴为直线，所以，所以，故正确．因为抛物线与轴有两个交点，所以，故正确．由图象和对称轴公式可知，抛物线与轴交于点和，所以方程的解是，，故正确．由图象可知，不等式的解集是，故错误．故选：．【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质，理解二次函数的对称轴、最值、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的增减性是解题的关键．（2021•兰州）二次函数的图象的对称轴是A． B． C． D．【分析】根据二次函数对称轴为直线求解．【解答】解：二次函数，抛物线对称轴为直线．故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的对称轴为直线．考点1.2（拓展运用1）：二次函数性质（2021•福建）二次函数的图象过，，，四个点，下列说法一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】观察图象可知，，再结合题目一一判断即可．【解答】解：如图，由题意对称轴为直线，观察图象可知，，若，则或，选项不符合题意，若，则或，选项不符合题意，若，则，选项符合题意，若，则或，选项不符合题意，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．（2020•黄石）若二次函数的图象，过不同的六点、、、，、、，则、、的大小关系是A． B． C． D．【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．【解答】解：由题意②①得，④，③②得，⑤，④⑤得到，，可得，抛物线的对称轴，，、、，则，故选：．解法二：解：由二次函数可知，抛物线开口向上，、、、点关于对称轴的对称点在5与6之间，对称轴的取值范围为，，点到对称轴的距离小于，点到对称轴的距离大于，，故选：．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．（2019•福建）若二次函数的图象经过、、、，、，则、、的大小关系是A． B． C． D．【分析】由点、的对称性，可求函数的对称轴为，再由、，、与对称轴的距离，即可判断；【解答】解：经过、，二次函数的对称轴，、，、与对称轴的距离最远，最近，，；故选：．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．｛★｝在抛物线上有，和三点，则、和的大小关系为A． B． C． D．【分析】先求出对称轴是直线，根据二次函数的性质得出当时，随的增大而增大，再根据点的坐标和二次函数的性质比较即可．【解答】解：抛物线，抛物线的开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而增大，点关于直线的对称点的坐标是图象过点、和，又，，故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．｛★★｝若二次函数的图象，过不同的五点、、、，、，则、、的大小关系是A． B． C． D．【分析】由、的对称性，可求函数的对称轴为，再由、，、与对称轴的距离，即可判断．【解答】解：二次函数的图象经过、，开口向下，对称轴为直线，、，、与对称轴的距离最远，最近，；故选：．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．｛★★｝已知抛物线经过、、、，下列结论中一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据、、、的坐标可知，与，与关于直线对称，则，，对四个选项进行判断即可．【解答】解：，抛物线对称轴为直线，抛物线经过、、、，与，与关于直线对称，，，若，则，故错误；若，则，故正确；若，则，故错误；若，则或，故错误；故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得出与，与是关于对称轴的对称点为解题的关键．｛★★★｝若二次函数的图象，过不同的六点、、、、，、，则、、的大小关系是A． B． C． D．【分析】由解析式可知抛物线开口向上，点、、求得抛物线对称轴所处的范围，然后根据二次函数的性质判断可得．【解答】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，、、、点关于对称轴的对称点在5与6之间，对称轴的取值范围为，，点到对称轴的距离小于，点到对称轴的距离大于，，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，根据题意得到抛物线的对称轴和开口方向是解题的关键．｛★★★｝二次函数的图象经过，，，四个点，下列说法一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】通过解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而判断出，然后分别判断四个选项求解．【解答】解：，抛物线开口向上，对称轴为直线，，，选项中，若，则，错误，不符合题意．选项中，若，由能判断，错误，不符合题意．选项中，若，由不能判断，错误，不符合题意．选项中，若，由能判断符号，正确，符合题意．故选：．【点评】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质．｛★★｝二次函数，，为常数，且中的与的部分对应值如表：013353则代数式的值为A． B． C．9 D．15【分析】由当和时值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线，进而可得出的值，由时，可得出当时，即，再将及代入中即可求出结论．【解答】解：当和时，值相等，二次函数图象的对称轴为直线，．当时，，当时，，．．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出和的值是解题的关键．考点1.3（拓展运用2）：二次函数最值问题（2021•广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值为A． B．4 C． D．5【分析】根据公式算出的值，代入公式即可求出解．【解答】解：，，，，，，，当时，有最大值为．故选：．【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积．（2018•黄冈）当时，函数的最小值为1，则的值为A． B．2 C．0或2 D．或2【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当时，有，解得：，．当时，函数有最小值1，或，或，故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．（2021•贵港）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，且，则的最大值是8．【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可．【解答】解：根据题意知：．因为，所以当时，．即的最大值是8．故答案是：8．【点评】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值．（2020•德阳）若实数，满足，设，则的取值范围是．【分析】由已知等式表示出，代入中利用二次函数最值即可确定出范围．【解答】解：由，得：，，代入得：，当时，，；故答案为：．【点评】此题考查了非负数的性质，用一个未知数表示另一个未知数，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是关键．｛★★★｝已知二次函数为常数），当时，函数值的最小值为，则的值是A． B． C．或 D．或【分析】将二次函数配方成顶点式，分、和三种情况，根据的最小值为，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：，①若，当时，，解得：；②若，当时，，解得：（舍；③若，当时，，解得：或（舍，的值为或，故选：．【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．｛★★★｝已知非负数，，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是A．16 B．15 C．9 D．7【分析】用表示出、并求出的取值范围，再代入整理成关于的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出、的值，再相减即可得解．【解答】解：，，，，，都是非负数，，解不等式①得，，解不等式②得，，，，，对称轴为直线，时，最小值，时，最大值，．故选：．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，用表示出、并求出的取值范围是解题的关键，难点在于整理出关于的函数关系式．｛★★★｝若，且，则在最小值为，最大值为．【分析】由得出，由得出的取值范围，再将化为只含的代数式，进而求解．【解答】解：，，，．，，，，，，故答案为：，．【点评】本题考查求二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．｛★★★｝函数在有最小值，则实数的值是2．【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后分三种情况讨论得到关于的方程，解方程求得的值，看是否是满足条件的．【解答】解：，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，则时，函数有最小值，此时，解得（不合题意，舍去）；当时，则时，函数有最小值，此时，解得（不合题意，舍去）；当时，则时，函数有最小值，此时，解得，（舍去），综上，实数的值是2，故答案为：2．【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．｛★★｝如图，抛物线与抛物线交于点，，若无论取任何值，总取，中的最小值，则的最大值是A．4 B．5 C．2 D．1【分析】观察函数图象找出函数图象的最高点，由此即可得出的最大值，此题得解．【解答】解：由题意可知：的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点为函数的图象的最高点，的最大值为4．故选：．【点评】本题考查了二次函数的最值，观察函数图象，找出二次函数的最高点是解题的关键．｛★★｝已知二次函数在时有最小值，则A．3 B．或 C．3或 D．或【分析】先求出对称轴为，分，两种情况讨论解答即可求得的值．【解答】解：二次函数，对称轴为直线，①，抛物线开口向上，时，有最小值，解得：；②，抛物线开口向下，对称轴为直线，在时有最小值，时，有最小值，解得：；故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．｛★★｝若点在抛物线上，则的最小值为．【分析】把点代入求得，进而即可求得，化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得．【解答】解：点在抛物线上，，，，的最小值为，故答案为．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．｛★★★｝当时，函数的最小值为1，则的值为0或3．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当时，有，解得：，．当时，函数有最小值1，或，或，故答案为：0或3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．考点2：二次函数图像与系数关系｛二次函数图像与系数关系★｝已知抛物线的图象如图所示，下列说法不正确的是A． B． C． D．【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；由抛物线与轴的交点情况即可判断；由对称轴为直线，即可判断；由时的函数值即可判断．【解答】解：由抛物线开口向下可知：，抛物线与轴交点在正半轴可得：，而抛物线对称轴是直线，，，，故正确，不合题意；抛物线与轴有两个交点，△，即，故正确，不合题意；抛物线对称轴是直线，，，故正确，不合题意；由图象可知：当时，，，故不正确，符合题意；故选：．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线开口方向、与轴、轴交点坐标、对称轴等与系数的关系．｛二次函数图像与系数关系★｝如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴是直线，点的坐标为．下面的四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】利用二次函数对称性以及结合的符号与轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案．【解答】解：抛物线对称轴是直线，点的坐标为，，，故选项①正确；抛物线与轴有两个交点，，故选项②正确；抛物线对称轴在轴左侧，，同号，，故选项③错误；当时，，，故选项④正确；故选：．【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•日照）如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③若为任意实数，则有；④若图象经过点，方程的两根为，，则．其中正确的结论的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】由图象可知，，由对称轴得，则，故①错误；当时，，得②正确；由时，有最大值，得，得③错误；由题意得二次函数与直线的一个交点为，另一个交点为，即，，进而得出④正确，即可得出结论．【解答】解：由图象可知：，，，，，故①错误；当时，，，故②正确；时，有最大值，为任意实数），即，即，故③错误；二次函数图象经过点，方程的两根为，，二次函数与直线的一个交点为，抛物线的对称轴为直线，二次函数与直线的另一个交点为，即，，，故④正确．所以正确的是②④；故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•襄阳）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【解答】解：①抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，，，，结论①正确；②抛物线对称轴为直线，，，抛物线经过点，，，即，结论②正确；③抛物线与轴由两个交点，，即，结论③正确；④抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小，结论④错误；故选：．【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•株洲）二次函数，若，，点，，，在该二次函数的图象上，其中，，则A． B． C． D．、的大小无法确定【分析】首先分析出，，的取值范围，然后用含有代数式表示，，再作差法比较，的大小．【解答】解：，，．又，，，，，．点，，，在该二次函数的图象上，，．．．故选：．方法二：设抛物线对称轴为，，，，，，，，，，抛物线开口向上，．故选：．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．｛二次函数图像与系数关系★｝（2020•泸州）已知二次函数（其中是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与轴有公共点，则的值为A． B．2 C．3 D．4【分析】求出抛物线的对称轴，再由抛物线的图象经过不同两点，，也可以得到对称轴为，可得，再根据二次函数的图象与轴有公共点，得到，进而求出、的值．【解答】解：由二次函数的图象与轴有公共点，，即①，由抛物线的对称轴，抛物线经过不同两点，，，即，②，②代入①得，，即，因此，，，故选：．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，理解抛物线的对称性、二次函数与一元二次方程的关系是解决问题的关键．（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴轴的交点，综合判断即可．【解答】解：抛物线开口向上，因此，与轴交于负半轴，因此，故，所以①正确；抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，所以②不正确；时，随的增大而增大，所以③正确；抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．｛二次函数图像与系数关系★｝（2019•德阳）对于二次函数，在下列几种说法中：①当时．随的增大而减小；②若函数的图象与轴有交点，则；③若，则二次函数的图象在轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标原点旋转，则旋转后的函数图象的顶点坐标为，其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据抛物线的对称轴及开口方向可判断函数的增减变化；根据判别式△可得的取值范围；当时，解方程可得其与轴的交点坐标；将原抛物线解析式写成顶点式，得其顶点坐标，则易得旋转之后的函数图象的顶点坐标．【解答】解：抛物线的对称轴为，且开口向上当时．随的增大而减小，故①正确；当△，即时，函数图象与轴有交点，故②错误；当时，，解方程，得，函数图象与轴交于、函数图象开口向上当时，函数图象在轴下方，故③正确；顶点坐标为函数图象绕坐标原点旋转后，顶点坐标为，故④正确．综上，正确的有①③④故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，明确二次函数的对称性及其与轴的交点与一元二次方程的根的关系，同时明确二次函数的顶点式及其旋转后的顶点变化等知识点，这是解题的关键．｛二次函数图像与系数关系★｝（2019•朝阳）已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：，，由于对称轴，，，故①正确；②抛物线过，，，故②正确；③顶点坐标为：，由图象可知：，，，即，故③错误；④由图象可知：，，，，，，故④正确；故选：．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．｛二次函数图像与系数关系★｝（2018•荆门）二次函数的大致图象如图所示，顶点坐标为，下列结论：①；②；③若方程有两个根和，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：抛物线的顶点坐标，，，，，抛物线的解析式为，，故①正确，，故②错误，抛物线交轴于，，若方程有两个根和，且，则，正确，故③正确，若方程有四个根，设方程的两根分别为，，则，可得，设方程的两根分别为，，则，可得，所以这四个根的和为，故④错误，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．｛二次函数图像与系数关系★｝如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③方程有一个根大于2；④当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐