第九章中心对称图形平行四边形（旋转最值动点和四边形综合压轴）

第九章中心对称图形平行四边形（压轴题专练）一、旋转（几何问题）1．如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F．(1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：；(2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，三条线段之间的数量关系；(3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长．【答案】(1)证明见解答(2)(3)满足条件的的值为4或2或6【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，易得，由“”可证；（2）过点O作交与点H，可证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，即可得；（3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．【详解】（1）证明：如图①中，∵与为正三角形，∴，，∵将射线绕点O逆时针旋转，，，，，，；（2）解：，理由如下：，如图②，过点O作交与点H，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，；（3）解：作于H．，为正三角形，，，，如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时．，，，过点O作，交于N，是等边三角形，，，，，，，，，，，；如图③﹣2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时，同法可证：，，；如图③﹣3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时．同法可证：，，，；如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时．同法可知：，而，，；综上所述，满足条件的的值为4或2或6．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．2．在中，，，点D在线段上，点E在射线上，．【探究发现】（1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论；【类比迁移】（2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积．【答案】（1）（2）（1）中的结论成立，（3）【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解；（2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论；（3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解．【详解】（1）．证明：如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，，在和中，在中，由勾股定理知：，（2）（1）中的结论仍成立．理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，（3）∵，∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，，如图，过A作，则的边上的高【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键．3．知：，其中，直线交直线于点．

(1)图1中，点在上，求证：；(2)若将图1中的绕点按顺时针方向旋转，如图2，图3，你认为（1）中的结论还成立吗？请直接写出，与之间的数量关系；(3)若，，则___________．【答案】(1)见解析(2)不成立，见解析(3)3或13【分析】（1）连接，由，可得，，即可证明，有，从而；（2）图2中连接，证明，得，可得；图3中连接，证明，可得；（3）分为当在线段上时及当在的延长线上时，两种情况进行讨论即可．【详解】（1）证明：连接，

，，，，，，，，，；（2）：（1）中的结论不成立，图2中，理由如下：连接，

，，，，，，，，，；图3中，理由如下：连接，

，，，，，，，，，；（3）解：当在线段上时，由（1）知，，当在的延长线上时，由（2）可知，；综上所述，的长为3或13．故答案为：3或13．【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．最值问题4．如图，菱形中，，，点、、分别为线段、、上的任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称确定最短路线问题作图，再利用直线外一点到直线的距离垂线段最短确定最短距离并计算即可．【详解】解：作点关于的对称点，根据菱形的性质，点落在线段上，连接∴当在同一直线并且时，最小，过点作交于点∴最小为故选D．【点睛】本题主要考查轴对称求最短距离以及直线外一点到直线的距离垂线段最短的性质，菱形的性质，熟练掌握轴对称确定最短路线以及菱形的性质是解决本题的关键．5．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可．【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F，∵A与关于BC对称，∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时，∵正方形，点O为对角线的交点，∴，∵对称，∴，∴，在中，，故选：D．【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。6．如图，在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为．【答案】【分析】根据C是OB的中点，求出点的坐标，结合矩形性质得出，两点对称公式得出点；利用平行四边形的性质构造等量关系，则，由三点之间直线最短可知的值最小时，即，可得出结论．【详解】解：连接，∵，,为的中点，点．∴,∵四边形AOCD为矩形,∴,PH⊥OA于H，∴，∴，∴四边形为矩形,，，∴,∴四边形是平行四边形，∴,∵Q是点B关于点A的对称点，A（﹣4，0），B（0，4），∴点．∴．当点，，三点共线，的值最小，，．故答案为：．【点睛】本题考查四边形中的线段最短问题，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键．7．如图，在长方形ABCD中，，，点P为边AB上的一个动点，过点P作，分别交BD、CD于点E、Q，则的最小值为．【答案】4【分析】在长方形中，求出，，设，用勾股定理可得，可得，用勾股定理可得最小值．【详解】解：在长方形中，，，，，设，则，，在中，，，，在中，，，在中，，，如图：设，，，，，，则，，由图可知，当、、共线时，最小，最小值为的长，过作交延长线于，则四边形是矩形，在中，，，，最小值是4，最小值是4，故答案为：4．【点睛】本题考查矩形中的最短路径问题，解题的关键是设，用含的代数式表示，再构造数学模型用勾股定理即可求得答案．8．如图，菱形ABCD周长为16，∠DAC＝30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】【分析】连接BD交AC于点O，连接PD，DE．由四边形ABCD是菱形，可得：，．可知AC垂直平分BD，所以．可得，即．由四边形ABCD是菱形，,可得．由四边形ABCD是菱形且周长是16，可得．结合，可得是等边三角形．由于点E是AB的中点，可得．所以．由，可得．在中，由直角三角形性质，可求出．由勾股定理可得，可求出．所以的最小值为．【详解】解：连接BD交AC于点O，连接PD，DE四边形ABCD是菱形，，，，AC垂直平分BD即，菱形ABCD的周长为16是等边三角形点E是AB的中点在中，在中，由勾股定理得的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查知识点为：菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理．若要最小，应让PE、PB，在同一直线上，所以需将其中一条线段进行转移．掌握上述知识点和求最值的思路，是解决本题的关键．8．如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点M，N为AC上动点，且，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为．【答案】【分析】连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，连接NF、DF，根据正方形的性质和平行四边形的判定可证明四边形MEFN是平行四边形得到ME=NF，BN=DN，利用三角形三边关系可得ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），利用勾股定理求得DF即可求解．【详解】解：连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，则BE=BF=2，连接NF、DF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，点F在BC上，∴EF∥AC，EF==MN，∴四边形MEFN是平行四边形，∴ME=NF，∴ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），在Rt△DCF中，CD=8，CF=82=6，则DF==10，∴ME+BN≥10，∴MN+BE+ME+BN≥+2+10=12+，即则四边形BEMN的周长的最小值为12+，故答案为：12+．【点睛】本题考查最短路径问题，涉及正方形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、轴对称性质、三角形的三边关系，熟练掌握正方形的对称性质，会利用三角形的三边关系找的DF为最小是解答的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，若P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，四边形APQE的周长最小值为．【答案】【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，即四边形APQE的周长最小．【详解】在AD上截取线段AF=PQ=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．则四边形APQF是平行四边形∴PA=FQ=GQ∵E为CD边的中点∴DE=EC=2∴∵GH=DF=6，EH=EC+CH=2+4=6，∠H=90°，∴∠GEH=45°，∴，∴四边形APQE的周长的最小值=QE+EA+PQ+AP=+EQ+2+AP=+EQ+2+QG=+EG+2=．故答案为．【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．（特殊）平行四边形动点问题10．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，Q，在同一条直线l上，当，Q两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：(1)当Q在线段上时，___________；当Q在线段延长线上时，___________（用含t的代数式表示）．(2)当秒时，求S的值．(3)当重合部分为四边形时，请用含t的代数式表示S，并注明t的取值范围．(4)当点P到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出t的值．【答案】(1)；(2)(3)(4)或或或13【分析】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，三角形的面积，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系．（1）当点在上时，，当在的延长线时，；（2）当时，点在的右侧，此时的边长是3；（3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得；（4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得．【详解】（1）解：当点在上时，，当在的延长线时，．（2）解：如图1，作于，，，，，四边形是正方形，，，，；（3）解：当点和点重合时，点在上，此时，当点和重合时，此时，当点和和点重合时，此时，当点在上时，此时，当时，如图2，，，，，当时，如图3，，，，当时，如图4，此时是五边形或三角形，；（4）解：设点到的距离是，到的距离是，当点在的右侧时，，，，此时，当点在和之间时，当时，，，此时，当时，，，此时，当点在的左侧时，，，，此时，综上所述：或或或13．11．有一边长为的正方形和等腰直角，，．点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：(1)当在线段上时，_________；当在线段延长线上时，_________（用含的代数式表示）．(2)当秒时，求的值．(3)当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围．(4)当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是时，直接写出的值．【答案】(1)或(2)(3)(4)或或或13【分析】（1）当点在上时，，当在的延长线时，；（2）当时，点在的右侧，此时的边长是3；（3）先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得；（4）分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得．【详解】（1）解：当点在上时，，当在的延长线时，，故答案是或；（2）如图1，作于，∵，，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴；（3）当点和点重合时，点在上，此时，当点和重合时，此时，当点和和点重合时，此时，当点在上时，此时，∴当时，如图2，∵，∴，∵，∴，当时，如图3，∵，∴，∴，当时，如图4，此时是五边形或三角形，∴；（4）设点到的距离是，到的距离是，当点在的右侧时，∵，∴，∴，此时，当点在和之间时，当时，∵，∴，此时，当时，∵，∴，此时，当点在的左侧时，∵，，∴，此时，综上所述：或或或13．【点睛】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系．12．如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结．(1)直接写出点与点重合时的值．(2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）．(3)当时，求的值．(4)当时，直接写出的值．【答案】(1)5(2)(3)2或(4)4【分析】（1）由题意可得，即可；（2）根据题意可得，从而得到，即可；（3）分两种情况，点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形；点Q沿运动时，如图，过点C作于点N，则四边形是矩形，即可解决问题；（4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可．【详解】（1）解：点Q与点C重合时，由题意得：，解得：，即点Q与点C重合时，t的值为5；（2）解：当点Q沿运动时，由题意得：，∴，即的长为；（3）解：①∵四边形是平行四边形，∴，分两种情况：点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，解得：；②点Q沿运动时，如图，过点C作于点N，则四边形是矩形，∴∴，∴，同①得：，∴，解得：，综上所述，当时，t的值为2或；（4）解：分两种情况：点Q沿运动时，∵，∴，∵，∴四边形是等腰梯形，如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，∴，∴，由（3）得：，∴，解得：；当点Q沿运动时，∵，∴，当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形，∴，∴，由（3）得：，∴，解得：；如图，当四边形是平行四边形时，则，∴，解得：；综上所述，当时，t的值为4或或．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．13．如图，是直角梯形，，，，点P从B点开始，沿边向点A以的速度移动，点Q从D点开始，沿DC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从B、D同时出发，P、Q有一点到达终点时运动停止，设移动时间为t．(1)t为时四边形是平行四边形；(2)t为何值时四边形是矩形？(3)t为时四边形是等腰梯形．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的性质，熟知一组对边平行不相等，另一组对边不平行但相等的四边形是等腰直角梯形是解题的关键．（1）若四边形是平行四边形，则，即，即可得到答案；（2）若四边形是矩形，则，即，即可得到答案；（3）分别过点作，由于是直角梯形，故四边形是矩形，，若四边形是等腰梯形，故，由此求出答案．【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，即，，解得；（2）解：四边形是矩形，，即，，解得；（3）解：分别过点作，是直角梯形，，，四边形是矩形，，四边形是等腰梯形，故，，即，．14．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，．(1)四边形能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能；(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)当时，四边形能构成菱形，理由见解析(2)当或时，为直角三角形．理由见解析【分析】（1）由题意得，，再由含角的直角三角形的性质得，得到得四边形为菱形，得，进而求得的值；（2）分、两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．【详解】（1）解：由题意可知，，，，．，，．，，∴．，，∴四边形为平行四边形，∴要使平行四边形为菱形，则需，即，解得，∴当时，四边形为菱形；（2）解：当时，如图①，

，，，四边形为矩形．，即，解得，；当时，如图②，

，，∴．，即，解得，，综上所述，当或时，为直角三角形．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．四边形综合问题15．如图1，已知，在平面直角坐标系中，点为第一象限内的一点，过点B分别作x轴，y轴的平行线交x轴，y轴于点A、C．点D为射线上的一个动点，与关于直线对称，连接．(1)请判断四边形的形状；(2)若，当为直角三角形时，求的长；(3)如图2，若，点，过点A作交的延长线于点H，求的长．【答案】(1)四边形是矩形(2)18或2(3)【分析】（1）由题意可得，则四边形是矩形；（2）当D点在上时，D、、B三点共线，再由，得到，则，用勾股定理求出，则；当D在的延长线上时，、B、D三点共线，再由，推导出，则，勾股定理求出，则；（3）连接、交于点G，利用折叠的性质和三角形内角定理得到，再由，求出，则，可得是等腰直角三角形，等积法求出，勾股定理求出，再由是中位线，得到，即可求．【详解】（1）解：轴，轴，，∴四边形是矩形；（2）解：∵点，，，由折叠可知，，为直角三角形，，当D点在上时，，∴D、、B三点共线，，，，，，，；当D在的延长线上时，，，∴、B、D三点共线，，，，，，，，；综上所述：的长为18或2；（3）解：连接交于点G，由折叠可知，，，，∵点，，由折叠可知，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形全等的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键．16．小明在学习了平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．(2)【性质探究】通过探究，小明发现了垂美四边形的一些性质：垂美四边形的面积S与对角线的数量关系为：_________．(3)【问题解决】如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接，已知．求证：四边形为垂美四边形，并求出它的面积．(4)【学以致用】请直接写出（3）中的长．【答案】(1)菱形、正方形(2)(3)证明见解析，面积为(4)【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；（2）四边形的面积=的面积+的面积；（3）根据正方形的性质可证得和全等，得出，由得出，再根据对顶角相等得到，于是有，从而得出，根据垂美四边形的定义得出四边形为垂美四边形，根据垂美四边形的面积等于两对角线乘积的一半即可得出结果．（4）勾股定理求出，设，双勾股定理求出的值，进而求出的长，再用勾股定理进行求解即可．【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形，正方形，一定是垂美四边形的是菱形，正方形，故答案为：菱形，正方形；（2）如图1所示：

∵四边形的面积=的面积+的面积∴；故答案为：；（3）证明：连接，，设与交于点，与交于点，

四边形是正方形，，，四边形是正方形，，，，即，在和中，，，，，，，，，，即，四边形为垂美四边形；四边形是正方形，，，，，点、、在一条直线上，在中，，，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，∵，，四边形为垂美四边形，四边形的面积是．（4）∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，设，则：，∴，即：，解得：，∴，∴，∴．【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．17．【定义学习】定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．【判断尝试】（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号）（2）如图，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______；【操作探究】如图，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______；【拓展延伸】如图，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动保持，再分别过点、作、的垂线交于点，连接、．（1）试说明：四边形为对直四边形．（2）在此运动过程中，动点的运动路径长是______；【实践应用】某加工厂有一批四边形板材，形状如图所示，其中米，米，，现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______．

【答案】判断尝试：（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：（1）见解析；（2）；实践应用：4或【分析】尝试判断（1）矩形和正方形的对角是直角；（2）连接，根据勾股定理求得结果；探究操作连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果；拓展延伸（1）延长，交于，可证得≌，从而，进而得出，进一步得出结论；（2）求边长是的正方形的对角线即可；实践应用一种情形：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形．【详解】尝试判断解：（1）∵矩形和正方形的四个角都