数学单元检测：第二讲证明不等式的基本方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教版A4-5第二讲证明不等式的基本方法单元检测（时间:90分钟满分:100分）一、选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是(）A．＞ B.＞C．＞ D。＞2．已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝1，则下列不等式中恒成立的是（)A．xy＞yz B．xz＞yz C．x｜y｜＞z|y| D．xy＞xz3．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2,c－b＝4－4a＋a2，则a,b，A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b4．已知b＞a＞0，且a＋b＝1，那么（)A．2ab＜＜＜b B．2ab＜＜＜bC.＜2ab＜＜b D．2ab＜＜b＜5．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是A．18 B．6 C． D．6．对于x∈［0，1］的任意值，不等式ax＋2b＞0恒成立，则代数式a＋3b的值()A．恒为正值 B．恒为非负值 C．恒为负值 D．不确定7．用分析法证明不等式时的推理过程一定是（)A．正向、逆向均可进行正确的推理 B．只需能进行逆向推理C．只需能进行正向推理 D．有时能正向推理，有时能逆向推理8．要使＜成立，a，b应满足的条件是()A．ab＜0且a＞b B．ab＞0且a＞bC．ab＜0且a＜b D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b9．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°"时,假设应为(）A．假设三个内角都不大于60° B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60° D．假设三个内角至多有两个大于60°10．在△ABC中,A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且a，b，c成等差数列，则角B适合的条件是（)A．0＜B≤ B．0＜B≤C．0＜B≤ D.＜B＜π二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．设a＝，b＝,c＝,则a，b，c的大小顺序是________．12．已知a，b,c，d∈R＋，且S＝，则S的取值范围是__________．13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．14．已知a，b∈R＋，则x＝abba，y＝aabb的大小关系是__________．15．请补全用分析法证明不等式“ac＋bd≤”时的推论过程:要证明ac＋bd≤,__①__，只要证(ac＋bd)2≤（a2＋b2）（c2＋d2)，即要证:a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2即要证a2d2＋b2c2≥2abcd,__②三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8分)已知m＞0，a，b∈R，求证：≤。17．(10分)求证：＜＜(n∈N＋)．18.(10分)用反证法证明：如果a,b,c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c,d中至少有一个负数．19．（12分)已知数列{an｝的前n项和Sn＝2n2＋2n，数列｛bn｝的前n项和Tn＝2－bn.(1)求数列｛an}与{bn}的通项公式；（2）设cn＝an2·bn，证明当n≥3时，cn＋1＜cn.

参考答案1.答案:A∵a＞b＞0，∴＞＞0,∴a＋＞b＋。2。答案：D令x＝2，y＝0,z＝－1，可排除选项A，B,C，故选D。3．答案:A∵c－b＝（a－2）2≥0，∴c≥b.由题中两式相减,得b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝（a－)2＋＞0，∴b＞a，∴c≥b＞a.4.答案：B取特殊值法．令a＝，b＝，则2ab＝，＝，＝，故选B。5。答案：B3a＋3b≥＝＝2×3＝6（当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．6。答案：A令f（x）＝ax＋2b,则在[0,1]上，若a＞0，则fmin（x)＝f（0）＝2b＞0;若a＜0,则fmin（x)＝f(1)＝a＋2b＞0，∴a＋3b＝b＋a＋2b＞0.7。答案：B8.答案：D＜a－b＋－＜a－b＜,∴当ab＞0时，有＜,即b＜a.当ab＜0时,有＞,即b＞a.9。答案：B10．答案:B∵2b＝a＋c,∴cosB＝＝＝＝－≥－＝。当且仅当a＝b＝c时等号成立．∵余弦函数在（0，）上为减函数,∴0＜B≤。11。答案:a＞b＞ca－b＝－＋＝＋－（＋）,而（＋)2＝8＋，(＋)2＝8＋，∴＋＞＋.∴a－b＞0，即a＞b。同理可得b＞c.∴a＞b＞c.12。答案:（1，2）由放缩法，得＜＜;＜＜；＜＜;＜＜。以上四个不等式相加,得1＜S＜2.13。答案：三角形中至少有两个内角是钝角14．答案：y≥x＝＝ab－a·ba－b＝,若a≥b，则≥1，而b－a≤0，∴≤1.若a≤b，则≤1，而b－a≥0，∴≤1。综上，y≥x.15.答案：①因为当ac＋bd≤0时，命题显然成立，所以当ac＋bd≥0时②∵（ad－bc）2≥0，∴a2d2＋b2c2≥2abcd，∴16。证明：因为m＞0，所以1＋m＞0.所以要证≤，即证（a＋mb）2≤(1＋m）(a2＋mb2),即证m（a2－2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0。而(a－b)2≥0显然成立，故≤。17.证明：∵＞＝2(－）,k∈N＋,∴1＋＋＋…＋＞2[（－1）＋（－)＋…＋(－)］＝2（－1)．又＜＝2（－）,k∈N＋，∴1＋＋＋…＋＜1＋2［（－1）＋(－)＋…＋(－）]＝1＋2（－1)＝＜。故原不等式成立．18。证明:假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则有a，b,c,d都为非负数，即a≥0，b≥0,c≥0，d≥0.因为a＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，即(ac＋bd)＋(bc＋ad）＝1.因为a，b，c，d均为非负数,于是有bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立,故a，b，c，d中至少有一个负数．19。解:(1)∵Sn＝2n2＋2n，∴当n≥2时，Sn－1＝2（n－1）2＋2(n－1），∴an＝Sn－Sn－1＝4n.当n＝1时，S1＝4，符合上式．∴数列{an}的通项公式为an＝4n。又∵Tn＝2－bn，∴当n≥2时，Tn－1＝2－bn－1，∴bn＝Tn－Tn－1＝2－bn＋bn－1－2，即2