专题03解题技巧专题：二次根式中有关运算问题(原卷版+解析)(重点突围)

专题03解题技巧专题：二次根式中有关运算问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用二次根式的非负性求值】 1【考点二整体代入求值】 5【考点三新定义型二次根式的运算】 8【考点四二次根式的分母有理化】 11【考点五复合二次根式的化简】 15【考点六二次根式中的规律探究问题】 19【典型例题】【考点一利用二次根式的非负性求值】例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0【变式训练】1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为_____．2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求实数a，b，c的值；(2)求的平方根．【考点二整体代入求值】例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．【变式训练】1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：(1)化简(2)求代数式的值．2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：(1)；(2)3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：(1)(2)【考点三新定义型二次根式的运算】例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．【变式训练】1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．(1)求的值．(2)_____________．5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．(1)求的值；(2)若，试化简：．6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．【考点四二次根式的分母有理化】例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)计算：①______，②______；(2)计算：；(3)已知有理数、满足，则______，______．【变式训练】1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：，例2：，，，(1)______；______．(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．(3)利用上面的结论，求下列式子的值．2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：…(1)________（n为正整数）．(2)________．(3)求的值．3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：；；；……解答下列各题：(1)______；(2)观察上面的解题过程，请计算.(3)利用这一规律计算：.【考点五复合二次根式的化简】例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．例如：．解决问题：化简下列各式(1)；(2)．【变式训练】1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；（2）例题：化简解：因为所以仿照上例的方法，化简下列各式：①

②2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：(1)填空：=；=；(2)化简：++++．【考点六二次根式中的规律探究问题】例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；(1)请仿照上面的方法来验证；(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．【变式训练】1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝…(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．3．（2022春·北京昌平·八年级统考期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填写运算结果）；(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；(3)证明你的猜想．(4)应用运算规律：①化简：____________；②若（a，b均为正整数），则的值为____________．4．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）观察下列等式，解答后面的问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……(1)请直接写出第5个等式___________；(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；(3)利用（2）的结论化简：．专题03解题技巧专题：二次根式中有关运算问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用二次根式的非负性求值】 1【考点二整体代入求值】 5【考点三新定义型二次根式的运算】 8【考点四二次根式的分母有理化】 11【考点五复合二次根式的化简】 15【考点六二次根式中的规律探究问题】 19【典型例题】【考点一利用二次根式的非负性求值】例题：（2022·海南省直辖县级单位·七年级期中）已知，则的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根的非负性即可求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解．【详解】解：∵，则，∴，，，故选B．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西省于都中学八年级期中）已知a，b满足+（b+3）2＝0，则（a+b）2022的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵+（b+3）2＝0，而，（b+3）2≥0，∴a﹣2＝0，b+3＝0，解得a＝2，b＝﹣3，所以，（a+b）2022＝（2﹣3）2022＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．2．（2022·福建省福州外国语学校七年级期中）已知x、y都是实数，且，则xy=______________．【答案】6【解析】【分析】利用算术平方根的非负性求出x值，再代入求出y值，即可求解．【详解】解：，，，，，将代入，得：，．故答案为：6．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，代数式的求值，熟练掌握并灵活运用算术平方根的非负性是解题的关键．3．（2021·四川成都·八年级期中）已知实数满足，则的值为_______．【答案】16【解析】【分析】先对进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，解得：，∴．故答案为：16．【点睛】本题考查了算术平方根和平方的非负性，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题的关键．4．（2022·全国·八年级）已知实数a，b，c满足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求实数a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5(2)的平方根为±2【解析】【分析】（1）根据非负性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，将a，b，c代入求解即可．(1)解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；(2)解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，则＝＝4，而，故的平方根为±2．【点睛】本题考查了平方的非负性，绝对值的非负性以及算术平方根的非负性，以及求一个数的平方根，熟练地运用以上知识是解决问题的关键．【考点二整体代入求值】例题：（2022·湖北黄冈·八年级期末）已知a＝，b＝，求a2+ab+b2的值．【答案】15【解析】【分析】根据已知式子，根据分母有理化求得的值，进而求得代入代数式即可求解．【详解】解：∵原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及整式乘法运算，正确的计算是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·福建漳州·九年级统考期中）已知，完成以下两题：(1)化简(2)求代数式的值．【答案】(1)(2)5【分析】（1）分母有理化即可化简二次根式；（2）先求出，的值，运用整体代入解题．【详解】（1）；（2）原式．【点睛】本题考查求代数式的值，二次根式的化简，整体代入简化过程是解题的关键．2．（2022秋·江西赣州·八年级校考阶段练习）已知，，求下列代数式的值：(1)；(2)【答案】(1)16(2)14【分析】（1）利用完全平方公式分解因式，再代入进行计算即可得；（2）先求出的值，再结合（1）的结果求出的值，由此即可得．（1）解：，，．（2）解：，，，，．【点睛】本题考查了乘法公式、因式分解、二次根式的乘法与加法，熟练掌握各运算法则和公式是解题关键．3．（2022秋·八年级单元测试）已知，求下列代数式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先化简、的值，再求出，，将变形为，再将，代入计算即可；（2）将变形为，再将，代入计算即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，∴．（2）解：．【点睛】本题考查了二次根式的化简及混合运算，根据已知求出，和对所求式子的变形是解答本题的关键．【考点三新定义型二次根式的运算】例题：（2022·江西新余·七年级期末）规定运算：，其中a、b为实数，则______．【答案】【解析】【分析】根据规定进行计算，即可求得结果．【详解】解：，=-4故答案为：-4．【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，理解和运用新规定运算是解决本题的关键．【变式训练】1．（2022·四川广安·七年级期末）对任意的正数，，定义运算“*”如下：计算的结果为______．【答案】【解析】【分析】根据新定义，将所给数值代入计算即可．【详解】解：∵，∴==故答案为：．【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．2．（2022·江苏·八年级）对于任意两个不相等的实数、，定义运算“※”如下：※，如3※，那么6※__．【答案】【解析】【分析】按新定义的运算规定化简求值．【详解】解：6※．故答案为：．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握、理解新定义的规定是解决本题的关键．3．（2022·广东广州·八年级期末）已知a，b都是实数，现定义新运算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，进行计算即可解答；（2）根据定义新运算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入数值进行计算即可解答．(1)解：∵，∴(2)解：∵，，∴＝【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，理解定义新运算a*b＝3a﹣b2是解题的关键．4．（2022春·吉林长春·八年级校考期末）用定义一种新运算：对于任意实数和，规定．(1)求的值．(2)_____________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据新运算计算即可（2）根据新运算先计算，然后将和计算的结果再次用新运算计算即可【详解】（1）∵，∴（2）∵，∴，∴故答案为：【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规则计算5．（2022秋·江苏扬州·八年级统考期末）对实数a，b，定义：，如：．(1)求的值；(2)若，试化简：．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据新定义运算法则计算即可；（2）根据求得m的取值范围，进而化简二次根式计算即可．（1）解：原式；（2）解：∵，∴，解得∴原式．【点睛】本题主要考查了新定义运算及二次根式的计算，正确理解新定义是解题的关键．6．（2022春·湖南·八年级期末）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根据新定义进行运算，即可求得结果；(2)首先根据新定义进行运算，可求得，再解方程即可求解．【详解】（1）解：，故答案为：3；（2）解：，，．【点睛】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定义运算是解决本题的关键．【考点四二次根式的分母有理化】例题：（2022·江苏南京·八年级期末）像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：(1)计算：①______，②______；(2)计算：；(3)已知有理数、满足，则______，______．【答案】(1)，；(2)1(3)-1，1【解析】【分析】（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；（2）第一项分子、分母都乘以，第二项分子、分母都乘以，再计算即可；（3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．(1)解：①，故答案为：；②，故答案为：；(2)===1；(3)∵，∴，∴，∴，∵a、b都是有理数，∴2a+b=-1，b-a=2，解得a=-1，b=1，故答案为：-1，1．【点睛】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·江西景德镇·八年级期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：，例2：，，，(1)______；______．(2)请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．(3)利用上面的结论，求下列式子的值．【答案】(1)；(2)为正整数）(3)【解析】【分析】（1）利用分母有理化求解；（2）按照所给等式的变化规律写出第个等式即可；（3）先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．(1)解：（1）；；故答案为；；(2)解：为正整数）；(3)解：原式．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．2．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期末）阅读下面问题：…(1)________（n为正整数）．(2)________．(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；（2）利用平方差公式将原式的分子、分母同时乘以，再进一步计算即可；（3）原式变形为，再进一步计算即可．【详解】（1）；故答案为：；（2），故答案为：；（3）解：．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理化的基本方法．3．（2022春·福建莆田·八年级统考期中）阅读下列解题过程：；；；……解答下列各题：(1)______；(2)观察上面的解题过程，请计算.(3)利用这一规律计算：.【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；（2）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；（3）根据（2）的规律进行计算即可求解．【详解】（1）解：；故答案为：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，正确的计算是解题的关键．【考点五复合二次根式的化简】例题：（2022·贵州铜仁·八年级期末）先阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及一次根式的性质化去一层根号．例如：．解决问题：化简下列各式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）将根号里面的7拆分成4和3，4写成2的平方，3写成的平方，进而逆用完全平方和公式，最后将算式整体开方；（2）将根号里面的9拆分成4和5，4写成2的平方，5写成的平方，进而逆用完全平方差公式，最后将算式整体开方．(1)解：(2)解：【点睛】本题考查乘法公式的逆用，能够快速的寻找，归纳，总结，并应用规律是解决本题的关键．【变式训练】1．（2020·江西景德镇·八年级期中）（1）填空：______；______；（2）例题：化简解：因为所以仿照上例的方法，化简下列各式：①

②【答案】（1）；；（2）①；②【解析】【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算，即可求解；（2）①把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解；②把原式化为，再根据二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：（1）；；故答案为：；（2）①；②【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）我们已知学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作一个数的平方，如等，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：例：求的算术平方根．解：=，所以的算术平方根是．你看明白了吗？请根据上面的方法解答下列问题：(1)填空：=；=；(2)化简：++++．【答案】(1)；；(2)；【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的结构，对根号下的式子进行化简配凑，凑完全平方式求解；（2）对每一项进行配凑，使之成为完全平方式的结构，然后进行化简计算．(1)解：；；(2)解：，，，，．．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的应用，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．【考点六二次根式中的规律探究问题】例题：（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，，，…验证：；(1)请仿照上面的方法来验证；(2)根据上面反映的规律，请将猜到的规律用含自然数的代数式表示出来．并写出过程．【答案】(1)见解析(2)，过程见解析【解析】【分析】（1）根据已知计算过程求出即可；（2）求出一般式子都是，根据已知算式的计算过程求出即可．(1)解：验证：，故成立；(2)解：，．．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，数字规律型，主要考查学生的计算能力和阅读能力，难度适中．【变式训练】1．（2022·河北承德·八年级期末）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可；（2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可．(1)解：∵，，∴，验证：，正确．(2)解：，验证：，正确．【点睛】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键．2．（2022·安徽合肥·八年级期中）观察下列各式及验证过程：＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝；＝，验证＝＝＝…(1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证．(2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，不需要证明．【答案】(1)＝，验证见解析(2)＝（n≥1的整数）【解析】【分析】（1）类比题目所给的解题方法即可解答；（2）根据上述变形过程的规律，观察根号外的和根号