专题09分式方程(原卷版+解析)

专题09分式方程【专题目录】技巧1：分式的意义及性质的四种题型技巧2：分式运算的八种技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围技巧4：分式求值的方法【题型】一、分式有意义的条件【题型】二、分式的运算【题型】三、分式的基本性质【题型】四、解分式方程【题型】五、分式方程的解【题型】六、列分式方程【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．【考点总结】一、分式分式的相关概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意义的条件因为0不能做除数，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，则分式eq\f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)没有意义．值为0在分式eq\f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq\f(A,B)的值为0分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)约分将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分通分将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分分式运算分式加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．【考点总结】二、分式方程分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.（2）常用方法：①去分母;②换元法.（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.运用解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.【技巧归纳】技巧1：分式的意义及性质的四种题型【类型】一、分式的识别1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．【类型】二、分式有无意义的条件3．若代数式eq\f(1,a－4)在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为()A．a＝4B．a>4C．a<4D．a≠44．当x＝________时，分式eq\f(x－1,x2－1)无意义．5．已知不论x为何实数，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)总有意义，试求m的取值范围．【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值为正数，则x的取值范围是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值为负数，则x的取值范围是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值为0，求a的值及b的取值范围．【类型】四、分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)C.eq\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)从左到右的变形成立，x应满足的条件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．技巧2：分式运算的八种技巧【类型】一、约分计算法1．计算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).【类型】二、整体通分法2．计算：a－2＋eq\f(4,a＋2).【类型】三、顺次相加法3．计算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).【类型】四、换元通分法4．计算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).【类型】五、裂项相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．计算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).【类型】六、整体代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．【类型】七、倒数求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．【类型】八、消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)与分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范围．【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值3．如果解关于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为()A．－2B．2C．4D．－44．若关于x的方程eq\f(m,x2－9)＋eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－3)有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5．若关于x的分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a无解，则a＝________.6．已知关于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)无解，求m的值．7．已知关于x的分式方程eq\f(x＋a,x－2)－eq\f(5,x)＝1.(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值．技巧4：分式求值的方法【类型】一、直接代入法求值1．先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝5.【类型】二、活用公式求值2．已知实数x满足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq\f(1,x4)的值．3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．【类型】三、整体代入法求值4．已知eq\f(x,y＋z)＋eq\f(y,z＋x)＋eq\f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)的值．【类型】四、巧变形法求值5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq\f(1,2x)的值．【类型】五、设参数求值6．已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，求eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1、使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【题型】二、分式的运算例2、分式化简后的结果为（）A． B． C． D．【题型】三、分式的基本性质例3、若=，则的值为（）A．5 B． C．3 D．【题型】四、解分式方程例4、方程的解是（）A． B． C． D．【题型】五、分式方程的解例5、关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．分式方程（达标训练）一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（

）A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠12．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解为（

）A． B．0 C．1 D．23．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（

）A．2 B．－2 C．1 D．－15．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程的解为______．7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．分式方程（提升测评）一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则列出方程正确的是（

）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）若关于x的方程无解，则m的值为（

）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或33．（2022·安徽·三模）化简的结果是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北黄石·模拟预测）函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022·河北·石家庄市第四十一中学模拟预测）实数．则下列各式中比的值大的是（

）A． B． C． D．二、填空题6．（2022·黑龙江黑龙江·三模）关于x的分式方程有解，则a的取值范围是________．7．（2023·福建莆田·二模）已知非零实数a，b满足，则的值等于__________．三、解答题8．（2022·重庆市育才中学二模）在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？专题09分式方程【专题目录】技巧1：分式的意义及性质的四种题型技巧2：分式运算的八种技巧技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围技巧4：分式求值的方法【题型】一、分式有意义的条件【题型】二、分式的运算【题型】三、分式的基本性质【题型】四、解分式方程【题型】五、分式方程的解【题型】六、列分式方程【考纲要求】1、理解分式、最简分式、最简公分母的概念，掌握分式的基本性质，能熟练地进行约分、通分．2、能根据分式的加、减、乘、除的运算法则解决计算、化简、求值等问题，并掌握分式有意义、无意义和值为零的约束条件．3、理解分式方程的概念，会解可化为一元一次(二次)方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)。4、了解解分式方程产生增根的原因，会检验和对分式方程出现的增根进行讨论．【考点总结】一、分式分式的相关概念分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意义的条件因为0不能做除数，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，则分式eq\f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)没有意义．值为0在分式eq\f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq\f(A,B)的值为0分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)约分将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分通分将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分分式运算分式加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．【考点总结】二、分式方程分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.（2）常用方法：①去分母;②换元法.（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.运用解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根【注意】1.约分前后分式的值要相等.2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式分式混合运算的运算运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；3.确定分式的符号，然后约分；4.结果应是最简分式.【技巧归纳】技巧1：分式的意义及性质的四种题型【类型】一、分式的识别1．在eq\f(3x,4x－2)，eq\f(－5,x2＋7)，eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)，eq\f(2m2,m)中，不是分式的式子有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．【类型】二、分式有无意义的条件3．若代数式eq\f(1,a－4)在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为()A．a＝4B．a>4C．a<4D．a≠44．当x＝________时，分式eq\f(x－1,x2－1)无意义．5．已知不论x为何实数，分式eq\f(3x＋5,x2－6x＋m)总有意义，试求m的取值范围．【类型】三、分式值为正、负数或0的条件6．若eq\f(x＋2,x2－2x＋1)的值为正数，则x的取值范围是()A．x＜－2B．x＜1C．x＞－2且x≠1D．x＞17．若分式eq\f(3x－4,2－x)的值为负数，则x的取值范围是________．8．已知分式eq\f(a－1,a2－b2)的值为0，求a的值及b的取值范围．【类型】四、分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(a2,b2)B.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,a＋b)C.eq\f(a,b)＝eq\f(a＋c,b＋c)D.eq\f(a,b)＝eq\f(ab,b2)10．要使式子eq\f(1,x－3)＝eq\f(x＋2,x2－x－6)从左到右的变形成立，x应满足的条件是()A．x＞－2B．x＝－2C．x＜－2D．x≠－211．已知eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)≠0，求eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)的值．12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求eq\f(x,|y＋z|)＋eq\f(y,|z＋x|)＋eq\f(z,|x＋y|)的值．参考答案1．C点拨：eq\f(4x－2,5)，2m，eq\f(x2,π＋1)不是分式．2．6点拨：以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．3．D4.±15．解：x2－6x＋m＝(x－3)2＋(m－9)．因为(x－3)2≥0，所以当m－9＞0，即m＞9时，x2－6x＋m始终为正数，分式总有意义．6．C点拨：x2－2x＋1＝(x－1)2.因为分式的值为正数，所以x＋2＞0且x－1≠0.解得x＞－2且x≠1.7．x＞2或x＜eq\f(4,3)8．解：因为分式eq\f(a－1,a2－b2)的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.9．D10.D11．解：设eq\f(x,4)＝eq\f(y,6)＝eq\f(z,7)＝k(k≠0)，则x＝4k，y＝6k，z＝7k.所以eq\f(x＋2y＋3z,6x－5y＋4z)＝eq\f(4k＋2×6k＋3×7k,6×4k－5×6k＋4×7k)＝eq\f(37k,22k)＝eq\f(37,22).12．解：由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必为两正一负或两负一正．当x，y，z为两正一负时，不妨设x＞0，y＞0，z＜0，则原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1＋1－1＝1；当x，y，z为两负一正时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，则原式＝eq\f(x,|－x|)＋eq\f(y,|－y|)＋eq\f(z,|－z|)＝1－1－1＝－1.综上所述，所求式子的值为1或－1.值的分式消元求值．技巧2：分式运算的八种技巧【类型】一、约分计算法1．计算：eq\f(a2＋6a,a2＋3a)－eq\f(a2－9,a2＋6a＋9).【类型】二、整体通分法2．计算：a－2＋eq\f(4,a＋2).【类型】三、顺次相加法3．计算：eq\f(1,x－1)＋eq\f(1,x＋1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1).【类型】四、换元通分法4．计算：(3m－2n)＋eq\f(（3m－2n）3,3m－2n＋1)－(3m－2n)2＋eq\f(2n－3m,3m－2n－1).【类型】五、裂项相消法eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(即\f(1,n（n＋1）)＝\f(1,n)－\f(1,n＋1)))5．计算：eq\f(1,a（a＋1）)＋eq\f(1,（a＋1）（a＋2）)＋eq\f(1,（a＋2）（a＋3）)＋…＋eq\f(1,（a＋99）（a＋100）).【类型】六、整体代入法6．已知eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，求eq\f(abc,ab＋bc＋ac)的值．【类型】七、倒数求值法7．已知eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，求eq\f(x2,x4－9x2＋1)的值．【类型】八、消元法8．已知4x－3y－6z＝0，x＋2y－7z＝0，且xyz≠0，求eq\f(5x2＋2y2－z2,2x2－3y2－10z2)的值．参考答案1．解：原式＝eq\f(a（a＋6）,a（a＋3）)－eq\f(（a＋3）（a－3）,（a＋3）2)＝eq\f(a＋6,a＋3)－eq\f(a－3,a＋3)＝eq\f(9,a＋3).点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可简化计算过程．2．解：原式＝eq\f(a－2,1)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2－4,a＋2)＋eq\f(4,a＋2)＝eq\f(a2,a＋2).点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．3．解：原式＝eq\f(x＋1,x2－1)＋eq\f(x－1,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x,x2－1)＋eq\f(2x,x2＋1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(2x（x2＋1）＋2x（x2－1）,（x2－1）（x2＋1）)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3,x4－1)＋eq\f(4x3,x4＋1)＝eq\f(4x3（x4＋1）＋4x3（x4－1）,（x4－1）（x4＋1）)＝eq\f(8x7,x8－1).点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．4．解：设3m－2n＝x，则原式＝x＋eq\f(x3,x＋1)－x2－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x（x2－1）＋x3（x－1）－x2（x2－1）－x（x＋1）,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(－2x,（x＋1）（x－1）)＝eq\f(4n－6m,（3m－2n＋1）（3m－2n－1）).5．解：原式＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,a＋1)－eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,a＋2)－eq\f(1,a＋3)＋…＋eq\f(1,a＋99)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(1,a)－eq\f(1,a＋100)＝eq\f(100,a（a＋100）).点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项．6．解：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,6)，eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,9)，eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,15)，上面各式两边分别相加，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))×2＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,15)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(31,180).易知abc≠0，所以eq\f(abc,ab＋bc＋ac)＝eq\f(1,\f(1,c)＋\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(180,31).7．解：由eq\f(x,x2－3x＋1)＝－1，知x≠0，所以eq\f(x2－3x＋1,x)＝－1.所以x－3＋eq\f(1,x)＝－1.即x＋eq\f(1,x)＝2.所以eq\f(x4－9x2＋1,x2)＝x2－9＋eq\f(1,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)－11＝22－11＝－7.所以eq\f(x2,x4－9x2＋1)＝－eq\f(1,7).8．解：以x，y为主元，将已知的两个等式化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－3y＝6z，,x＋2y＝7z.))解得x＝3z，y＝2z.因为xyz≠0，所以z≠0.所以原式＝eq\f(5×9z2＋2×4z2－z2,2×9z2－3×4z2－10z2)＝－13.点拨：此题无法直接求出x，y，z的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．技巧3：巧用分式方程的解求字母的值或取值范围【类型】一、利用分式方程解的定义求字母的值1．已知关于x的分式方程eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)与分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)的解相同，求m2－2m的值．【类型】二、利用分式方程有解求字母的取值范围2．若关于x的方程eq\f(x－2,x－3)＝eq\f(m,x－3)＋2有解，求m的取值范围．【类型】三、利用分式方程有增根求字母的值3．如果解关于x的分式方程eq\f(m,x－2)－eq\f(2x,2－x)＝1时出现增根，那么m的值为()A．－2B．2C．4D．－44．若关于x的方程eq\f(m,x2－9)＋eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－3)有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【类型】四、利用分式方程无解求字母的值5．若关于x的分式方程eq\f(x－a,x＋1)＝a无解，则a＝________.6．已知关于x的方程eq\f(x－4,x－3)－m－4＝eq\f(m,3－x)无解，求m的值．7．已知关于x的分式方程eq\f(x＋a,x－2)－eq\f(5,x)＝1.(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值．参考答案1．解：解分式方程eq\f(3,2x)＝eq\f(1,x－1)，得x＝3.经检验，x＝3是该方程的解．将x＝3代入eq\f(2,x＋4)＝eq\f(m,x)，得eq\f(2,7)＝eq\f(m,3).解得m＝eq\f(6,7).∴m2－2m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))eq\s\up12(2)－2×eq\f(6,7)＝－eq\f(48,49).2．解：去分母并整理，得x＋m－4＝0.解得x＝4－m.∵分式方程有解，∴x＝4－m不能为增根．∴4－m≠3.解得m≠1.∴当m≠1时，原分式方程有解．3．D4．解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，所以x＝3或x＝－3是原方程的增根．原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.当x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；当x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m＝12.综上所述，原方程的增根是x＝3或x＝－3.当x＝3时，m＝6；当x＝－3时，m＝12.点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m的值．5．1或－16．解：原方程可化为(m＋3)x＝4m＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：(1)若整式方程无实根，则m＋3＝0且4m＋8≠0，此时m＝－3；(2)若整式方程的根是原方程的增根，则eq\f(4m＋8,m＋3)＝3，解得m＝1.经检验，m＝1是方程eq\f(4m＋8,m＋3)＝3的解．综上所述，m的值为－3或1.7．解：原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.(1)因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．技巧4：分式求值的方法【类型】一、直接代入法求值1．先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a＋1)＋\f(a＋2,a2－1)))÷eq\f(a,a－1)，其中a＝5.【类型】二、活用公式求值2．已知实数x满足x2－5x＋1＝0，求x4＋eq\f(1,x4)的值．3．已知x＋y＝12，xy＝9，求eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)的值．【类型】三、整体代入法求值4．已知eq\f(x,y＋z)＋eq\f(y,z＋x)＋eq\f(z,x＋y)＝1，且x＋y＋z≠0，求eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)的值．【类型】四、巧变形法求值5．已知实数x满足4x2－4x＋1＝0，求2x＋eq\f(1,2x)的值．【类型】五、设参数求值6．已知eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)≠0，求eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)的值．参考答案1．解：原式＝[eq\f(2,a＋1)＋eq\f(a＋2,（a＋1）（a－1）)]·eq\f(a－1,a)＝eq\f(2（a－1）＋（a＋2）,（a＋1）（a－1）)·eq\f(a－1,a)＝eq\f(3,a＋1).当a＝5时，eq\f(3,a＋1)＝eq\f(3,5＋1)＝eq\f(1,2).2．解：由x2－5x＋1＝0得x≠0，∴x＋eq\f(1,x)＝5.∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\s\up12(2)＝25.∴x2＋eq\f(1,x2)＝23.∴x4＋eq\f(1,x4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))eq\s\up12(2)－2＝232－2＝527点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．3．解：eq\f(x2＋3xy＋y2,x2y＋xy2)＝eq\f(x2＋2xy＋y2＋xy,xy（x＋y）)＝eq\f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）).因为x＋y＝12，xy＝9，所以eq\f(（x＋y）2＋xy,xy（x＋y）)＝eq\f(122＋9,9×12)＝eq\f(17,12).4．解：因为x＋y＋z≠0，所以等式的两边同时乘x＋y＋z，得eq\f(x（x＋y＋z）,y＋z)＋eq\f(y（x＋y＋z）,z＋x)＋eq\f(z（x＋y＋z）,x＋y)＝x＋y＋z，所以eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(x（y＋z）,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(y（z＋x）,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)＋eq\f(z（x＋y）,x＋y)＝x＋y＋z.所以eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)＋x＋y＋z＝x＋y＋z.所以eq\f(x2,y＋z)＋eq\f(y2,z＋x)＋eq\f(z2,x＋y)＝0.点拨：条件分式的求值，如需对已知条件或所求条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能收到事半功倍的效果．条件分式的求值问题体现了数学中的整体思想和转化思想．5．解：∵4x2－4x＋1＝0，∴(2x－1)2＝0.∴2x＝1.∴2x＋eq\f(1,2x)＝1＋eq\f(1,1)＝2.6．解：设eq\f(x,2)＝eq\f(y,3)＝eq\f(z,4)＝k≠0，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.所以eq\f(x2－y2＋2z2,xy＋yz＋xz)＝eq\f(（2k）2－（3k）2＋2（4k）2,2k·3k＋3k·4k＋2k·4k)＝eq\f(27k2,26k2)＝eq\f(27,26).【题型讲解】【题型】一、分式有意义的条件例1、使得式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4【答案】D【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0，解得：x＜4即x的取值范围是：x＜4故选D．【题型】二、分式的运算例2、分式化简后的结果为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．异分母分式相加减，先通分，再根据同分母分式相加减的法则计算．【详解】解：故选：B．【题型】三、分式的基本性质例3、若=，则的值为（）A．5 B． C．3 D．【答案】A【解析】因为=，所以4b=a-b．，解得a=5b，所以＝.故选A.【题型】四、解分式方程例4、方程的解是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，本题考察分式方程及其解法，根据方程解的意义，运用去分母，移项的方法，进行求解．【详解】解：方程可化简为经检验是原方程的解故选D【题型】五、分式方程的解例5、关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值（）A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．【详解】解：去分母得：m+3＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，解得：m＝﹣3，故选：D．【题型】六、列分式方程例6、随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，故选：D．分式方程（达标训练）一、单选题1．（2022·广西·富川瑶族自治县教学研究室模拟预测）关于x的分式方程有解，则实数m应满足的条件是（

）A．m=-1 B．m≠-1 C．m=1 D．m≠1【答案】D【分析】解分式方程得：m+x-3=2-x即x=，由题意可知x≠2，即可得到m．【详解】解：方程两边同时乘以2-x得：m+x-3=2-x,2x=5-m，x=∵分式方程有解∴2-x≠0，∴x≠2，即≠2，∴m≠1．故选D．【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的条件是解题的关键．2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）分式方程的解为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】按照分式方程的解法求解判断即可．【详解】∵，去分母，得2=x+1，移项，得x=2-1=1，经检验，x=1是原方程的根故选C．【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．3．（2022·天津南开·二模）化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果即可．【详解】解：，故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．4．（2022·贵州贵阳·三模）计算的结果是（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】C【分析】根据分式减法运算法则进行运算，化简即可．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了分式的减法，正确运算是解题关键，注意运算后需要约分化简．5．（2022·江苏淮安·一模）若分式有意义，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0即可得到．【详解】要分式有意义，则，解得：．故选：B【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．二、填空题6．（2022·四川省遂宁市第二中学校二模）分式方程的解为______．【答案】x=-2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：去分母得：3x(x+1)-(x-1)=3(x+1)(x-1)，解得：x=-2，经检验x=-2是分式方程的解，故答案为x=-2．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．（2022·湖南怀化·模拟预测）计算﹣＝_____．【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可．【详解】解：﹣=故答案为：1．【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．三、解答题8．（2022·浙江丽水·一模）解方程：．【答案】【分析】这是一道可化为一元一次方程的分式方程，根据解分式方程的一般步骤：去分母，转化为求解整式方程，然后检验得到的解是否符合题意，最后得出结论．【详解】两边同时乘以，得，去括号，得，化简，得，检验：当时，，原分式方程的解为．【点睛】此题考查可化为一元一次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的方法与步骤是解此题的关键，但是要特别注意：检验是不可少的环节．分式方程（提升测评）一、单选题1．（2022·辽宁葫芦岛·一模）2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱．某特许零售店准备购进一批吉祥物销售．已知用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同，已知购进“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元，设购进“冰墩墩”的单价为x元，则列出方程正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设“冰墩敏”的销售单价为x，则“雪容融”的销售单价为（x-10）元，然后根据用600元购进“冰墩墩”的数量与用500元购进“雪容融”数置相同即可列出方程．【详解】解：设“冰墩敏”的销售单价为x，则“雪容融”的销售单价为（x-10）元，根据题意，得。故选：D．