专题39二次函数中的线段周长问题(原卷版+解析)

专题39二次函数中的线段周长问题【题型演练】一、单选题1．（2020·福建·龙海二中一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣52．（2022·广东·惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．4．（2015·江苏苏州·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为（）A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）5．（2019·浙江·九年级阶段练习）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）A．① B．②C．③ D．④6．（2019·浙江湖州·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）A． B． C．2 D．7．（2018·河北邢台·一模）如图，抛物线经过点，顶点为，过点作轴的平行线，与抛物线及其对称轴分别交于点，以下结论：①当时，；②存在点，使；③是定值；④设点关于的轴的对称点为，当时，点在下方．其中正确的是（

）A．①③ B．②③C．②④ D．①④8．（2020·山东·模拟预测）如图，抛物线为常数)交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为．①抛物线与直线有且只有一个交点；②若点、点、点在该函数图象上，则③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中正确判断的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④9．（2019·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交坐标轴于A、B、C三点，直线为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线交直线于点M、直线交直线于点N，在点D从点A运动到点B的过程中，线段的变化趋势为（

）A．一直在增大 B．一直不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大10．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（

）A．6 B． C． D．二、填空题11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．12．（2022·吉林白城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D，若，则c的值为_____．13．（2022·山东·日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线上取点，在y轴负半轴上取一个点，使为等边三角形，然后在第四象限取抛物线上的点，在y轴负半轴上取点，使为等边三角形，重复以上的过程，可得，则的坐标为________．14．（2022·山东·武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．15．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．16．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是______．三、解答题17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．(1)点A的坐标为，点B的坐标为．(2)①求抛物线的解析式；②点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一点，过点作∥轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；19．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．(1)求m的值及这个二次函数的解析式；(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，求出此时Q点坐标；20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线的函数解析式为，点的坐标为，连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，则点的坐标为；(3)在y轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；22．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使的周长最小，求符合条件的E点坐标；23．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图．(1)求抛物线的解析式；(2)直线的函数解析式为______，点的坐标为______，______．(3)在轴上找一点，使得的周长最小．请求出点的坐标；24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求的最小值25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由26．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作轴交l于点D，轴交l于点E，求的最大值27．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线经过和两点，点是线段上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在这样的点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；28．（2022·重庆八中模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)如图1，连接，点P是线段上方抛物线上的一个动点，过点P作PZx轴交于点Z，过点P作PQCB交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在（2）的条件下，将该抛物线向下平移个单位，向右平移3个单位，使得P点对应点．点S是新抛物线对称轴上一点，在平面上否存在一点N，使以、S、A、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．专题39二次函数中的线段周长问题【题型演练】一、单选题1．（2020·福建·龙海二中一模）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA，求抛物线的解析式（）A．y＝x2﹣2x﹣3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x﹣4 D．y＝x2﹣2x﹣5【答案】A【分析】由抛物线与y轴的交点坐标可求OC得长，根据OB＝OC＝3OA，进而求出OB、OA，得出点A、B坐标，再用待定系数法求出函数的关系式.【详解】解：在抛物线y＝ax2+bx﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，点C（0，﹣3）∴OC＝3，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝3，OA＝1，∴A（﹣1，0），B（3，0）把A（﹣1，0），B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3得：a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，解得：a＝1，b＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故选：A．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式；是一道二次函数综合题.2．（2022·广东·惠州市惠城区博文学校九年级期中）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B．点P是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①；②x＝3是的一个根；③周长的最小值是；④抛物线上有两点和，若，且，则，其中正确的有（

）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根据对称轴方程求得a、b的数量关系；②根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3；③利用两点间线段最短来求△PAB周长的最小值；④根据二次函数图象，当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越小得出结论．【详解】解：①根据图象知，对称轴是直线，则b=-2a，即2a+b=0．故①正确；②根据图象知，点A的坐标是（-1，0），对称轴是直线x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax2+bx+3=0的一个根，故②正确；③如图所示，点A关于x=1对称的点是，即抛物线与x轴的另一个交点．连接与直线x=1的交点即为点P，则△PAB周长的最小值是的长度．∵B（0，3），，∴．而即△PAB周长的最小值是．故③正确．④观察二次函数图象可知：当x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则1-x1＜x2-1，∴y1＞y2．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质以及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．3．（2021·浙江湖州·模拟预测）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a1x2（a1≠0）与抛物线C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与物线C1，C2分别交于点M，N．若＝，则的值是（

）A． B．n﹣1 C．n D．【答案】B【分析】令，求得P的横坐标，然后根据两抛物线的对称轴求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．【详解】解：令a1x2＝a2x2+bx，解得x1＝0，x2＝，∴P的横坐标为，∵抛物线：的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，∵＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝n﹣2，∴﹣1＝n﹣2，∴＝n﹣1，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得P的横坐标，表示出PM、PN是解题的关键．4．（2015·江苏苏州·九年级期末）如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为N（－1，1）．若要在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小，则点P的坐标为（）A．（0，2） B．（0，） C．（0，） D．（0，）【答案】A【详解】试题分析：因为抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过点N（－1，1），所以，解得，所以，所以顶点M为（-3,5），则点M关于y轴的对称点为（3,5），设直线N的解析式为，把点N（－1，1），点（3,5），代入得，解得，所以直线为，令x=0，则y=2，所以点P的坐标为（0，2），故选A．考点：1．待定系数法求函数解析式；2．轴对称；3．直线与y的交点．5．（2019·浙江·九年级阶段练习）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（B，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）A．① B．②C．③ D．④【答案】C【详解】试题解析：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=-=1，当a=-1时有=1，解得b=3，故本选项错误；③∵x1+x2＞2，∴＞1，又∵x1-1＜1＜x2-1，∴Q点距离对称轴较远，∴y1＞y2，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．当m=2时，二次函数为y=-x2+2x+3，顶点纵坐标为y=-1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（-1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，-3）；则DE=；D′E′=；∴四边形EDFG周长的最小值为，故本选项错误．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．6．（2019·浙江湖州·九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为A（﹣6，0），点C是抛物线的顶点，且⊙C与y轴相切，点P为⊙C上一动点．若点D为PA的中点，连结OD，则OD的最大值是（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】取点H（6,0）,连接PH,由待定系数法可求抛物线解析式,可得点C坐标,可得⊙C半径为4,由三角形中位线的定理可求OD=PH,当点C在PH上时,PH有最大值,即可求解．【详解】如图,取点H（6,0）,连接PH,∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过原点,与x轴的另一个交点为A（﹣6,0）,∴,解得:,∴抛物线解析式为：y＝﹣,∴顶点C（﹣3,4）,∴⊙C半径为4,∵AO＝OH＝6,AD＝BD,∴OD＝PH,∴PH最大时,OD有最大值,∴当点C在PH上时,PH有最大值,∴PH最大值为＝3+＝3+,∴OD的最大值为:,故选B．【点睛】本题主要考查了切线的性质,二次函数的性质,三角形中位线定理等知识,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数性质和三角形中位线的性质.7．（2018·河北邢台·一模）如图，抛物线经过点，顶点为，过点作轴的平行线，与抛物线及其对称轴分别交于点，以下结论：①当时，；②存在点，使；③是定值；④设点关于的轴的对称点为，当时，点在下方．其中正确的是（

）A．①③ B．②③C．②④ D．①④【答案】A【分析】根据二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点的坐标为，且抛物线开口向上，可对①作判断；根据图形中与轴交点坐标和对称轴与轴交点可对②作判断；根据对称性得：，根据线段的和与差可对③作判断；根据的坐标和到轴的距离可对④作判断．【详解】解：①由题意得：，开口向上，抛物线对称轴是，且经过点，抛物线过轴另一个点为，当时，；故①正确；②当在点时，，，不可能与重合，故②不正确；③，故③正确；④把代入中，，当时，，，点在的上方，故④不正确；所以正确的有：①③，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质、与轴的交点、关于轴对称的点的特点，利用数形结合的思想解决问题是关键，并熟练掌握二次函数的性质．8．（2020·山东·模拟预测）如图，抛物线为常数)交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为．①抛物线与直线有且只有一个交点；②若点、点、点在该函数图象上，则③将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为；④点关于直线的对称点为点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为．其中正确判断的序号是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据一元二次方程的判别式的值，即可判断①；根据抛物线的对称性和二次函数的增减性，即可判断②；根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断③；先求出A，B，C的坐标，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则四边形的最小周长，即可判断④．【详解】把代入中，得，，一元二次方程两个相等的实数根，∴抛物线与直线有且只有一个交点，故此小题结论正确；抛物线的对称轴为：直线，点关于直线的对称点为，，当时，随增大而增大，又，点、点、点在该函数图象上，，故此小题结论错误；将该抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，抛物线的解析式为：，即：，故此小题结论正确；当时，抛物线的解析式为：，，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点连接，与轴、轴分别交于点，则，根据两点之间线段最短，可知最短，而的长度一定，四边形的最小周长===．故此小题结论正确；综上所述：结论正确的有，故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，一次函数与二次函数图象的交点以及轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的对称性，增减性，函数图象的交点问题与方程的根的关系，二次函数的平移规律，利用轴对称性，求线段和的最小值，是解题的关键．9．（2019·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交坐标轴于A、B、C三点，直线为抛物线的对称轴，E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点（D点在x轴下方），直线交直线于点M、直线交直线于点N，在点D从点A运动到点B的过程中，线段的变化趋势为（

）A．一直在增大 B．一直不变 C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】B【分析】根据题意，分别解得点A、B、C、E的坐标，设，分别解得直线BD、AD的表达式，再进一步解得交点M、N的坐标，即可解得线段EM、EN的长，据此解题．【详解】抛物线的对称轴为直线为E为对称轴与x轴的交点，点D为抛物线上一动点，设令x=0，解得y=-3，令y=0，则设直线的表达式为，代入点B、D得直线的表达式为设直线的表达式为，代入点A、D得直线的表达式为直线交直线于点M解得同理直线交直线于点N，解得的长度不变，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的综合，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．10．（2022·浙江温州·九年级阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论．【详解】解：令，则，∴，∵，∴，抛物线的对称轴为直线，∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，∴，∴，作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图，则，，，，此时，∴此时四边形EDFG周长最小，延长，它们交于点H，如图，则，∴，∴四边形EDFG周长的最小值为，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键．二、填空题11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，抛物线与直线交与点A与点B，点P是线段AB上的动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为_______．【答案】##0.25【分析】根据PQ∥y轴，可设点，则，从而得到，再根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵PQ∥y轴，∴可设点，则，∴，∴当时，最大，最大值．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．（2022·吉林白城·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作轴，交抛物线于另一点D，若，则c的值为_____．【答案】【分析】先用根与系数的关系求出，再根据求出，然后由得到关于c的方程，解方程求出c即可．【详解】解：设，令，则，由根与系数的关系得：，则，令，则，∴，∵轴，∴点D纵坐标为c，当时，则，解得：或，∴，∴，∵，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数与一元二次方程之间的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．13．（2022·山东·日照市田家炳实验中学九年级阶段练习）如图，在抛物线上取点，在y轴负半轴上取一个点，使为等边三角形，然后在第四象限取抛物线上的点，在y轴负半轴上取点，使为等边三角形，重复以上的过程，可得，则的坐标为________．【答案】【分析】首先求出的坐标，通过观察得出规律，再根据规律求出的坐标．【详解】解：根据的坐标，设直线解析式为，∴，∴直线的解析式为：，∵为等边三角形，，∴，∴，，∵，又直线过点，则直线的解析式为：，联立抛物线解析式得，解得：，∴，，，同理可得，，，……当，，点纵坐标的绝对值=1+2+3+…+100=5050，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的性质，找到规律是解题的关键．14．（2022·山东·武城县鲁权屯镇中学九年级阶段练习）平面直角坐标系中，将抛物线平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点和，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则的最大值为______．【答案】【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）=-x2+3x+3∴OQ+PQ的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．15．（2022·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．【答案】##【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．【详解】解：令，则，解得，，，，，，令，则，，，，为中点，，由沿折叠所得，，在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小，过点作，垂足为，，，，，又，，故答案为：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．16．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四十四中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=-1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BCNM的周长的最小值是______．【答案】【分析】先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点B的坐标，取E（0，1），连接AM，EM，AE，可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME，则四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，再由点A，B关于直线MN对称，得到AM=BM，则四边形BCNM的周长=BC+NM+AM+ME，故当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时四边形BCNM的周长最小，据此求解即可．【详解】解：∵点C是抛物线与y轴的交点，∴点C的坐标为（0，3），∴OA=OC=3，∴点A的坐标为（-3，0），∴，∴，∴抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，令，则，解得或（舍去），∴点B的坐标为（1，0），取E（0，1），连接AM，EM，AE，∴CE=ME=2，又∵，∴四边形MNCE是平行四边形，∴CN=ME，∴四边形BCNM的周长=BC+CN+NM+BM，∵点A，B关于直线MN对称，∴AM=BM，∴四边形BCNM的周长=BC+NM+AM+ME，∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时四边形BCNM的周长最小，∴，∴四边形BCNM的周长的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键．三、解答题17．（2021·新疆·乌鲁木齐市第五十四中学九年级阶段练习）如图，已知直线y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．(1)点A的坐标为，点B的坐标为．(2)①求抛物线的解析式；②点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得△MAB的面积最大?若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？直接写出所有符合条件的t值．【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；(2)①，②存在，△MAB的面积最大为，此时，(3)当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，即可求解；（2）①B的坐标为：（0，3），故c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣2，即可求解；②过点作轴，交于点，设，则，求得，根据二次函数的性质求得最大值，以及的值，从而求得的坐标；（3）根据题意可得，进而勾股定理分别求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三种情况，分别解方程求解即可．【详解】（1）解：y＝x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝－3，故点A、B的坐标分别为：（﹣3，0），（0，3）；故答案为：（﹣3，0），（0，3）；（2）①B的坐标为：（0，3），∴将点A的坐标（﹣3，0）代入抛物线表达式得：，解得：b＝﹣2，∴抛物线的解析式为；②如图，过点作轴，交于点，设，则∴∴当时，取得最大值，为此时∴（3）令中y＝0，则＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，解得：x＝1或，∴C（1，0）．∵，∴D（﹣1，4），∵点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，∴．∵，，∴，，．①当PC＝PB时，即解得：t＝3；②当BC＝PC时，解得：t＝4±；③当BC＝PB时，解得：t＝4或﹣2（舍去负值）综上可知：当t为3或4±或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、面积问题、两点间的距离公式以及勾股定理等，解题关键是熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式以及勾股定理．18．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是直线上方抛物线上一点，过点作∥轴交于点，过点作于点，当的周长最大时，求出的周长最大值及此时点的坐标；【答案】(1)(2)最大值为，【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）过点P作∥轴交BC于点H，由题意易得，则有，然后可得，，，进而可求，设，设直线的解析式为：，则有，最后根据二次函数的性质可进行求解．【详解】（1）解：∵点、、在抛物线的图像上，∴将点A、B、C的坐标代入得：，解得，∴；（2）解：如图，过点P作∥轴交BC于点H，∵∥轴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，∴当取最大值时，取最大值，设，设直线的解析式为：，将点B、C的坐标代入得：，解得，∴，∴，∴，∴，∴当时，取得最大值，最大值为，∴的最大值，将代入到中，得，∴．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．19．（2022·全国·九年级专题练习）已知二次函数图象的顶点坐标为，直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为，B点在y轴上．(1)求m的值及这个二次函数的解析式；(2)在x轴上找一点Q，使的周长最小，求出此时Q点坐标；【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，即可求出m的值及这个二次函数的解析式；（2）使的周长最小，即是求的值最小，作B点关于x轴的对称点，当A、Q、三点在一条直线上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而可得Q点坐标．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，∵点在抛物线上，则，解得，∴抛物线的解析式为，∵点在直线上，∴，解得；（2）解：∵，∴直线解析式为，当时，，即，∴B点关于x轴的对称点点的坐标为，设直线的解析式为，将A、两点坐标代入，得，解得，，∴直线的解析式为，如图，当A、Q、三点在一条直线上时，的值最小，即的周长最小，Q点为直线与x轴的交点，当时，即，解得，∴Q点坐标为．【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，解题时注意数形结合思想的运用．20．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)直线的函数解析式为，点的坐标为，连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，则点的坐标为；(3)在y轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为【答案】(1)(2)；或(3)【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，待定系数法求解析式即可求解；（2）求得线的表达式为：，依题意将的面积分成的两部分，则或，进而求得的纵坐标，即可求解．（3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，根据题意得出点，进而待定系数法求得直线的表达式为：，进而求得点的坐标．【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式，，解得，故二次函数的表达式为：；（2）点，，故点，设直线的表达式，，解得，∴直线的表达式为：；对于，函数的对称轴为，故点；将的面积分成的两部分，则或，则或，即或，解得：或，故点或；故答案为：，，或；（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、、，的周长最小，点，设直线的表达式为：，则，解得，故直线的表达式为：，令，则，故点．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，面积问题，轴对称求线段和，求一次函数解析式，综合运用以上知识是解题的关键．21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，过点P作于点D，过点P作轴交于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标；【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据点A和点B的坐标，设，再将点C的坐标代入求解即可；（2）延长交x轴于点F，证明，通过相似三角形周长比等于相似比，即可得出周长的表达式，再将其改写为顶点式即可求出最值．【详解】（1）设，把代入得：，解得：，∴；（2）解：如图，延长交x轴于点F，设点，的周长是l，∵，∴，∵，∴的周长是12，设直线BC的解析式为，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式是：，∴，∴，∵，∴，

∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴当时，l有最大值，最大值为，即周长的最大值为，当时，，∴．综上：周长的最大值为，此时点P的坐标．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法，通过相似三角形的周长比等于相似比得出周长的表达式．22．（2022·全国·九年级专题练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过B、C两点，与x轴另一交点为A，顶点为D．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点E，使的周长最小，求符合条件的E点坐标；【答案】(1)(2)【分析】（1）由直线解析式可求出点B、C的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．由抛物线的解析式可求出点C和点D的坐标，从而得出点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式，从而即可求出E点坐标．【详解】（1）解：∵直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，∴令，则；令，则，∴点B、C的坐标分别为，将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，故该抛物线的解析式：；（2）解：如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时为最小，且为的长，即此时的周长最小．对于，令，则，∴点C的坐标为，∴点的坐标为．∵，∴抛物线的顶点D的坐标为．设直线的表达式为，将、D的坐标代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，对于，当时，，故点E的坐标为．【点睛】本题为二次函数与一次函数的综合题，考查一次函数与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，二次函数的图象和性质等知识．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．23．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图．(1)求抛物线的解析式；(2)直线的函数解析式为______，点的坐标为______，______．(3)在轴上找一点，使得的周长最小．请求出点的坐标；【答案】(1)(2)；；(3)【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，再利用待定系数法求解解析式即可；（2）先求解的坐标，再利用待定系数法求解的解析式，再利用抛物线的对称轴方程求解抛物线的顶点坐标，设抛物线的对称轴交于点E，连接，证明，再利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，可得的周长为，此时的周长最短，再求解直线的解析式即可．【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得故抛物线的表达式为：；（2）点，，故点，设直线AB的解析式为：，，解得，∴直线的表达式为：；对于，函数的对称轴为直线，把代入，∴顶点；如图，设抛物线的对称轴交于点E，连接，把代入，得，，为线段的中点，，在中，，，，，在中，（3）如图，作关于轴的对称点，连接交轴于，∴的周长为，此时的周长最短，设直线为，∴，解得：，∴直线为，当时，，∴．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，锐角三角函数的计算，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，作出合适的辅助线是解本题的关键．24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点Q为线段上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求的最小值【答案】(1)(2)10【分析】（1）设，将代入求解即可；（2）作点O关于直线BC的对称点，连接，利用勾股定理及轴对称的性质求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，∴设，将代入，得：，解得：，∴，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作点O关于直线BC的对称点，连接，∵，，∴，∵O、关于直线对称，∴垂直平分，∴垂直平分，∴四边形BOCO′是正方形，∴，在中，，∵，∴，即点Q位于直线与直线交点时，有最小值10．【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段最短及轴对称的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．25．（2022·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)存在，；【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出抛物线的对称轴，即可得出，设直线的解析式为：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周长．【详解】（1）将，，代入得:,解得:所以抛物线的函数表达式：（2）存在；∵抛物线的解析式为：，∴抛物线的对称轴，，∴，