专题06一次方程(原卷版+解析)

第06讲一次方程掌握等式的基本性质能解一元一次方程能解可化为一元一次方程的分式方程掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：等式的性质与方程的概念 3考点2：解一元一次方程 9考点:3：解二元一次方程 15考点4：一次方程的应用 21课堂总结：思维导图 36分层训练：课堂知识巩固 37

考点1：等式的性质与方程的概念①等式的性质（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.②方程的概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．（2）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．（3）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个小丽同学在做作业时，不小心将方程■中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是A．4 B．3 C．2 D．1根据等式的性质，下列各式变形正确的是A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得已知关于的方程是一元一次方程，则．若是关于，的二元一次方程，则．

｛一元一次方程的解★｝是下列方程的解的有①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛一元一次方程的解★｝若方程的解为，则的值为A．10 B． C． D．｛方程的性质★｝下列变形符合等式性质的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么｛一元一次方程的概念★｝若是关于的一元一次方程，则．｛二元一次方程的解★｝若是方程的一个解，则．（2018•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是A． B． C． D．（2019•呼和浩特）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为．（2021•金华）已知是方程的一个解，则的值是．考点2：解一元一次方程解一元一次方程的步骤（1）去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；（2）去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；（3）移项：移项要变号；（4）合并同类项：把方程化成ax=－b(a≠0)；（5）系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=－b/a.

｛解一元一次方程★｝整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：01204则关于的方程的解为A． B． C． D．｛解一元一次方程-去分母★｝在解方程时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是A． B． C． D．｛解一元一次方程★｝对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，两数中较大的数，例如，．则方程，的解为A． B． C．或 D．1或2｛解一元一次方程★｝解方程：（1）；（2）．｛解一元一次方程-新定义★｝定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．（1）判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；（2）方程“友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．

｛解一元一次方程★｝已知方程和方程的解相同，则的值为．｛解一元一次方程★｝如果方程的解与关于的方程的解相同，则的值为．｛解一元一次方程★｝整式的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解是01220A． B． C． D．｛解一元一次方程★｝如果，那么的值为A． B．或1 C．或 D．或｛解一元一次方程★｝解下列方程：（1）；（2）；（3）．｛解一元一次方程-新定义★｝用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若，（其中为有理数），试比较，的大小．（2021•温州）解方程，以下去括号正确的是A． B． C． D．（2021•广元）解方程：．

考点:3：解二元一次方程思路消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.方法(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.

｛解二元一次方程★｝若是二元一次方程，则A．1 B．2 C．3 D．1或2｛二元一次方程的定义★｝方程，，，，中二元一次方程的个数是A．1 B．2 C．3 D．4｛二元一次方程的解★｝已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为．｛解二元一次方程★｝解方程组：（1）；（2）．

｛二元一次方程的解★｝定义一种新的运算：☆，例如：3☆．若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为．｛二元一次方程的定义★｝若是二元一次方程，则．｛解二元一次方程★｝解方程组：（1）；（2）．｛解二元一次方程★｝已知方程组与有相同的解，则．（2021•眉山）解方程组：．（2020•黑龙江）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为A．3 B．3， C． D．，（2020•朝阳）已知关于、的方程的解满足，则的值为．

考点4：一次方程的应用①列方程(组)解应用题的一般步骤：（1）审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设未知数；（3）列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；（4）解方程(组)；（5）检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；（6）作答：规范作答，注意单位名称．②常见题型及关系式：（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间.①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

｛★★｝（2019年湖北省荆门市中考数学试题）欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是A．盈利 B．亏损C．不盈不亏 D．与售价有关｛★｝（湖北黄石市新建中学2019年中考一模数学试题）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为A．13x12x1060 B．13x12x1060 C． D．｛★｝（2019年湖南省株洲市中考数学试题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．｛★｝（黑龙江省哈尔滨市道里区201届九年级中考二模数学试题）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）｛★｝（湖南省岳阳市2019年中考数学试题）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布__________尺.

｛★｝（2021•陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．｛★｝（2020•山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．｛★｝一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？｛★｝（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？｛★｝（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？｛★｝为了打通城市和景区的交通线路，某市利用高架桥和钻隧道等技术，缩短了城市和景区的距离，使得两地总里程比原来缩短了26千米，修建新路线后高铁行驶速度比原来火车行驶速度的3倍还多9千米，原来的火车行完全程用时3小时，现在高铁用时50分钟，求开通后高铁的平均速度是多少千米小时？｛★｝甲、乙两人同时从地去地，、两地相距12千米，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米时，甲到达立刻返回在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时，求乙的速度．｛★｝列方程解应用题：甲列车从地开往地，每小时行驶60千米，乙列车同时从地开往地，每小时行驶90千米．已知，两地相距．（1）经过多长时间两车相遇；（2）两车相遇的地方离地多远？｛★｝张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段距离，后到达县城．他骑车的平均速度是，步行的平均速度是，路程长，他骑车与步行各用多少时间？｛★★｝一艘轮船在、两个港口之间航行，顺流需要4个小时，逆流需要5个小时，已知水流速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度．｛★｝一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天．三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，请问甲请了几天假？｛★｝为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．｛★★｝（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？｛★★｝（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？｛★｝（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组解应用题的方法求出问题的解．｛★★｝甲、乙两个药业集团共有药品库存50吨，为抗击疫情支援灾区，甲集团捐赠出库存的药品，乙集团捐赠出库存的药品，组织车辆连夜送往抗疫最前线．若两个药业集团所捐赠的药品数量相同，那么甲，乙两药业集团原来各自的药品库存量有多少吨？｛★★｝某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板，做成如图②所示的竖式与横式两种长方形形状的无盖纸盒．现有正方形纸板150张，长方形纸板300张，若这些纸板恰好用完，则可制作横式、竖式两种纸盒各多少个？｛★★｝某公司需要粉刷一些相同的房间，经调查3名师傅一天粉刷8个房间，还剩刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9个房间；每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．（1）求每个房间需要粉刷的面积；（2）该公司现有36个这样的房间需要粉刷，若只聘请1名师傅和2名徒弟一起粉刷，需要几天完成？（3）若来该公司应聘的有3名师傅和10名徒弟，每名师傅和每名徒弟每天的工资分别是240元和200元，该公司要求这36个房间要在2天内粉刷完成，问人工费最低是多少？（2021•武汉）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，还差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是A． B． C． D．（2019•福建）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读个字，则下面所列方程正确的是A． B． C． D．（2021•烟台）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则的值为．（2021•北京）某企业有，两条加工相同原材料的生产线．在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时；在一天内，生产线共加工吨原材料，加工时间为小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则的值为．（2021•绵阳）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元．轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省元．（2021•兴安盟）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其中一次方程组是用算筹布置而成，如图（1）所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组表示出来，就是，类似的，图（2）所示的算筹图用方程组表示出来，就是．课堂总结：思维导图

分层训练：课堂知识巩固1．（2022秋•余庆县期末）下列方程变形中，正确的是A．方程，去分母得 B．方程，去括号得 C．方程，系数化为1得 D．方程，移项得2．（2021秋•大方县校级期末）设，，是有理数，则下列结论正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则3．（2022•六盘水）我国“型”导弹俗称“东风快递”，速度可达到26马赫马赫米秒），则“型”导弹飞行多少分钟能打击到12000公里处的目标？设飞行分钟能打击到目标，可以得到方程A． B． C． D．4．（2022•黔西南州）小明解方程的步骤如下：解：方程两边同乘6，得①去括号，得②移项，得③合并同类项，得④以上解题步骤中，开始出错的一步是A．① B．② C．③ D．④5．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆处用一根细线悬挂，左端处挂一重物，右端处挂钩码，每个钩码质量是．若，，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为，根据题意列方程得A． B． C． D．6．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是A． B． C． D．7．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为A． B． C． D．8．（2022•台湾）根据如图中两人的对话纪录，求出哥哥买游戏机的预算为多少元？A．3800 B．4800 C．5800 D．68009．（2022秋•林州市期中）已知是关于的一元一次方程，则的值为A． B． C．2 D．010．（2021秋•开江县期末）如图，正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第2022次追上甲时的位置A．上 B．上 C．上 D．上11．（2021秋•宜春期末）若方程是关于的一元一次方程，则A．1 B．2 C．3 D．1或312．（2021秋•綦江区期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意用“”型框选中7个数（如阴影部分所示），则这7个数的和不可能是A．63 B．70 C．98 D．10513．（2022•郑州二模）《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有个人，物品价格为钱，则下列方程组中正确的是A．B．C． D．14．（2022春•鼓楼区校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价几何？条件部分的译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．若设共有人，物品价格元，则下面所列方程组正确的是A． B． C． D．15．（2022春•廉江市期末）已知有若干片相同的拼图，其形状如图1所示．当4片拼图紧密拼成一列时，总长度为，如图2所示；当10片拼图紧密拼成一列时，总长度为，如图3所示，则图1中的拼图长度为A． B． C． D．16．（2022春•肇源县期末）实数，满足方程组，则的值为A．3 B． C．5 D．17．（2022•鸡冠区校级一模）新型冠状病毒传染性非常强，多是通过飞沫，接触，还有气溶胶传播．所以一定要做好个人防护，尽量少外出，更不要聚集，佩戴医用外科口罩是非常有效的个人防护．为了个人防护，小红用40元钱买了，两种型号的医用外科口罩（两种型号都买），型每包6元，型每包4元，在40元全部用尽的情况下，有几种购买方案A．2种 B．3种 C．4种 D．5种18．（2022春•射洪市期中）已知二元一次方程组，若用加减法消去，则正确的是A．①② B．①② C．①② D．①②1．（2022秋•北辰区校级月考）若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（）A．ma+1＝mb+1 B．ma﹣3＝mb﹣3 C．a＝b D．﹣ma﹣1＝﹣mb﹣12．（2022秋•临平区月考）用“”定义一种新的运算：对于任何有理数和，规定．有下列结论：①；②；③若，则．正确的是A．①③ B．①② C．②③ D．①②③3．（2021秋•防城港期末）根据等式的性质变形正确的是A．若，则 B．若，则 C．，则 D．，则4．（2021秋•承德期末）解一元一次方程的过程就是通过变形，把一元一次方程转化为的形式，下面是解方程的主要过程，方程变形对应的依据错误的是解：原方程可化为（①）去分母，得（②）去括号，得（③）移项，得（④）合并同类项，得（合并同类项法则）系数化为1，得（等式的基本性质A．①分数的基本性质 B．②等式的基本性质2 C．③乘法对加法的分配律 D．④加法交换律5．（2022春•五华区期末）一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置A．3个〇 B．4个〇 C．5个〇 D．6个〇6．（2021秋•包头期末）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，两数中较大的数，例如，，，．按照这个规定，那么方程，的解为A． B．或 C．或 D．7．（2021秋•新吴区期末）我们称使成立的一对数，为“相伴数对”，记为，如：当时，等式成立，记为．若是“相伴数对”，则的值为A．2 B． C． D．8．（2021秋•济宁期末）我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，如果有，那么的值为A．3 B．2 C． D．09．（2021秋•济宁期末）小贤在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小贤想了想，便翻看书后答案，此方程的解是，于是他很快就补好了这个常数，你能补出这个常数吗？它应是A． B． C． D．10．（2021秋•邵阳县期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为A． B． C． D．11．（2022春•东方期末）如图，天平中的物体、、使天平处于平衡状态，则物体与物体的重量关系是A． B． C． D．12．（2021秋•任城区校级期末）哥哥今年的年龄是弟弟的2倍，弟弟说：“六年前，我们俩的年龄和为15岁”，若用表示哥哥今年的年龄，则可列方程A． B． C． D．13．（2022•钟山县模拟）已知是二元一次方程组的解，则m，n的值分别是（）A． B． C． D．14．（2022春•阜平县期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是（）①当a＝1时，方程组的解也是方程x+2y＝﹣2的解；②当x＝y时，a＝﹣；③当x﹣2y＞8时，a＞；④不论a取什么实数，2x+y的值始终不变A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④15．（2022春•承德县期末）方程■x﹣2y＝5是二元一次方程，■是被弄污的x的系数，推断■的值（）A．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是﹣1 D．不可能是016．（2022秋•江北区期中）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是万元．1．（2021秋•镇安县期末）某商店在某一时间以每双120元的价格卖出两双运动鞋，其中一双盈利，另一双亏损，该商店卖这两双运动鞋总的是A．亏损 B．盈利 C．不盈不亏 D．盈亏无法计算2．（2021秋•文登区期末）在解关于的方程时，小颖在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解为，则方程正确的解是A． B． C． D．3．（2022秋•高邮市期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为A． B． C． D．4．（2022春•迁安市期末）橘子是我们常见的一种水果，取5个大小均等的橘子放在同一简易天平秤，如图，则估计一个橘子的重量大约是A．20 B．30 C．40 D．455．（2020秋•巫山县期末）寒假到来，某书店开展学生优惠购买名著活动，凡一次性购买不超过100元的，一律九折优惠；超过100元的，其中100元按九折优惠，超过100元的部分按八折优惠．小青第一次去购买时付款36元，第二次又去购买时享受到了八折优惠．他查看了所买名著的定价，发现两次共节省了17元，则小青第二次购买时实际付款元．6．（2020秋•兖州区期末）今年3.15期间，惠东商场为感谢新老顾客，决定对某产品实行优惠政策：购买该产品，另外赠送礼品一份．经过与该产品的供应商协调，供应商同意将该产品供货价格降低，同时免费为顾客提供礼品；而该产品的商场零售价保持不变．这样一来，该产品的单位利润率由原来的提高到，则的值是．7．（2014•重庆模拟）某公司生产一种饮料是由，两种原料液按一定比例配制而成，其中原料液的成本价为15元千克，原料液的成本价为10元千克，按现行价格销售每千克获得的利润率．由于市场竞争，物价上涨，原料液上涨，原料液上涨，配制后的总成本增加了，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是．8．（2013•江北区校级模拟）著名瑞士数学家欧拉，曾给出这样一个问题：父亲临终时立下遗嘱，按下述方式分配遗产：老大分的100瑞士法郎和剩下的；老二分的200瑞士法郎和剩下的；老三分的300瑞士法郎和剩下的依此类推，分给其余的孩子．最后发现，遗产全部分完后所有孩子分的遗产相等．问：这位父亲的遗产总数是瑞士法郎．9．（2013•自贡校级模拟）3月5日到3月9日重庆八中组织了初2013级全体同学到重庆通讯学院参加了国防教育活动，3月8日全体同学进行了军事拉练．拉练时全年级同学排成了1000米的队伍，在行进过程中排尾的一名同学接到教官的命令到排头，然后立即返回，当这名同学回到排尾时，全队已前进了1000米，如果队伍和这名同学行进的速度都不改变，那么这名同学所走的路程为米．10．（2013•重庆模拟）第三届中国大学生方程式汽车比赛赛前，甲、乙两辆参赛小汽车在一个封闭的环形跑道内进行耐久测试．两车从同一地点沿相同方向同时起步后，乙车速超过甲车速，在第15分钟时甲车提速，在第18分钟时甲车追上乙车并且开始超过乙，在第23分钟时，甲车再次追上乙车．已知在测试中甲、乙两车均是匀速行驶，那么如果甲车不提速，乙车首次超过甲车所用的时间是分钟．11．（2013•重庆校级模拟）重庆育才中学的生活教育实践农场种了一片草莓，现在正是草莓成熟的季节，农场的草莓每天都在匀速的成熟（即每天新成熟的草莓质量相等），现在准备把成熟的草莓包装成礼盒进行销售，且每只礼盒的草莓质量相等．如果每天销售24盒，则6天可以把成熟的草莓销售完毕；如果每天销售21盒，则8天可以把成熟的草莓销售完毕；如果每天销售14盒，则36天可以把成熟的草莓销售完毕．12．（2013•重庆模拟）甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙订购同种规格的若干件商品，商品买来后，甲、乙分别比丙多拿了7、11件商品，最后结算时，甲付给丙14元，那么，乙应付给丙元．13．（2022春•新乐市校级月考）用图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成图②中的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，如果制作竖、横式两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，那么制作的竖式礼盒有A．200个 B．400个 C．600个 D．800个14．（2021秋•市中区期末）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，则阴影部分图形的总面积为A．27 B．29 C．34 D．3615．（2018秋•南岸区校级期末）由菜鸟网络打造的一个仓库有相同数量的工人和机器人，均为名（其中，平时每天都只工作8小时，每名机器人每小时加工包裹（分、拣、包装一体化）的数量是每名工人每小时加工包裹数量的2倍．随着“春节”临近，人工短缺，寄年货的包裹增多，公司决定再增加2名机器人，且将机器人每天工作时间延长至12小时，并对每名机器人进行升级改造，让现在每名机器人每小时加工包裹的数量在原有基础上增加个，结果现在所有机器人每天加工包裹的数量是所有工人平时每天加工包裹数量的6倍，则该仓库平时一天加工个包裹．16．（2019•潼南区模拟）某果蔬饮料由果汁、蔬菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了，而纯净水的价格降了，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为．17．（2017•下陆区校级自主招生）一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶．18．（2017•慈溪市校级自主招生）已知三个非负实数，，满足：和，若，则的最小值为．19．（2022秋•江北区期中）“泡泡玛特”创立12年之际，推出“森林精灵”、“潘神神话”两种限量盲盒，每种盲盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的Molly公仔，每一种盲盒的成本是该盲盒中所有公仔的成本之和（包装费用不计）．其中，“森林精灵”盲盒分别装有3个紫色，1个白色，1个红色公仔，“潘神神话”盲盒分别装有2个紫色，3个白色，3个红色公仔．每个“森林精灵”盲盒中所有公仔的成本之和为1个紫色Molly公仔的5倍，每个“潘神神话”盲盒的利润率为50%，且每个“潘神神话”盲盒的售价比每个“森林精灵”盲盒高20%．店庆当天销售这两种盲盒的总销售额为60万元，总利润率为60%，则这天销售“森林精灵”盲盒的总利润是万元．第06讲一次方程掌握等式的基本性质能解一元一次方程能解可化为一元一次方程的分式方程掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：等式的性质与方程的概念 3考点2：解一元一次方程 9考点:3：解二元一次方程 15考点4：一次方程的应用 21课堂总结：思维导图 36分层训练：课堂知识巩固 37

考点1：等式的性质与方程的概念①等式的性质（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c.（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.②方程的概念（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．（2）二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．（3）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．（4）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】方程的定义：含有未知数的等式叫方程．据此判断即可．【解答】解：①，是方程；②，是多项式，不是方程；③，是不等式，不是方程；④，是方程；⑤是方程．所以方程有①④⑤，共3个．故选：．【点评】本题考查了方程的定义，正确区分方程与整式和不等式是解答本题的关键．小丽同学在做作业时，不小心将方程■中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据方程的解是，把代入■，解出方程即可．【解答】解：把代入■，得■，解得■；故选：．【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键．根据等式的性质，下列各式变形正确的是A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得【分析】根据等式的性质解答即可．【解答】解：、，，原变形错误，故此选项不符合题意；、，，原变形正确，故此选项符合题意；、，，原变形错误，故此选项不符合题意；、，，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．已知关于的方程是一元一次方程，则5．【分析】根据题意得出且，据此可得的值．【解答】解：关于的方程是一元一次方程，且，解得．故答案为：5．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，列出关于的方程是解此题的关键．若是关于，的二元一次方程，则．【分析】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．【解答】解：是关于，的二元一次方程，且，解得，故答案为：．【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．

｛一元一次方程的解★｝是下列方程的解的有①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分别求出四个方程的解各是多少，判断出是所给方程的解的有多少个即可．【解答】解：①，．②，，解得或3．③，或1．④，，是所给方程的解的有3个：②、③、④．故选：．【点评】此题主要考查了方程的解，以及解一元一次方程、解二元一次方程的方法，要熟练掌握．｛一元一次方程的解★｝若方程的解为，则的值为A．10 B． C． D．【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．【解答】解：依题意，得，即，解得，．故选：．【点评】本题考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法．｛方程的性质★｝下列变形符合等式性质的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．【解答】解：、等式的两边都加3，可得，原变形错误，故此选项不符合题意；、等式的两边都乘，可得，原变形正确，故此选项符合题意；、等式的两边都除以，可得，原变形错误，故此选项不符合题意；、等式的两边都加，可得，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．｛一元一次方程的概念★｝若是关于的一元一次方程，则2或4．【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常数且．【解答】解：是关于的一元一次方程，，解答或4．故答案为：2或4．【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．｛二元一次方程的解★｝若是方程的一个解，则．【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值，再将变形为，整体代入即可求解．【解答】解：是方程的一个解，，．故答案为：．【点评】此题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．（2018•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是A． B． C． D．【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．【解答】解：设的质量为，的质量为，的质量为：，假设正确，则，，此时，，选项中都是，故选项错误，符合题意．故选：．【点评】此题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．（2019•呼和浩特）关于的方程如果是一元一次方程，则其解为或或．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．【解答】解：关于的方程如果是一元一次方程，当时，方程为，解得：；当时，方程为，解得：；当，即时，方程为，解得：，故答案为：或或．【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．（2021•金华）已知是方程的一个解，则的值是2．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：，，故答案为：2．【点评】本题考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于的一元一次方程是解题的关键．考点2：解一元一次方程解一元一次方程的步骤（1）去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；（2）去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；（3）移项：移项要变号；（4）合并同类项：把方程化成ax=－b(a≠0)；（5）系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=－b/a.

｛解一元一次方程★｝整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：01204则关于的方程的解为A． B． C． D．【分析】首先根据题意，可得：，，据此求出的值是多少；然后根据解一元一次方程的方法，求出关于的方程的解为多少即可．【解答】解：、1时，的值分别是、0，，，，，移项，可得：，合并同类项，可得：，系数化为1，可得：．故选：．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．｛解一元一次方程-去分母★｝在解方程时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是A． B． C． D．【分析】根据等式的性质，在方程的两边同时乘以6即可．【解答】解：在解方程时，在方程的两边同时乘以6，去分母正确的是：．故选：．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，注意等式的性质的应用．｛解一元一次方程★｝对于两个不相等的有理数，，我们规定符号，表示，两数中较大的数，例如，．则方程，的解为A． B． C．或 D．1或2【分析】分类讨论与的大小，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．【解答】解：当，即时，已知方程变形得：，解得：，舍去；当，即时，已知方程变形得：，解得：，则方程的解为．故选：．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．｛解一元一次方程★｝解方程：（1）；（2）．【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；（2）根据解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程；【解答】解：（1），去括号，得，移项，得，合并同类项，得；（2）方程两边都乘6，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，把系数化为1，得．【点评】本题考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．这是解题关键．｛解一元一次方程-新定义★｝定义：若整数的值使关于的方程的解为整数，则称为此方程的“友好系数”．（1）判断，是否为方程的“友好系数”，写出判断过程；（2）方程“友好系数”的个数是有限个，还是无穷多？如果是有限个，求出此方程的所有“友好系数”；如果是无穷多，说明理由．【分析】（1）分别求出方程的解，然后进行判断即可；（2）求出方程的解，根据是整数，也是整数进行求解即可．【解答】解：（1）当时，，解得：，是方程的友好系数；当时，，解得：，是方程的友好系数；（2），，，为整数，，，解得：，要使的值为整数，则，，，，为整数，或或2．【点评】本题考查了解一元一次方程，根据的值为整数得到，，，是解题的关键．

｛解一元一次方程★｝已知方程和方程的解相同，则的值为．【分析】先求出第一个方程的解，把代入第二个方程，再求出即可．【解答】解：解方程得：，把代入得：，解得：，故答案为：．【点评】本题考查了一元一次方程的解，同解方程，解一元一次方程等知识点，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．｛解一元一次方程★｝如果方程的解与关于的方程的解相同，则的值为．【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可．【解答】解：解方程得：，由题意：的解为，整理得：，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键．｛解一元一次方程★｝整式的值随的取值不同而不同，如表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解是01220A． B． C． D．【分析】根据图表求得一元一次方程为，即可得出答案．【解答】解：当时，，，，时，，，，为，解得，．故选：．【点评】本题主要考查解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题的关键．｛解一元一次方程★｝如果，那么的值为A． B．或1 C．或 D．或【分析】根据绝对值的意义得到或，然后解两个一次方程即可．【解答】解：，或，或．故选：．【点评】考查绝对值方程的解法，绝对值方程要转化为整式方程来求解．要注意，所以方程有两个解．｛解一元一次方程★｝解下列方程：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）移项合并，把未知数系数化为1，求出解即可；（2）去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解即可；（3）去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解即可．【解答】解：（1）移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：；（2）去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：；（3）去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．【点评】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．｛解一元一次方程-新定义★｝用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若，（其中为有理数），试比较，的大小．【分析】（1）根据新运算列出算式是计算；（2）根据新运算列出方程，解一元一次方程；（3）先新运算列出算式，合并同类项，把、化为最简的式子，求出它们的差，进行比较大小．【解答】解：（1）；（2），，，，，解得；（3），，，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了解一元一次方程、有理数混合运算，掌握混合运算顺序及解一元一次方程的步骤，对新运算的理解是列式的关键，比较、大小，关键是通过化简后最简代数式差的正负情况来判断．（2021•温州）解方程，以下去括号正确的是A． B． C． D．【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．【解答】解：根据乘法分配律得：，去括号得：，故选：．【点评】本题考查了解一元一次方程，去括号法则，解题的关键是：括号前面是减号，把减号和括号去掉，括号的各项都要变号．（2021•广元）解方程：．【分析】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此解答即可．【解答】解：，，，，，．【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．

考点:3：解二元一次方程思路消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.方法(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.

｛解二元一次方程★｝若是二元一次方程，则A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为1这一方面考虑，先求出常数、的值，再进一步计算．【解答】解：由是二元一次方程，得，．解得，，，故选：．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程是含有两个未知数且未知数的次数都为1，运用二元一次方程的定义可以求出字母常数的值，同时注意结合有理数的运算确定字母的取值．｛二元一次方程的定义★｝方程，，，，中二元一次方程的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】二元一次方程满足的条件：只含有2个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程．【解答】解：根据二元一次方程的定义，则是二元一次方程的是，，共2个．故选：．【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．｛二元一次方程的解★｝已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为．【分析】根据题意①②得，然后根据题意列出方程组即可求得公共解．【解答】解：①②得，，，，根据题意，这些方程有一个公共解，与的取值无关，，解得．故答案为：．【点评】本题考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的基本解法有代入消元法和加减消元法．｛解二元一次方程★｝解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】（1），解：由②得：③，将③代入①得，解得，将代入③得：，原方程的解为；（2），解：由①得：③，将③代入①得：，解得，将代入③得：，原方程的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

｛二元一次方程的解★｝定义一种新的运算：☆，例如：3☆．若☆，且关于，的二元一次方程，当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为．【分析】根据“☆，☆”得到，代入方程得到，根据“当，取不同值时，方程都有一个公共解”，得到关于、的方程组，解之即可．【解答】解：☆，☆，，即，则方程可转化为，则，当，取不同值时，方程都有一个公共解，，解得，故答案为：．【点评】本题考查了新定义和二元一次方程的解，解题的关键是得到关于、的方程组．｛二元一次方程的定义★｝若是二元一次方程，则3．【分析】先根据二元一次方程的定义得出，，据此可得、的值，再代入计算可得．【解答】解：是二元一次方程，，，，，则．故答案为：3．【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．｛解二元一次方程★｝解方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可；（2）方程组整理后，再利用加减消元法求解即可．【解答】解：（1），①②，得，解得，把代入②，得，解得，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，①②，得，解得，把代入①，得，解得，故方程组的解为．【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．｛解二元一次方程★｝已知方程组与有相同的解，则144．【分析】由题意可知，有一组、值同时满足于上述四个方程，把已知系数的方程联立为一个方程组，进行求解，将可求出、．然后把所求分别代入令两个方程，便可求出、，最后代入则中求解即可．【解答】解：因为方程组与有相同的解，所以有，解得．将其代入，，得，解得．则．【点评】本题需要对二元一次方程组的解有深刻的理解，从而明确该题中的四个方程有相同解，进而重新组合方程（2021•眉山）解方程组：．【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【解答】解：方程组整理得：，①②得：，解得：，把代入②得：，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．（2020•黑龙江）若是二元一次方程组的解，则的算术平方根为A．3 B．3， C． D．，【分析】把与的值代入方程组计算求出的值，即可求出所求．【解答】解：把代入方程组得：，①②得：，则3的算术平方根为．故选：．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．（2020•朝阳）已知关于、的方程的解满足，则的值为5．【分析】①②可得，然后列出关于的方程求解即可．【解答】解：，①②，得，，，，．故答案为：5．【点评】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．解答．

考点4：一次方程的应用①列方程(组)解应用题的一般步骤：（1）审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；（2）设未知数；（3）列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；（4）解方程(组)；（5）检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；（6）作答：规范作答，注意单位名称．②常见题型及关系式：（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价－进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间.①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.

｛★★｝（2019年湖北省荆门市中考数学试题）欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是A．盈利 B．亏损C．不盈不亏 D．与售价有关【答案】B【解析】设第一件衣服的进价为元，依题意得：，设第二件衣服的进价为元，依题意得：，，整理得：，该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：，即赔了元，故选B．｛★｝（湖北黄石市新建中学2019年中考一模数学试题）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务而且还多生产60件，设原计划每小时生产x个零件，则所列方程为A．13x12x1060 B．13x12x1060 C． D．【答案】A【解析】设原计划每小时生产x个零件，则实际每小时生产（x+10）个零件．

根据等量关系列方程得：12（x+10）=13x+60．即:13x12x1060，故选：A．｛★｝（2019年湖南省株洲市中考数学试题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．【答案】250【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为，根据题意得：，解得：，∴．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．｛★｝（黑龙江省哈尔滨市道里区201届九年级中考二模数学试题）某车间有22名工人，每人每天可生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需配2个螺母，为使生产的螺钉和螺母刚好配套，若设x名工人生产螺钉，依题意列方程为A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）【答案】D【解析】设每天安排x个工人生产螺钉，则（22-x）个工人生产螺母，利用一个螺钉配两个螺母．

由题意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故选D．｛★｝（湖南省岳阳市2019年中考数学试题）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺.问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布__________尺.【答案】【解析】设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：，即该女子第一天织布尺，故答案为：.

｛★｝（2021•陕西）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．【分析】设这种服装每件的标价是元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”从而得出方程，解方程即可求解；【解答】解：设这种服装每件的标价是元，根据题意得，，解得，答：这种服装每件的标价为110元．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，此题应用比较广泛，设出标价得出方程是解决问题的关键．｛★｝（2020•山西）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．【分析】设该电饭煲的进价为元，则售价为元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．【解答】解：设该电饭煲的进价为元，则标价为元，售价为元，根据题意，得，解得．答：该电饭煲的进价为580元．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．｛★｝一电商出售运动包时，将一种运动双肩包按进价提高作为标价，然后再按标价的8.5折出售，这样电商每卖出一个运动双肩包可赚取38元．试问这种运动双肩包每个进价是多少元？【分析】设这种运动双肩包每个进价是元，根据题意知；利润总的售价总进价．列方程解可得．【解答】解：设这种运动双肩包每个进价是元．由题意得．解得；．答：这种运动双肩包每个进价是200元．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解本题的关键是找等量关系．｛★｝（2019•安徽）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进米，则乙工程队每天掘进米，由题意，得，解得，所以乙工程队每天掘进5米，（天答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．｛★｝（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？【分析】设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，则两队原计划平均每月修建，技术创新后两队原计划平均每月修建，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出分式方程，求解即可求出结果．【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，根据题意得，，解得，答：甲工程队原计划平均每月修建2，乙工程队原计划平均每月修建3．【点评】本题考查了二元一次方程组应用，能够根据时间找出等量关系是解决问题的关键．｛★｝为了打通城市和景区的交通线路，某市利用高架桥和钻隧道等技术，缩短了城市和景区的距离，使得两地总里程比原来缩短了26千米，修建新路线后高铁行驶速度比原来火车行驶速度的3倍还多9千米，原来的火车行完全程用时3小时，现在高铁用时50分钟，求开通后高铁的平均速度是多少千米小时？【分析】设原来火车的速度为千米小时，则高铁的平均速度是千米小时，再根据开通高铁后两地总里程比原来缩短了26千米列出方程即可．【解答】解：设原来火车的速度为千米小时，则高铁的平均速度是千米小时，由题意得：，解得：，当时，（千米小时），答：开通后高铁的平均速度是210千米小时．【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是根据路程相等列出方程．｛★｝甲、乙两人同时从地去地，、两地相距12千米，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍还快2千米时，甲到达立刻返回在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了3小时，求乙的速度．【分析】根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得乙的速度．【解答】解：设乙的速度为千米小时，则甲的速度为千米小时，，解得，答：乙的速度为2千米小时．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．｛★｝列方程解应用题：甲列车从地开往地，每小时行驶60千米，乙列车同时从地开往地，每小时行驶90千米．已知，两地相距．（1）经过多长时间两车相遇；（2）两车相遇的地方离地多远？【分析】（1）设两车相遇时间为小时，根据所行的路程和为，列出方程求得相遇时间即可；（2）用（1）求出的时间乘以甲列车从地开往地速度，即可得出两车相遇的地方离地的距离．【解答】解：（1）设经过小时两车相遇，根据题意得：，解得：，答：经过小时两车相遇；（2）根据题意得：（千米），答：两车相遇的地方离地80千米．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，掌握行程问题中的基本数量关系是解决问题的关键．｛★｝张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段距离，后到达县城．他骑车的平均速度是，步行的平均速度是，路程长，他骑车与步行各用多少时间？【分析】首先设他骑车用了小时，根据骑车时间步行时间小时表示出步行时间，再由骑车路程步行路程千米，根据等量关系列出方程，解方程即可．【解答】解：设他骑车所用时间为小时，则他步行的时间为：小时，根据题意，得：，解得：，则他步行时间为：（小时）．答：他骑车用了1.25小时，步行用了0.25小时．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，关键是弄懂题意，根据题目中的时间关系和路程总和为20千米列出方程．｛★★｝一艘轮船在、两个港口之间航行，顺流需要4个小时，逆流需要5个小时，已知水流速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度．【分析】设轮船在静水中的速度为千米小时，则顺流的速度为千米小时，逆流的速度为千米小时，根据路程速度时间结合、两个港口之间的路程相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设轮船在静水中的速度为千米小时，则顺流的速度为千米小时，逆流的速度为千米小时，依题意，得：，解得：．答：轮船在静水中的速度为18千米小时．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．｛★｝一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天．三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，请问甲请了几天假？【分析】设甲请了天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答．【解答】解：设甲请了天假，由题意知，．解得．答：甲请了3天假．【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答．｛★｝为提高学生综合素质，亲近自然，励志青春，某学校组织学生举行“远足研学”活动，先以每小时6千米的速度走平路，后又以每小时3千米的速度上坡，共用了3小时；原路返回时，以每小时5千米的速度下坡，又以每小时4千米的速度走平路，共用了4小时，问平路和坡路各有多远．【分析】可以设平路为千米，坡路为千米，根据往返的用时不同可得到两个关于、的方程，求方程组的解即可【解答】解：设平路有千米，坡路有千米，由题意可知，解得，答：平路有千米，坡路有千米．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．｛★★｝（2017•岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【分析】（方法一）设这批书共有本，根据每包书的数目相等．即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．（方法二）设第一次领来本书，第二次领来本书，根据第一次领来全部书的结合每包书的数目相等，即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（方法一）设这批书共有本，根据题意得：，解得：，．答：这批书共有1500本．（方法二）设第一次领来本书，第二次领来本书，根据题意得：，解得：，．答：这批书共有1500本．【点评】本题考查了一元一次方程的应用（二元一次方程组的应用），解题的关键是：（方法一）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（方法二）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．｛★★｝（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？【分析】（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数甲品牌粽子节省的钱数乙品牌粽子节省的钱数，即可求出节省的钱数．【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根据题意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）（元．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．｛★｝（2017•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”试用列方程（组解应用题的方法求出问题的解．【分析】设鸡有只，兔有只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，可分别得出方程，联立求解即可得出答案．【解答】解：设鸡有只，兔有只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只脚，结合上有三十五头，下有九十四足可得：，解得：．答：鸡有23只，兔有12只．【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程组，难度一般．｛★★｝甲、乙两个药业集团共有药品库存50吨，为抗击疫情支援灾区，甲集团捐赠出库存的药品，乙集团捐赠出库存的药品，组织车辆连夜送往抗疫最前线．若两个药业集团所捐赠的药品数量相同，那么甲，乙两药业集团原来各自的药品库存量有多少吨？【分析】设甲药业集团原来的药品库存量有吨，乙药业集团原来的药品库存量有吨，根据“甲、乙两个药业集团共有药品库存50吨，甲集团库存与乙集团库存的药品数量相同”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲药业集团原来的药品库存量有吨，乙药业集团原来的药品库存量有吨，依题意得：，解得：．答：甲药业集团原来的药品库存量有20吨，乙药业集团原来的药品库存量