专题09勾股定理之赵爽弦图模型综合应用(2大类型)(原卷版+解析)

专题09勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2大类型）专题说明专题说明勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘徽青朱出入法、欧几里得面积法等），理解证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入法解决一些问题；体验知识的迁移和方法的运用过程，从而提高分析、类比的能力，提高解决问题的能力；感受勾股定理中折射出的数学文化，体验数学美。解题思路解题思路弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.【典例分析】【类型一：内弦图模型】【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．32【变式1-1】（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．32【变式1-2】（2022秋•锡山区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15【变式1-3】（2021春•饶平县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7 D．7【类型二：外弦图模型】【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30【变式2-1】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．25【变式2-2】（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【夯实基础】1．（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．16 D．242．（2022•费县校级二模）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④3．（2022秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．1694．（2021秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（）A．76 B．57 C．38 D．195．（2022秋•新郑市校级月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EPGH正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，则S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．6756．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．7．（2022•馆陶县一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（）A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理8．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（）A．128 B．64 C．32 D．144【能力提升】9．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（）A．2 B．3 C．5 D．410．（2022秋•代县期末）综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．11．（2022秋•吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为、，由此可发现a，b，c之间的数量关系为．【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图2，a，b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以说明．12．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．13．（2022春•玉山县月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．（1）如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边AC的长；（2）小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．14．（2022秋•榕城区期中）知识探究：如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体的关系完成第（1）（2）题．请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示：图2中正方形ABCD的面积：．图3中正方形ABCD的面积：．（2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．知识应用：（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．15．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积．（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．16．（2022春•阳高县月考）4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c．现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．17．（2021春•利辛县期中）如图，小明用4个图1中的矩形组成图2，其中四边形ABCD，EFGH，MNPQ都是正方形，证明：a2+b2＝c2．18．（2021秋•和平区校级期中）如图，其中△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理．设AD＝c，DE＝a，AE＝b，取c＝20，b﹣a＝4．（1）填空：正方形EFGH的面积为，四个直角三角形的面积和为．（2）求a+b的值．专题09勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2大类型）专题说明专题说明勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘徽青朱出入法、欧几里得面积法等），理解证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入法解决一些问题；体验知识的迁移和方法的运用过程，从而提高分析、类比的能力，提高解决问题的能力；感受勾股定理中折射出的数学文化，体验数学美。解题思路解题思路弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.【典例分析】【类型一：内弦图模型】【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．32【答案】A【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝82+62＝100所以x＝10所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．故选：A．【变式1-1】（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．32【答案】A【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝82+62＝100所以x＝10所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．故选：A．【变式1-2】（2022秋•锡山区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面积＝4×ab+5＝13，故选：B．【变式1-3】（2021春•饶平县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（）A．7 B．8 C．7 D．7【答案】C【解答】解：∵AE＝5，BE＝12，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长＝12﹣5＝7，∴EF＝；故选：C．【类型二：外弦图模型】【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．30【答案】C【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，因为S1+S2+S3＝60，所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，即3S2＝60，解得S2＝20．故选：C．【变式2-1】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（）A．12 B．15 C．20 D．25【答案】B【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，∵S1+S2+S3＝45，∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，即3S2＝45，解得S2＝15．故选：B．【变式2-2】（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、大正方形的面积为：c2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：（a+b）2；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．【夯实基础】1．（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．16 D．24【答案】D【解答】解：根据题意得：OB＝OC＝3，4（AB+AC）＝24，即AB+AC＝6，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB2＝OA2+OB2，即（6﹣AC）2＝32+（3+AC）2，解得：AC＝1，∴OA＝3+1＝4，∴，∴该飞镖状图案的面积＝4S△AOB＝24，故选：D．2．（2022•费县校级二模）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解答】解：∵大正方形面积为49，∴大正方形边长为7，在直角三角形中，x2+y2＝72＝49，故说法①正确；∵小正方形面积为4，∴小正方形边长为2，∴x﹣y＝2，故说法②正确；∵大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和，∴4×xy+4＝49，∴2xy+4＝49，故说法③正确；∵2xy+4＝49，∴2xy＝45，∵x2+y2＝49，∴x2+y2+2xy＝49+45，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝，故说法④错误；故选：A．3．（2022秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【答案】C【解答】解：设大正方形的边长为c，∵大正方形的面积是13，∴c2＝13，∴a2+b2＝c2＝13，∵直角三角形的面积是＝3，又∵直角三角形的面积是ab＝3，∴ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+2×6＝13+12＝25．故选：C．4．（2021秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（）A．76 B．57 C．38 D．19【答案】A【解答】解：设AC＝AD＝x，则BD＝30﹣5﹣2x＝25﹣2x，∵BD2＝BC2+CD2，∴52+（2x）2＝（25﹣2x）2，∴x＝6，∴BD＝25﹣2x＝13，AD＝6，∴这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76．故选：A．5．（2022秋•新郑市校级月考）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EPGH正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝2022，则S2的值是（）A．672 B．673 C．674 D．675【答案】C【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，∵S1+S2+S3＝2022，即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝2022，∴3（a2+b2）＝2022，∴3S2＝2022，∴S2的值是674．故选：C．6．（2022秋•杏花岭区校级月考）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：选项A中：（a+b）（a+b）×＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项A不符合题意；选项B中：（a+b）2＝ab×4+c2，化简得：a2+b2＝c2，故选项B不符合题意；选项C中：c＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2，故选项C不符合题意；选项D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项D符合题意；故选：D．7．（2022•馆陶县一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（）A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式 B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理 C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式 D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理【答案】B【解答】解：由图1可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），即图1可以说明平方差公式；由图2可得，（a+b）2＝ab×4+c2，化简，得：a2+b2＝c2，即图2可以说明勾股定理；故选：B．8．（2022春•延津县期中）如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝13，则EF2的值是（）A．128 B．64 C．32 D．144【答案】A【解答】解：∵AE＝5，BE＝13，∴AB＝＝＝，∴小正方形的面积为：（）2﹣×4＝194﹣130＝64，由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，∴EF2的值是64×2＝128，故选：A．【能力提升】9．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（）A．2 B．3 C．5 D．4【答案】B【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，根据题意得：，解得：c2＝27，解得：c＝3或﹣3（舍去），故大正方形的边长为3，故选：B．10．（2022秋•代县期末）综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝42，求S2的值．【解答】解：（1）由图1可得，大正方形的面积为c2，大正方形的面积＝4×ab+（a﹣b）2，∴4×ab+（a﹣b）2＝c2，化简可得，a2+b2＝c2；（2）24÷4＝6，设AC＝x，则AB＝6﹣x，依题意得：（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1，∴该“勾股风车”图案的面积为：×（3+1）×3×4＝×4×3×4＝24．答：该“勾股风车”图案的面积为24；（3）设八个全等的直角三角形的面积均为a，则S2＝S1﹣4a，S2＝S3+4a，两式相加，可得2S2＝S1+S3，又∵S1+2S2+S3＝42，∴4S2＝42，∴S2＝10.5．11．（2022秋•吴江区月考）【方法探究】我们知道，通过不同的方法表示同一图形的面积可以探求相应的数量关系．如图1，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a、b（a＜b），斜边长为c，大正方形的面积用两种方法可分别表示为（a+b）2、c2+2ab，由此可发现a，b，c之间的数量关系为a2+b2＝c2．【方法迁移】将图1中的四个形状大小完全相同的直角三角形拼成图2，a，b，c之间仍然具有以上数量关系吗？请在图2中添加适当的辅助线，并加以说明．【解答】解：（1）大正方形的面积＝（a+b）2；或大正方形的面积＝c2+2ab；∴（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，故答案为：（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2；（2）结论仍然成立．理由：如图2中，过点F作FH⊥CD于点H．这个几何图形的面积＝正方形BCHF的面积+正方形ETHD的面积+2个直角三角形的面积＝正方形ABJE的面积+2个正方形的面积，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2．12．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【解答】证明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．13．（2022春•玉山县月考）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．（1）如图1所示，是小华制作的一个“赵爽弦图”纸板，其直角三角形的短直角边BC的长为1．若中间小正方形黑色的面积占总面积的，求直角三角形的长直角边AC的长；（2）小华将刚刚制作的“赵爽弦图”纸板中的四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，求这个风车的周长．【解答】解：（1）如图，设大正方形面积为5x2，∴AB＝x，∵小正方形的面积占总面积的，∴小正方形面积为x2，∴CD＝x，∵四个直角三角形全等，∴AD＝BC＝1，∴AC＝AD+CD＝x+1，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（x+1）2+12＝（x）2，解得：x＝﹣（舍）或x＝1，∴AC＝x+1＝1+1＝2；（2）如图，∵四个直角三角形中长直角边分别向外延长一倍，∴AE＝AC＝2，∴CE＝AC+AE＝4，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，这个风车的周长为：4×（AE+BE）＝8+4．14．（2022秋•榕城区期中）知识探究：如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体的关系完成第（1）（2）题．请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示：图2中正方形ABCD的面积：（m﹣n）2+2mn．图3中正方形ABCD的面积：（m+n）2﹣2mn．（2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．．知识应用：（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值．【解答】解：（1）图2中，正方形ABCD面积为AB2，由图1得AB2＝m2+n2，∴由图中正方形EFGH面积加上四个直角三角形面积等于正方形ABCD的面积可得：m2+n2＝（m﹣n）2+2mn；图3中正方形ABCD的面积为AB2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn．故答案为：（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn．（2）∵图2中正方形EFGH的面积为（m﹣n）2，而S△ABG＝S△DAF＝S△CDE＝S△BCH＝．∴图2中正方形ABCD的面积＝（m﹣n）2+4×＝（m﹣n）2+2mn．又∵图3中正方形ABCD的面积＝（m+n）2﹣2mn，图2与图3中正方形ABCD的边长都是图1中直角三角形的斜边，∴图1中正方形ABCD的面积＝图2中正方形ABCD的面积．故（m﹣n）2+2mn＝（m+n）2﹣2mn．∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．（3）由（1）可得：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝25﹣24＝1；，∴，又a＞0，∴．15．（2022春•潍坊期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已