专题04一元二次方程的应用(考点剖析)-2018-2019学年浙江省八年级数学下学期期末必考点复习(浙教版)(原卷版+解析)2

专题04一元二次方程的应用【考点剖析】1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．3、列一元二次方程解应用题的步骤1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．一元二次方程的应用【典例】例1．如图，一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为96m2？例2．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？例3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？例4．我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【巩固练习】1．如图，学校准备修建一个邻边不相等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边用栅栏围成，栅栏的总长是12m，若矩形的面积为16m2，求AB的长．（可利用的围墙长度为9m）2．如图，某农场要建个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长10m，另外三边用木栏围着，木栏长24m．（1）若养鸡场面积为64m2，求鸡场靠墙的一边长；（2）如果在墙边增加栏杆，其他三边仍然使用栏杆，养鸡场面积能达到60m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．3．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2014年起逐月增加，据统计，2014年该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）求1月到3月自行车销量的月平均增长率；（2）若按照（1）中自行车销量的增长速度，问该商城4月份能卖出多少辆自行车？4．某香蕉经营户以4元/kg的价格购进一批香蕉，以6元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为了尽快售罄，该经营户决定降价促销，经调查发现，这种香蕉每降价0.1元/kg，每天可多售出50kg．另外，经营期间每天还需支出固定成本50元．该经营户要想每天盈利650元，应将每千克香蕉的售价降低多少元？5．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？7．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.5亿元？8．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．（1）求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；（2）为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？9．如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．（1）点P到点C时，t＝______；当点Q到终点时，PC的长度为______；（2）用含t的代数式表示PD的长；（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．专题04一元二次方程的应用【考点剖析】1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．3、列一元二次方程解应用题的步骤1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．一元二次方程的应用【典例】例1．如图，一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为96m2？【答案】见解析【解析】解：设鸭舍垂直于住房墙的一边长为xm，则鸭舍的另一边长为（28﹣2x）m，依题意，得x（28﹣2x）＝96，化简，得x2﹣14x+48＝0，解这个方程，得x1＝6，x2＝8，当x＝6时，28﹣2x＝16＞13（舍去），当x＝8时，28﹣2x＝12＜13，答：所建矩形鸭舍的长为12m，宽为8m．【点睛】设鸭舍垂直于住房墙的一边长为xm，则鸭舍的另一边长为（28﹣2x）m，根据“一农户要建一个矩形鸭舍，鸭舍的一边利用长为13m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围矩形鸭舍的长、宽分别为多少时，鸭舍面积为96m2”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．例2．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛．共要比赛90场．共有多少个队参加比赛？【答案】见解析【解析】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2x（x﹣1）＝90，整理得：x2﹣x﹣90＝0，解得：x＝10或x＝﹣9（舍去）．故共有10个队参加比赛．【点睛】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元一次方程是解题的关键．例3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）如果多种5棵橙子树，计算每棵橙子树的产量；（2）如果果园橙子的总产量要达到60375个，考虑到既要成本低，又要保证树与树间的距离不能过密，那么应该多种多少棵橙子树；（3）增种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？最多为多少？【答案】见解析【解析】解：（1）600﹣5×5＝600﹣25＝575（棵）．答：每棵橙子树的产量是575棵；（2）设应该多种x棵橙子树，依题意有（100+x）（600﹣5x）＝60375，解得x1＝5，x2＝15（不合题意舍去）．答：应该多种5棵橙子树；（3）设增种m棵树，果园橙子的总产量为（100+m）（600﹣5m）＝﹣5（m﹣10）2+60500，故当增种10棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多，最多为60500个．【点睛】（1）先求出多种5棵橙子树，平均每棵树少结橙子的个数，再用600减去平均每棵树少结橙子的个数即为所求；（2）可设应该多种x棵橙子树，根据等量关系：果园橙子的总产量要达到60375个列出方程求解即可；（3）根据题意设增种m棵树，就可求出每棵树的产量，然后求出总产量，再配方即可求解．此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意配方法的运用．例4．我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元．试问哪种方案更优惠？优惠多少元？（不考虑其他因素）【答案】见解析【解析】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，根据题意得：15000（1﹣x）2＝12150，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次下调的百分率为10%，（2）方案①购房优惠：12150×100×（1﹣0.98）＝24300，方案②可优惠：250×100＝25000，25000﹣24300＝700，答：选择方案②更优惠，优惠700元．【点睛】（1）设平均每次下调的百分率为x，根据“我市某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，对价格经过两次下调后，决定以每平方米12150元的均价开盘销售”，列出关于x的一元二次方程，解之即可，（2）根据“某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米250元”分别计算方案①和方案②优惠的价格，比较后即可得到答案．本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：①正确找出等量关系，列出一元二次方程，②正确根据优惠政策列式计算．例5．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？【答案】见解析【解析】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有（6﹣x）•2x＝8，解得x1＝2，x2＝4，经检验，x1，x2均符合题意．故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有△ABC的面积6×8＝24，（6﹣y）•2y＝12，y2﹣6y+12＝0，∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），设经过m秒，依题意有（6﹣m）（8﹣2m）＝1，m2﹣10m+23＝0，解得m1＝5，m2＝5，经检验，m1＝5不符合题意，舍去，∴m＝5；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），设经过n秒，依题意有（6﹣n）（2n﹣8）＝1，n2﹣10n+25＝0，解得n1＝n2＝5，经检验，n＝5符合题意．③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），设经过k秒，依题意有（k﹣6）（2k﹣8）＝1，k2﹣10k+23＝0，解得k1＝5，k2＝5，经检验，k1＝5不符合题意，舍去，∴k＝5；综上所述，经过（5）秒，5秒，（5）秒后，△PBQ的面积为1cm2．【点睛】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．【巩固练习】1．如图，学校准备修建一个邻边不相等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边用栅栏围成，栅栏的总长是12m，若矩形的面积为16m2，求AB的长．（可利用的围墙长度为9m）【答案】见解析【解析】解：设AB的长为xm，则BC的长为（12﹣2x）m，根据题意得：x（12﹣2x）＝16，解得：x1＝2，x2＝4，当x＝2时，12﹣2×2＝8，当x＝4时，12﹣2×4＝4（舍去），答：AB的长为2m．2．如图，某农场要建个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长10m，另外三边用木栏围着，木栏长24m．（1）若养鸡场面积为64m2，求鸡场靠墙的一边长；（2）如果在墙边增加栏杆，其他三边仍然使用栏杆，养鸡场面积能达到60m2吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）设鸡场靠墙的一边长为xm，依题意有x（24﹣2x）＝64，解得x1＝4，x2＝8．∵24﹣2x≤10，即x≥7，∴x＝8．故鸡场靠墙的一边长为8m；（2）设用栏杆增加的墙的长度为am，依题意有（10+a）60，解得a1＝2，a2＝﹣5（舍去）．∴该鸡场长为10+2＝12m，宽为60÷12＝5m．故该鸡场长为12m，宽为5m．3．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2014年起逐月增加，据统计，2014年该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．（1）求1月到3月自行车销量的月平均增长率；（2）若按照（1）中自行车销量的增长速度，问该商城4月份能卖出多少辆自行车？【答案】见解析【解析】解：（1）设1月到3月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意列方程：64（1+x）2＝100，解得x1＝﹣225%（不合题意，舍去），x2＝25%，答：1月到3月自行车销量的月平均增长率为25%；（2）100×（1+25%）＝125（辆）．答：该商城4月份卖出125辆自行车．4．某香蕉经营户以4元/kg的价格购进一批香蕉，以6元/kg的价格出售，每天可售出200kg．为了尽快售罄，该经营户决定降价促销，经调查发现，这种香蕉每降价0.1元/kg，每天可多售出50kg．另外，经营期间每天还需支出固定成本50元．该经营户要想每天盈利650元，应将每千克香蕉的售价降低多少元？【答案】见解析【解析】解：设应将每千克香蕉的售价降低x元，依题意有（6﹣4﹣x）（200+500x）﹣50＝650，解得x＝1，x2因为要尽快售罄，所以x＝1．答：应将每千克香蕉的售价降低1元．5．某商场将进货价为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月能售出600个，经调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销量就减少10个，市场规定此台灯售价不得超过60元，为了实现销售这种台灯平均每月10000元的销售利润，售价应定为多少元？这时售出台灯多少个？【答案】见解析【解析】解：设售价上涨x元，则销量减少10x个，根据题意得：（600﹣10x）（40﹣30+x）＝10000，整理，得：x2﹣50x+400＝0，解得x1＝10，x2＝40，当x＝10时，40+x＝50符合题意，当x＝40时，40+x＝80＞60不合题意舍去．售价应定为50元，600﹣10×10＝500（个），这时售出台灯500个，答：每个台灯售价应定为50元，这时售出台灯500个．6．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？【答案】见解析【解析】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有x+1+（x+1）x＝81，解得x1＝8，x2＝﹣10（不符合题意舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．（2）8×81＝648（人）．答：第三轮将又有648人被传染人．7．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.5亿元？【答案】见解析【解析】解：（1）设年利润平均增长率为x，得：2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：这两年该企业年利润平均增长率为20%，（2）2.88（1+20%）＝3.456，3.456＜3.5，答：该企业2018年的利润不能超过3.5亿元．8．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希