专题04等腰三角形的判定(原卷版+解析)

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04等腰三角形的判定考试时间：120分钟试卷满分：100分姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（）A． B．C． D．2．（2分）（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个3．（2分）（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2分）（2021八上·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①5．（2分）（2021八上·济宁月考）已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④6．（2分）（2021八上·中山期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．48．（2分）（2020八上·温州期中）如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个9．（2分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形10．（2分）（2021八上·桐梓期末）如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（）①的面积是的面积的一半；②；③；④.A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④评卷人得分二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）11．（2分）（2021八上·句容期末）如图，平分交于点E，若，则.12．（2分）（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有个．13．（2分）（2021八上·冠县期中）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=时，△AOP为等腰三角形．14．（2分）（2021八上·下城期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为.15．（2分）（2021八上·华容期末）如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为.16．（2分）（2020八上·柯桥月考）如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，当∠OAP=时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．17．（2分）如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若，，，则△AMN的周长为.18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是的三边，且，则的形状是．19．（2分）（2019八上·长安月考）如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=s时，△POQ是等腰三角形.评卷人得分三．解答题（共7小题，满分62分）20．（5分）（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.21．（10分）（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD（1）（3分）求证：△ABD≌△BCE；（2）（3分）求证：AC是线段ED的垂直平分线．（3）（4分）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．22．（10分）（2019八上·淮南期中）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.（1）（3分）图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.（2）（3分）如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?（3）（4分）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.23．（7分）（2019八上·南平期中）在中，，点为射线上一个动点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接．（1）（1分）如图①，若，则按边分类：是三角形，并证明；（2）（6分）若．①如图②，当点在线段上移动时，判断的形状并证明；②当点在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．24．（10分）（2019八上·桐梓期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E.（1）（3分）若DE＝CE，求证：AB∥DE；（2）（3分）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE；（3）（4分）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由；25．（8分）（2021八上·厦门期末）如图，已知锐角∠APB，M是边PB上一点，设∠APB=α.（1）（4分）尺规作图：在边PA上作点N，使得∠ANM=2α；（不写作法，保留作图痕迹）（2）（4分）在（1）的条件下，若边PA上存在点Q，使得∠QMB=3α.①证明△MNQ是等腰三角形；②直接写出α的取值范围.26．（12分）（2021八上·武昌期末）如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于D点.（1）（4分）求证：平分；（2）（4分）如图2，过F作于点P，连接，若，，求证：；（3）（4分）如图3，若，求证：.2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题04等腰三角形的判定考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022八上·西湖期末）如图，在中，运用尺规作图的方法在BC边上取一点P，使，下列作法正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】解：由作图可知，选项C中，∠C＝∠PAC，∴PA＝PC，∴PA＋PB＝PC＋PB＝BC.故答案为：C.【思路引导】根据作图步骤可得选项A中∠BAP=∠CAP，无法判断PA+PB=BC；选项B中AC=BC，则AC+BP=BC；选项C中∠C=∠PAC，则PA=PC，PA+PB=BC；选项D中BP=PC，据此判断.2．（2分）（2021八上·河东期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【完整解答】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故答案为：C．

【思路引导】根据等腰三角形的判定方法求解即可。3．（2分）（2021八上·昌平期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【完整解答】解：以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，交直线BC于两个点，然后作AB的垂直平分线交直线BC于点，如图所示：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵，∴是等边三角形，∴点重合，∴符合条件的点P有2个；故答案为：B．【思路引导】先求出，再求出是等边三角形，最后求解即可。4．（2分）（2021八上·密山期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF．其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①【答案】A【完整解答】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，∴DB=DF，EF=EC，即△BDF和△CEF都是等腰三角形；故①符合题意；∴DE=DF+EF=BD+CE，故②符合题意；∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；故③符合题意；∵∠ABC不一定等于∠ACB，∴∠FBC不一定等于∠FCB，∴BF与CF不一定相等，故④不符合题意．故答案为：A．【思路引导】利用角平分线的性质，等腰三角形的性质等对每个结论一一判断即可。5．（2分）（2021八上·济宁月考）已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，与相交于点，给出下面四个条件：①∠1＝∠2；②AD＝BE；③④DF＝EF，从这四个条件中选取两个，不能判定是等腰三角形的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④【答案】C【完整解答】A.①∠1＝∠2；②AD＝BE，又（AAS）即是等腰三角形故该选项不符合题意；B.①∠1＝∠2，④DF＝EF，又（AAS）即是等腰三角形；故该选项不符合题意；C.②AD＝BE；③不能证明，不能判定，故不能判定是等腰三角形；该选项符合题意；D.③④DF＝EF，又（SAS）即是等腰三角形；故该选项不符合题意；故答案为：C．

【思路引导】根据等腰三角形的判定方法，再结合全等三角形的判定逐项判断即可。6．（2分）（2021八上·中山期末）如图，已知直角三角形ABC中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】B【完整解答】解：如图，当时，为等腰三角形，当时，为等腰三角形，当时，而所以是等边三角形，当时，为等腰三角形，符合条件的点P有5个，故答案为：B

【思路引导】分三种情况：AP=AB，BP=AB或BP=AP，据此分别求解即可.7．（2分）（2021八上·江津期中）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE＝AB+AE；③∠BDC＝∠BAC；④∠DAF＝∠CBD.其中正确的结论有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【完整解答】解：∵AD平分，DE⊥AC，DF⊥AB，∴，在和中，，∴，故①正确；∴，在和中，，∴，∴，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；∵AD平分，∴，∵，∴，∵，，∠BDC＝∠BAC，∴，∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；综上所述，正确的有①②③④；故答案为：D.【思路引导】由角平分线的性质可得DE=DF，根据HL证明，可得CE=AF，，根据HL证明，可得，从而得出，据此判断①②；在△AOB和△DOC中，，∠AOB=∠DOC，可得∠BDC＝∠BAC，据此判断③；利用三角形的内角和可求∠DAF+∠DAE=∠DBC+∠DCB

，从而得出∠DAF＝∠CBD，据此判断④.8．（2分）（2020八上·温州期中）如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以△ABC的一条边为边画等腰三角形，使它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则这样的点有（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【答案】B【完整解答】解：如图，

共有6种情况.

故答案为：B.

【思路引导】①以B为圆心，以BC为半径画弧交AC于D点，△BCD为所求；②以A为圆心，以AC为半径画弧交AC于点E，△ACE为所求；③以C为圆心，以BC为半径画弧交AC于点F，△BCF为所求；④作AC的垂直平分线交AB于点H，△AHC为所求；⑤作AB的垂直平分线交AC于点G，△AGB为所求；⑥作BC的垂直平分线交AB于点I，△BGI为所求.9．（2分）已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【思路引导】根据轴对称的性质可知：OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．【解答】解：根据轴对称的性质可知，OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，∴△P1OP2是等边三角形．故选：D．10．（2分）（2021八上·桐梓期末）如图，在中，，是边上的高，是边的中线，是的角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（）①的面积是的面积的一半；②；③；④.A．①②③④ B．①② C．①③ D．①④【答案】C【完整解答】解：∵BE是AC边的中线，∴AE=CEAC，∵△ABE的面积×AE×AB，△ABC的面积×AC×AB，∴△ABE的面积等于△ABC的面积的一半，故①正确；根据已知不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出HB=HC，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC=∠ADC=90°，∠ACF=∠FCB，∴∠AFG=90°-∠ACF，∠AGF=∠DGC=90°-∠FCB，∴∠AFG=∠AGF，∴AF=AG，故③正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC+∠ACB=90°，∠FAG+∠DAC=90°，∴∠FAG=∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF=∠FCB，∠ACB=2∠FCB，∴∠FAG=2∠FCB，故④错误；即正确的为①③，故答案为：C.【思路引导】根据等底同高的三角形的面积相等进行判断①，根据等腰三角形的判定判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG=∠AGF，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据三角形的内角和定理求出∠FAG=∠ACB，再判断④即可.二．填空题（共9小题，满分2分，每小题18分）11．（2分）（2021八上·句容期末）如图，平分交于点E，若，则.【答案】【完整解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD，∵DE∥BC，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵DE=，∴EB=.故答案为：.【思路引导】根据角平分线的概念可得∠CBD=∠ABD，根据平行线的性质可得∠BDE=∠CBD，推出∠BDE=∠DBE，则BE=DE，据此解答.12．（2分）（2021八上·吉林期末）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法正确的有个．【答案】3【完整解答】解：第一个图以C为圆心，AC长为半径，∴为等腰三角形，符合题意；第二个图为作的角平分线，无法得到为等腰三角形，不符合题意；第三个图以B为圆心，AB长为半径，∴为等腰三角形，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，符合题意；第四个图为作线段AC的垂直平分线，可得，∴为等腰三角形，符合题意；综上可得：有三个图使得为等腰三角形，故答案为：3．

【思路引导】根据等腰三角形的判定定理判断各图形即可得出答案。13．（2分）（2021八上·冠县期中）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=时，△AOP为等腰三角形．【答案】45°或67.5°或90°【完整解答】解：若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况，①当AO=AP时，则有∠O=∠APO=45°，∴∠A=90°；②当AO=OP时，则∠A=∠APO==67.5°；③当OP=AP时，则∠A=∠AON=45°，综上可知∠A为45°或67.5°或90°，故答案为45°或67.5°或90°．【思路引导】若△AOP为等腰三角形则有AO=AP、AO=OP和OP=AP三种情况：①当AO=AP时，②当AO=OP时，③当OP=AP时，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得∠A的度数。14．（2分）（2021八上·下城期中）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为.【答案】3cm【完整解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.故答案为：3cm.【思路引导】由角平分线的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，则BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，据此计算.15．（2分）（2021八上·华容期末）如图，在中，，点在延长线上，于点，交于点，若，，则的长度为.【答案】4【完整解答】证明：在△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵EP⊥BC，∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，∴∠E=∠BFP，又∵∠BFP=∠AFE，∴∠E=∠AFE，∴AF=AE=3，∴△AEF是等腰三角形.又∵CE=10，∴CA=AB=7，∴BF=AB-AF=7-3=4，故答案为：4.【思路引导】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据等角的余角相等得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案.16．（2分）（2020八上·柯桥月考）如图，已知点P是射线BM上一动点（P不与B重合），∠AOB=30°，∠ABM=60°，当∠OAP=时，以A、O、B中的其中两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形．【答案】75°或120°或90°【完整解答】解：如图，

∵∠ABM=∠AOB+∠OAB，

∴∠OAB=30°，

①当AOP1是等腰三角形时，

∵OA=OP1，

∵∠AOB=30°，

∴∠OAP1=（180°-30°）÷2=75°；

②当△ABP2是等腰三角形时，

∵∠ABM=60°，

∴△ABP2是等边三角形，

∴∠BAP2=60°，

∴∠OAP2=∠OAB+∠BAP2=90°；

③当△OAP3是等腰三角形，

∵OA=AP3，

∴∠AOB=∠AP3O，

∴∠OAP3=180°-2∠A=120°.

综上，∠OAP为75°或120°或90°

故答案为：75°或120°或90°.

【思路引导】分三种情况讨论，即当OA=OP1，AB=AP2，或OA=AP3，然后根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理即可求出∠OAP的度数.17．（2分）如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若，，，则△AMN的周长为.【答案】12【完整解答】解：∵O是△ABC角平分线的交点∴∠OBC=∠MBO,∠OCB=∠NCO∵MN∥BC∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB∴∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO,∴MO=MB,NO=NC,∵△AMN的周长=AN+AM+MN=AN+AM+MB+NC=AB+AC又∵，，∴△AMN的周长=5+7=12故答案为12.【思路引导】根据平行线的性质以及角平分线的性质，可得出∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO,进而得出MO=MB,NO=NC,△AMN的周长可以表示为AB+AC，即可解决问题.18．（2分）（2020八上·曲阜期末）已知a，b，c是的三边，且，则的形状是．【答案】等腰三角形【完整解答】∵，∴，即：，∵，，是的三边，∴，，都是正数，∴与都为正数，∵，∴，∴，∴△ABC为等腰三角形，故答案为：等腰三角形.【思路引导】将等式两边同时加上得，然后将等式两边因式分解进一步分析即可.19．（2分）（2019八上·长安月考）如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=s时，△POQ是等腰三角形.【答案】或10【完整解答】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，解得当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，解得故答案为：或10【思路引导】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.三．解答题（共7小题，满分62分）20．（5分）（2021八上·谷城期中）如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点.试探索BM和BN的关系，并证明你的结论.【答案】解：BM＝BN，BM⊥BN.理由如下：在△ABE和△DBC中，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴∠BAE＝∠BDC，∴AE＝CD，∵M、N分别是AE、CD的中点，∴AM＝DN，在△ABM和△DBN中，，∴△BAM≌△BDN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，∵∠ABD＝∠DBC，∠ABD+∠DBC＝180°∴∠ABD＝∠ABM+∠MBE＝90°，∴∠MBE+∠DBN＝90°，即：BM⊥BN，∴BM＝BN，BM⊥BN.【思路引导】易证△ABE≌△DBC，得到∠BAE＝∠BDC，推出AE＝CD，根据线段中点的概念可得AM＝DN，证明△BAM≌△BDN，得到BM＝BN，∠ABM＝∠DBN，推出∠MBE+∠DBN＝90°，据此解答.21．（10分）（2021八上·平原月考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD（1）（3分）求证：△ABD≌△BCE；（2）（3分）求证：AC是线段ED的垂直平分线．（3）（4分）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△BAD和△CBE中，，∴△BAD≌△CBE（ASA），（2）证明：∵E是AB中点，∴EB＝EA，∵AD＝BE，∴AE＝AD，∵AD∥BC，∴∠7＝∠ACB＝45°，∵∠6＝45°，∴∠6＝∠7，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE，且EM＝DM，即AC是线段ED的垂直平分线；（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．理由如下：∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，∴CD＝BD．∴△DBC是等腰三角形．【思路引导】（1）利用ASA证明三角形全等即可；

（2）先求出EB＝EA，再求出EM＝DM，最后证明求解即可；

（3）先求出CD＝BD，再求解即可。22．（10分）（2019八上·淮南期中）如图①，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F.（1）（3分）图①中有几个等腰三角形?猜想:EF与BE、CF之间有怎样的关系.（2）（3分）如图②,若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗?（3）（4分）如图③，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACO=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【思路引导】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．23．（7分）（2019八上·南平期中）在中，，点为射线上一个动点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，，过点作，交直线于点，连接．（1）（1分）如图①，若，则按边分类：是三角形，并证明；（2）（6分）若．①如图②，当点在线段上移动时，判断的形状并证明；②当点在线段的延长线上移动时，是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．【答案】（1）等边（2）①△CEF为等腰三角形，证明：如图2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，∴△EAC≌△DAB，∴∠ECA=∠B，∴∠ACE=∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFC=∠ACB，∴∠EFC=∠ACE，∴CE=FE，∴△EFC为等腰三角形；②如图③，△EFC为等腰三角形．当点D在BC延长线上时，以AD为一边在AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线EF，交直线AC的延长线于点F，连接DE．证明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，∴△EAC≌△DAB，∴∠ECA=∠DBA，∴∠ECF=∠ABC，∵EF∥BC，∴∠AFE=∠ACB，又∵∠ABC=∠ACB，∴∠AFE=∠ECF，∴EC=EF，∴△EFC为等腰三角形．【完整解答】解：（1）如图1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，∴△DAB≌△EAC，∴∠ECA=∠B=60°，∵EF∥BC，∴∠EFC=∠ACB=60°，∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，∴△EFC为等边三角形，故答案为：等边；【思路引导】（1）根据题意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通过求证△EAC≌△DAB，结合平行线的性质，即可推出△EFC为等边三角形；（2）①根据（1）的推理方法，即可推出△EFC为等腰三角形；②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证△EAC≌△DAB，推出等量关系，即可推出△EFC为等腰三角形．24．（10分）（2019八上·桐梓期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E.（1）（3分）若DE＝CE，求证：AB∥DE；（2）（3分）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCE；（3）（4分）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由；【答案】（1）证明：∵DE＝CE，∠C＝50°，∴∠C＝∠EDC＝50°.∵∠B＝∠C＝50°，∴∠B＝∠EDC，∴AB∥DE（2）证明：∵AB＝AC＝2，DC＝2，∴AB＝DC，∵∠B＝∠C＝50°，∠ADE＝50°，∴∠BDA+∠CDE＝130°，∠CED+∠CDE＝130°，∴∠BDA＝∠CED，∴△ABD≌△DCE（AAS）（3）解：可以.有以下三种可能：①由（1）得：△ABD≌△DCE，得AD＝DE，则有∠DAE＝∠DEA＝65°.∴∠BDA＝∠CED＝65°+50°＝115°；②由（2）得∠BDA＝∠CED.∵点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），∴AD≠AE；③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝50°，∴∠BDA＝∠CED＝50°+50°＝100°.故答案为：(1)见解析；(2)见解析；(3)可以，115°或100°，理由见解析.【思路引导】（1）根据等边对等角得出∠C＝∠EDC＝50°，又∠B＝∠C＝50°，故∠B＝∠EDC，根据同位角相等，二直线平行得出AB∥DE；

（2）根据平角的定义及三角形的内角和得出∠BDA+∠CDE＝130°=∠CED+∠CDE，故∠BDA＝∠CED，根据等量代换得出AB=DC，又∠B＝∠C，故利用AAS判