2025年高考数学一轮复习：函数的概念及其表示（十六大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲函数的概念及其表示

目录

01考情透视•目标导航...........................................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................................4

知识点1：函数的概念...........................................................................4

知识点2：函数的三要素.........................................................................4

知识点3：函数的表示法.........................................................................5

知识点4：分段函数.............................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：函数的概念.............................................................................6

题型二：同一函数的判断........................................................................7

题型三：给出函数解析式求解定义域..............................................................8

题型四：抽象函数定义域........................................................................9

题型五：函数定义域的综合应用..................................................................9

题型六：待定系数法求解析式...................................................................10

题型七：换元法求解析式.......................................................................U

题型八：方程组消元法求解析式.................................................................12

题型九：赋值法求解析式.......................................................................12

题型十：求值域的7个基本方法..................................................................13

题型十一：数形结合求值域.....................................................................16

题型十二：值域与求参问题.....................................................................16

题型十三：判别式法求值域.....................................................................17

题型十四：三角换元法求值域...................................................................18

题型十五：分段函数求值、求参数问题...........................................................18

题型十六：分段函数与方程、不等式.............................................................19

04真题练习•命题洞见..........................................................................20

05课本典例•高考素材..........................................................................20

06易错分析•答题模板..........................................................................22

易错点：错求抽象函数的定义面.................................................................22

答题模板：求抽象函数的定义域.................................................................22

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

(1)了解函数的含义，会

求简单函数的定义域和值域.2023年北京卷第15题，5

高考对函数的概念及其表示的考查相对

(2)在实际情景中，会根分

稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化

据不同的需要选择恰当的方法2022年浙江卷第14题，5

不大.高考对本节的考查不会有大的变化，

(如图象法、列表法、解析法)分

仍将以分段函数、定义域、值域及最值为

表示函数.2021年浙江卷第12题，5

主，综合考查不等式与函数的性质.

(3)了解简单的分段函分

数，并会简单的应用.

复习目标:

1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素

2、会求常见函数的定义域和值域

3、掌握求函数解析式的方法

一般地，给定非空数集按照某个对应法则/，使得力中任意元素.v,

函数的概念都有5中唯一确定的j，与之对应，那么从集合4到集合5的这个对应，

叫做从集合力到集合5的一个函数.

函数的三要素：定义域、对应关系、值域

函数的三要素

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全

一致，则这两个函数为同一个函数

函数的概念及其表示

解析法

函数的表示法图象法

列表法

若函数在其定义域的不同于集上，因对应关系不同而分别用几

个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数

者占突曲・题理探密

知识固本

知识点1:函数的概念

(1)■般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f,使得A中任意元素x,都有6中唯一

确定的y与之对应，那么从集合A到集合6的这个对应，叫做从集合A到集合6的一个函数.记作：

Xfy=/(x),xeA.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合｛用="x),xeA｝叫做值域，记为C.

(2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.

【诊断自测】下列图象中，y不是X的函数的是()

知识点2：函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数.

【诊断自测】下列四组函数：©/(^)=x,g(x)=7?;②”尤)=x,g(x)=(网\③

/(x)=x2-2%+l,g(r)=r2-2z+l；④/(x)=l,g(x)=x°；其中表示同一函数的是()

A.②④B.②③C.①③D.③④

知识点3：函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

2

【诊断自测】已知函数〃17）=V1_-V（XWO）,则〃/X\）=（）

11

-l(x^0)-1(x^1)

A.(xT『B.

44

-1(lw0)-1(x^1)

C.(1)2D.

知识点4：分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分

段函数.

【诊断自测】（2024•吉林•模拟预测）已知若则实数。的值为（）

——,x>1.

I2

A.1B.4C.1或4D.2

解题方法总结

1、基本的函数定义域限制

求解函数的定义域应注意：

（1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：

（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；

（4）零次幕或负指数次幕的底数不为零；

（5）三角函数中的正切y=tanx的定义域是｛x|xe氏且尤wfct+/上ez1；

（6）已知/（x）的定义域求解/[g（x）]的定义域，或己知/[g（明的定义域求“X）的定义域，遵循

两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则J下，括号内式子的范围相同;

（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

2、基本初等函数的值域

（1）y=Ax+O/wO）的值域是尺.

（2）丫=利2+区+。（.工0）的值域是：当。＞0时，值域为{y|y14a；"}；当。＜（）时，值域为

I4ac-b2、

心fF}.

(3)>=4(4/0)的值域是{y|ywO}.

(4)y=a，(a>0且"1)的值域是(0,+8).

(5)y=logax(a>0且aW1)的值域是R.

题型一：函数的概念

【典例1-1]下列对应是从集合A到集合B的函数的是()

A.A=N,5=N,/:%—>=(%?)2B.A=N,5=N,/:xfy=±«

C.A=N,5=Q,/:xfy=」-D.A=R,B={y\y>0],f:x^y=\j(\

【典例1・2】已知/（可是定义在有限实数集A上的函数，且IGA,若函数〃力的图象绕原点逆时针

旋转30后与原图象重合，则了⑴的值不可能是（）

A.0B.BC.BD.73

32

【方法技巧】

利用函数概念判断：（1）A,B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个

元素与之对应，即“多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素.

【变式1-1］（2024•高三•上海虹口•期中）若函数y=/（x）的图像绕原点逆时针旋转!■后与原图像

重合，则在以下各项中，y=/（x）的定义域不可能是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}

C.[-兀，兀]D.R

【变式1-2]将函数y=gsinx+«xe的图象绕着原点沿逆时针方向旋转d角得到曲线「，已知

曲线「始终保持为函数图象，则tan。的最大值为()

【变式1-3]存在定义域为R的函数/(尤)，满足对任意xeR,使得下列等式成立的是(

A./(x2)=x3B./(cosx)=x

C.『(尤?+尤)=|尤|D./(|x|)=x2+l

题型二：同一函数的判断

【典例2-1】下列各组函数相等的是(

A.f(x)=x2,g(x)=(6『B.f(x)=x-1,g(x)=i-l

D-小)=卬g(x)弋：;

C.=g(x)=x°

【典例2-2](多选题)下列各项不能表示同一个函数的是()

A.=与g(x)=x+lB.仆)=值_1与g(x)=xT

x-I

D./(x)=l与g(x)="：

【方法技巧】

当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数.

【变式2-1](多选题)下列各组函数表示的是不同函数的是()

A./'(x)=与g(x)=x•

B.y(x)=|x|与g(x)=-7?

C.y(x)=x+l^g(x)=x+x°

D./(%)=«.Jx+1与g(x)=E+x

【变式2-2]以下四组函数中，表示同一个函数的是()

A./(x)=龙与g(x)=G'

B./(x)=Jl+x-Jl-x与g(x)=71-x2

C.y=x。与y=l

D./(x)=Jx+1-Jx-1与g(x)=&_]

/W

【变式2-3](多选题)(2024•高三•浙江金华•期末)已知函数g(x)=/(e'),/7(x)=e.()

A.若〃尤)=0,则g(x)=/z(x)=。

B.若/(尤)=国，贝Ug(x)=/z(x)

C.对于g(x)=/z(x),若“尤)=*。，则a=l

D.对于g(x)=〃(x),若/(x)=log"X(a>0,aHl),贝！|a=e

题型三：给出函数解析式求解定义域

【典例3-1](2024•北京通州•二模)已知函数〃x)=£+lg(x_2)的定义域为.

【典例3-2】已知等腰三角形的周长为40cm,底边长y(cm)是腰长x(由)的函数，则函数的定义域为(

A.(10,20)B.(0,10)C.(5,10)D.[5,10)

【方法技巧】

对求函数定义域问题的思路是：

(1)先列出使式子,(X)有意义的不等式或不等式组；

(2)解不等式组；

(3)将解集写成集合或区间的形式.

【变式3-1】函数/'(x)=ln(x+l)+7i二工的定义域是.

【变式3-21(2024•北京怀柔•模拟预测)函数〃力=坨上三的定义域是

【变式3-3](2024•北京平谷•模拟预测)函数〃尤)=++ln(l-x)的定义域是

题型四：抽象函数定义域

【典例4-1】已知函数产/[1"+1]的定义域是[2,4],则函数g（无）.的定义域为（）

2yIn（x-

A.（2,3）B.（2,3]

C.（2,3）_（3,6]D.（2,3）_（3,4]

【典例4-2】已知/（尤）的定义域为[L3],则g（无）=华二3的定义域为（）

2.X-3

35

C.D.

2'3

【方法技巧】

1、抽象函数的定义域求法：（1）若/（尤）的定义域为（。，3，求/Ig（x）]中a<g（x）<6的解x的范围，

即为/[g（x）]的定义域.（2）已知/[g（x）]的定义域，求/（无）的定义域，则用换元法求解.

2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先

求出各个函数的定义域，再取交集.

【变式4-1]（2024•高三•河北邢台•期末）若函数/（3尤-2）的定义域为[-2,3],则函数/（2x+3）的

定义域为.

【变式4-2]已知函数了（炉）的定义域为（1,2）,求/（2x+l）的定义域.

【变式4-3]⑴已知函数/（x+2）的定义域为[1,3],则函数/⑴的定义域为

（2）已知函数/（x+1）的定义域为[3,8],则函数/（f）的定义域为一.

题型五：函数定义域的综合应用

【典例5・1】已知函数/（力=^^—；的定义域为R,则实数〃的取值范围为（）

ax-2ax+l

A.“卜〃弓

B.{daWO,或〃>1}

C.{a[O<a<l}D.{4a<0,或a21}

2『+i+a

【典例若函数/。)=

5-2]In(2*3+a的定义域为R,则实数。的取值范围是()

A.(-2,+co)B.(-1,+co)C.(-2,-1)D.(-2,-l)u(-l,+oo)

【方法技巧】

对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求解，必要时对参数进行分类讨论.

Y4-1

【变式5-1](2024•高三•上海嘉定•期中)已知函数=~；的定义域为R,则实数”的

ax—2ar+l

取值范围是.

【变式5-2]若函数无)=50犬+4办+3的定义域为R，则实数。的取值范围为一.

]

【变式5-3】当时，函数/(尤)=和g(x)=1幅[2/-(2a+3)x+2]有意义,则实

v2ax-lnx

数。的取值范围是.

题型六：待定系数法求解析式

【典例6-1】一次函数在R上单调递增，且/(/(x-l))=4x+5,则〃x)=—.

【典例6-2】已知二次函数/(元)满足八0)=0,f(x-l)=f(x)+3x-5,则不等式〃x)>0的解集

为一

【方法技巧】

当已知函数的类型时，可用待定系数法求解.

【变式6-1】已知函数/(X)是一次函数，5.[/(%)]2-3/(x)=4x2-10x+4,则f(x)的解析式为

【变式6-2】已知二次函数〃x)="+6x+c(aw0),其图象过点(1,-1),且满足

〃x+2)=〃x)+4x+4,则/(x)的解析式为—.

题型七：换元法求解析式

【典例7-1】已知/0+!)=/+_1,则函数八无)=.

XX

【典例7-2】已知/(«+1)=X+2H,则〃力=()

A./(x)=x2B./(x)=x2-l(x>l)

C./(x)=x2-l(x>0)D./(x)=x2+l(x>l)

【方法技巧】

当已知表达式为/(g(x))时，可考虑配凑法或换元法.

【变式7-1】设〃尤)是定义在R+上的函数，且VaeR,/(x)=a有唯一解或无解，且对任意xeR+,

均有〃“〃耳+鼻=；,请写出一个符合条件的外)=一

【变式7-2]若“X)是定义域为(0,+8)上的单调函数，且对任意实数xe(0,+8)都有

f=1+1，其中e是自然对数的底数，则/(ln3)=()

4

A.4B.-

3

C.e+2D.—

3

【变式7-3](2024•高三•江西•期中)设/(元)是定义在R上的单调函数，若

VxeR,/(/(%)-2r)=H,则不等式/(x)<7的解集为.

【变式7-4】设是定义在R上的单调增函数，且满足"-L-x)+/(x)=-7,若对于任意非零实

数都有了f(-X)H---：-r-------X------F2=-4,贝叶(2024)=

x八)小)+3x

题型八：方程组消元法求解析式

【典例8-1】已知/⑺为奇函数，g(x)为偶函数,且满足〃x)+g(x)=e，+x,则/(x)=()

2

【典例8・2】已知/(力+2/x("0),那么〃%)=

【方法技巧】

若已知成对出现/(X),/(l)或/(元)，X)等类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一

个方程，消元的方法求出/(X).

【变式8-1](2024•高三•辽宁丹东•期中)若xe,函数/(X)满足

f(sinx)+2f(cosx)=cos2x,

【变式8-2]已知/(x)满足/(X)+2〃T)=X—5,则f(x)=—.

【变式8-3](2024•河南•模拟预测)已知函数Ax)对定义域｛Mx*0｝内的任意实数x满足

f(2x)-2f(^]=4x,则〃x)=.

题型九：赋值法求解析式

【典例9-1】已知函数的定义域为R,且f(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),/(0)=1,请写出满

足条件的一个/(%)=—(答案不唯一).

【典例%2]已知函数y=〃x),xeR,且"0)=2,

7(0T=2,7(03)=2,)(O.5(-l))=2KN*,则函数y=/(x)的一个解析式为

【方法技巧】

若已知抽象函数表达式，则常用赋值法

【变式9-1】己知函数满足/(x+2)=〃x)+l,则/⑺的解析式可以是(写出满足条件的

一个解析式即可).

【变式9-2](2024•高三•江苏扬州•开学考试)写出满足/"7)=〃”+〃丫)-2孙的函数的解

析式.

【变式9-3】对Tx,yeR,函数都满足：①〃0,y)=y+l；②/(x+l,0)=〃x,l)；③

〃x+l,y+l)=〃x,〃x+l,y))；则〃3,2023)=.

【变式M设偶函数於)满足："1)=2,且当时孙一。时，〃历7)=就叫，

贝厅(-5)=一

题型十：求值域的7个基本方法

【典例10-1]求下列函数的值域:

(I)y=3x2-x+2；

(2)y—V-x2-6x-5;

3x+l

(3)y=

x—2

(4)y=尤+4jl-x；

(5)y=x+Jl-d；

⑹V=|xT|+l%+4|；

2/—%+2

⑺,=

x2+x+1

2X2-X+1<

(8)y=2x-l[X>2)

【典例10-2】求下列函数的值域.

(Dy=«-2；

2

⑵，=X-X

尤2—X+1

(3)y=x-Jl-2x；

x?-4x+3

(4)y=

2x~-x—1

2.o

(5)y=三r=(X>1).

x-1

【方法技巧】

函数值域的求法主要有以下几种

(1)观察法：根据最基本函数值域(如VK),>0及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭

观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

(2)配方法：对于形如y=Q2+"+c(°K0)的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二

次函数的定义城求出函数的值域.

(3)图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型.

(4)基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等.

(5)换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形>=办+》+4。7的值城，可通过换元将原函

数转化为二次型函数.

(6)分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析.

(7)单调性法：先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性，再求出值域.对于形如

y=-Jax+b+4cx+d^y=ax+b+4cx+d的函数，当ac>0时可利用单调性法.

【变式10-1】求下列函数的值域.

(1)求函数y二犬+J2x+］的值域.

(2)求函数yj3+4的值域.

X2+3X+4

(3)求函数y=(JI7^+7i[7+2)(Vi=”+1)，xe[0，l]的值域.

【变式10-2］求下列函数的值域:

(1)/(X)=2X-7X-1；

7_o

(2)/(%)=Krp%£(l,3)；

心(W

【变式10-3］求下列函数的值域

3+x

(1)y=~.—

4一九

5

(2)

2%2—4-x+3

(3)y=Jl—2%—x；

_x2+4x+3

(4)yx2+x~6，

(5)y=4-13+2%一/；

(6)y=x+\Jl-2x；

(7)y=Jx-3+<5-x；

y-yj-x2-6x-5

3x+l

(9)

,1八、2x2—x+1]

(10)y=------------(x>-).

2x-l2

题型十一：数形结合求值域

【典例11-11函数y=处三的值域为

cosx-2

【典例11-2】函数y=&一2x+5+&-4X+13的值域为.

【方法技巧】

根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型.

【变式114】函数y=的值域是—.

x+2

【变式11-2］函数/•。）=2%-3-，--+6彳-8的值域是

【变式11-3］函数y=&一2x+5-&一4x+13的值域为—.

【变式11-4］函数〃x）=正已％述的值域为.

题型十二：值域与求参问题

【典例12-1］若函数〃尤）=的值域为［-2,2］,则a的值为.

【典例12-2］若函数y=，ax2+4x+i的值域为［0,+8）,贝的取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,+oo）C.［0,4］D.［4,+（»）

【方法技巧】

值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决.

【变式12-1］已知函数/⑺=4二二+a,xe|m,m的值域为(m<"),则实数。的取值范围为(

3j_

D.(一了。］

414

【变式12-2］定义min{a,6}=:若函数"x)=min{x2-3x+3,-|x-3|+3},则f(x)的最大值

3

为—；若“X)在区间［租,〃］上的值域为“2则”一m的最大值为.

x2-2x+2,x>0

【变式12-3］(2024•上海青浦•一模)己知函数y=<的值域为则实数。的取值

a八R,

x+—+3a9x<0

范围为

题型十三：判别式法求值域

【典例13-1】函数户r'X>0的值域为

x—6x+7

【典例13-2】函数〃x)=一1+xT的值域是

x+1

【方法技巧】

判别式法：把函数解析式化为关于尤的一元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，

形如J办》x+c或尸装+法+。的函数值域问题可运用判别式法(注意x的取值范围必须

按+ex+f

为实数集H).

【变式13-1】已知&6£R,<72+b2+ab=l,则匕的取值范围是.

【变式13-2］已知。>0,函数/•(>)=，《_彳2的最大值为0,则实数。的值为

【变式13-3】函数—=£一"+1的值域是_____.

\/-v-z-VIO

题型十四：三角换元法求值域

【典例14-11求函数y=无+，2无之—4x+6的值域.

【典例14-21（2024•高三•河南•期中）函数=1的值域为（）

x+2

A.12-2+B.［-C.|^2—5/3,24-5/6^D.j^—A/6,-s/sj

【方法技巧】

充分利用三角函数的有界性，求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有

界性法.

【变式14-1]（2024•上海徐汇•模拟预测）函数y=-3+3的值域为

尤+1―

题型十五：分段函数求值、求参数问题

.’1

Sin7LX,x<—

2

f\^x+^<x<2,贝l」/(2024)=()

【典例15-1]（2024•全国•模拟预测）己知函数=4

/(x-2),x>2

A.-1B.0C.D.1

【典例15-2］已知函数"尤)=［：若/(。)=6,则”=()

5x+6,x<0

A.0B.2C.-3D.2或3

【方法技巧】

根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决.

【变式15-1】(2024•全国•模拟预测)已知函数I若〃4)=2,则。的值为

A.2或-拒B.2或近c.6或—亚D.1或0

【变式15-2】(2024•全国•模拟预测)设/(%)=],若〃加)=〃m+1),贝|J/

A.14

2、+2K3

【变式15・3】(2024•江苏南通•二模)已知函数/(%)=,，则〃log29)=(

80

~9

题型十六：分段函数与方程、不等式

[%+]x>0

【典例16-1】已知函数〃x)=[一’若a[〃a)-/(-切>0,则实数。的取值范围是()

I乙人人U,

A.(2,+oo)B.[-2,0)U(0,2]

C.(-®,-2]U[2,4w)D.(-2,O)u(O,2)

x<f)i

【典例16-2】(2024•福建福州•模拟预测)已知函数〃x)=，则不等式的解集

Inx,x>0

(-co,-In2],(0,5/eJ(-oo,-ln2)

(0,Ve]