专题02实数（考点清单）

专题02讲实数（考点清单）【聚焦考点】题型一：求一个数的算术平根数和平方根题型二：利用算术平方根的非负性解题题型三：估计算术平方根的取值范围题型四：求代数式的平方根题型五：求立方根问题题型六：（算术）平方根和立方根的综合应用题型七：有理数和无理数的概念题型八：实数和数轴题型九：实数的比较大小题型十：无理数的估算题型十一：二次根式的化简求值题型十二：实数和二次根式的混合计算题型十三：实数的规律问题【题型归纳】题型一：求一个数的算术平根数和平方根【典例1】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）计算的结果是（

）A．4 B． C． D．以上都不对【详解】解：∵∴，故选∶A．【专训11】（2022上·浙江·七年级期中）16的平方根是（

）A．4 B． C． D．【详解】解：，的平方根是，故选：C．【专训12】（2023上·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列说法中正确的是（

）A．的算术平方根是 B．是的平方根C．的平方根是 D．是的负立方根【详解】解：A、，所以的算术平方根是，故该选项错误；B、是2的平方根，故该选项正确；C、的平方根是，故该选项错误；D、3是27的立方根，故该选项错误；故选B．题型二：利用算术平方根的非负性解题【典例2】（2021下·广西河池·八年级统考期末）设为实数，且，则的值是（

）A． B． C． D．【详解】解：，∵，则；，则；∴，∴，∴，故选：．【专训21】（2023下·广西贺州·八年级统考期末）已知直角三角形两边x，y满足，则第三边长为（

）A．或5 B．5 C．或 D．或5【详解】解：∵，，，∴，，∴，，①当两直角边是3，4时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：，②当3为一直角边，4为斜边时，则第三边是直角，长是．第三边长为或5，故选：D【专训22】（2023上·江西九江·八年级校考期末）已知，则的值为（

）A．2011 B．1 C． D．无法确定【详解】解：∵，∴，，解得：，，∴；故选C题型三：估计算术平方根的取值范围【典例3】（2023下·重庆南川·八年级统考期末）估计的值应该在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【详解】解：，，，故选：．【专训31】（2022上·福建泉州·八年级统考期末）如果整数a满足，则a的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【详解】解：∵7＜9＜11，∴＜3＜，∴如果整数a满足，则a的值是：3，故选：C．【专训32】（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（

）A．43 B．44 C．45 D．46【详解】解：∵，∴，∴，∴；故选B．题型四：求代数式的平方根【典例4】（2022下·广东佛山·八年级统考期末）若，则的值是（

）A．2 B． C． D．【详解】解：∵，∴，∴．故选C．【专训41】（2020上·四川成都·八年级统考期末）已知、，满足，则的平方根为【详解】∵，∴x1=0，y+2=0，∴x=1，y=2，∴=1+8=9，∴的平方根为，故答案为：.．【专训42】（2019上·云南临沧·八年级统考期末）已知实数满足，则的值为．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．题型五：求立方根问题【典例5】（2022上·福建泉州·八年级统考期末）计算的结果是（

）A． B． C． D．【详解】解：，故选C．【专训51】（2022下·福建福州·福建省福州第十六中学校考期中）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（

）A． B．C． D．【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为8.69，∴a=297.5625，b=656.234909．∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，∴x=2.975625，y=656234.909，∴．故选：A．【专训52】（2021下·湖北武汉·统考期中）已知4m+15的算术平方根是3，26n的立方根是2，则=（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【详解】解：由题意可得：4m+15=9，26n=8，解得：，∴故选：C．题型六：（算术）平方根和立方根的综合应用【典例6】（2021·江苏南京·统考中考真题）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（

）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大【详解】A.，16的4次方根是，故不符合题意；B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；C.设则且当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；D.由的判断可得：错误，故不符合题意．故选．【专训61】（七年级单元测试）下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③的立方根是；④的算术平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正确的说法是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【详解】是的平方根，正确;的平方根是，故错误﹔的立方根是，故错误;的算术平方根是，正确﹔的立方根是，故错误;的平方根是，故错误;其中正确的说法是:，共个，故选:．【专训62】（2021下·吉林白城·七年级统考期末）下列结论正确的是（）A．64的立方根是±4 B．1的平方根是1C．算术平方根等于它本身的数只有0 D．＝﹣【详解】A.64的立方根是4，故A选项，不正确，不符合题意；B.1的平方根是，故B选项，不正确，不符合题意；C.算术平方根等于它本身的数有0和1，故C选项，不正确，不符合题意；D.，﹣，＝﹣，正确，符合题意．故选D．题型七：有理数和无理数的概念【典例7】（2023上·吉林长春·八年级统考期末）下面的说法中，正确的是（

）A．分数包括小数 B．无限循环小数是无理数C．有理数和无理数统称实数 D．无限不循环小数可以写成分数的形式【详解】A、分数包括有限小数和无限循环小数，无限不循环小数不能化为分数，故此选项错误；B、无限不循环小数是无理数，故此选项错误；C、有理数和无理数统称实数，故此选项正确；D、无限不循环小数不可以写成分数的形式，故此选项错误；故选：C．【专训71】（2023上·四川宜宾·八年级统考期末）在实数、、、、、中，无理数有（

）个．A． B． C． D．【详解】解：根据无理数的定义及常见形式可知，无理数有个，分别是，，，注意的是是有理数，故选：．【专训72】（2022上·山东青岛·八年级统考期末）在，，，，，，中，无理数有（）个A．2 B．3 C．4 D．5【详解】解：在，，，，，，中，无理数有，，共3个，故选：B．题型八：实数和数轴【典例8】（2022上·四川宜宾·八年级统考期末）如图所示，已知数轴上的点分别表示数，则表示的点落在线段（

）

A．上 B．上 C．上 D．上【详解】解：，，，则表示的点落在线段上，故选：A．【专训81】（2023下·青海西宁·八年级统考期末）如图，点A，B在数轴上分别表示数1，2，以为边作正方形，连接，以点A为圆心，长为半径作弧，交数轴于点E，则点E表示的数是（

）

A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：，由勾股定理可得：，由题意可得：则点E表示的数是故选：B【专训82】．（2019下·河南信阳·七年级统考期末）如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．

(1)求出这个魔方的棱长；(2)图1中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积和边长；(3)把正方形放到数轴上，如图2，使点A与重合，请直接写出点D在数轴上所表示的数．【详解】（1）解：设魔方的棱长为，则，解得：；（2）解：棱长为，每个小立方体的边长都是，每个小正方形的面积都是，所以魔方的一面四个小正方形的面积为，；正方形的边长为；（3）解：正方形的边长为，点与重合，点在数轴上表示的数为．题型九：实数的比较大小【典例9】（2022上·四川乐山·八年级统考期末）实数，0，0.5，中，最小的数是（

）A． B．0 C．0.5 D．【详解】由题意可得：，所以最小的数是．故选A．【专训91】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（

）A． B． C． D．【详解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，故选：A【专训92】（2022上·北京房山·八年级统考期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【详解】解：根据数轴可知：，，∴，，故AB错误，C正确；D．∵，，，∴，故D错误．故选：C．题型十：无理数的估算【典例10】（2021上·福建泉州·八年级统考期末）若，且、为两个连续的正整数，则等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【详解】解：，且、为两个连续的正整数，则根据，得到，，，故选：C．【专训101】．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）的值介于下列哪两个整数之间（

）A．30，35 B．35，40 C．40，45 D．45，50【详解】解：，，而，，故选：C．【专训102】（2023下·云南德宏·八年级统考期末）如图，已知的两条直角边，，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P所表示的数介于（

）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【详解】解：∵，，∴，∴点P表示的数为，∵，∴点P表示的数介于3和4之间，故选：C．题型十一：二次根式的化简求值【典例11】（2023上·上海闵行·八年级校联考期中）已知，，求的值．【详解】解：由于，则；答：的值为13．【专训111】（2023上·山西运城·八年级统考期末）若x，y为实数，且．求的值．【详解】解：依题意得：且，∴，∴，∴，，∴．【专训112】（2022上·广东深圳·八年级校考期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：∵，∴，∴，∴，∴．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)化简(2)若，①求的值；②直接写出代数式的值___________．【详解】（1）解：；（2）解：①∵，∴，∴，∴，∴；②∵，∴．故答案为：0题型十二：实数和二次根式的混合计算【典例12】34．（2023上·广东清远·八年级校考期末）计算：(1)(2)(3)(4)【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【专训121】（2019上·福建三明·八年级统考期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c．(1)分别求出a、b、c的值；(2)求的平方根．【详解】（1）解：∵的立方根是2，,，的算术平方根是3，，，的小数部分为c，且，；（2）解：，的平方根为．【专训122】36．（2022上·湖南长沙·八年级校考期末）已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．(1)当时，的周长__________（请直接写出答案）．(2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则．若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．【详解】（1）解：当时，，，，∴．故答案为：；（2）根据题意，可得，解得，∴∴；∵为整数，且有最大值，∴或3或2或1或0或，当时，三角形三边长分别为，，，∵，∴此时不满足三角形三边关系，故，当时，三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系，可设，，，∴．题型十三：实数的规律问题【典例13】（2022下·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校）若，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【详解】解：，，，，．故选C【专训131】．．（2022上·四川眉山·八年级统考期末）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（

）A． B． C． D．【详解】解：∵∴，