专题05圆的性质与计算综合题-2023年江西中考数学真题模拟题分类汇编

专题05圆的性质与计算综合题1．（2022•江西）课本再现（1）在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；知识应用（2）如图4，若的半径为2，，分别与相切于点，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）①如图2，连接，并延长交于点，，，，，，，；如图3，连接，并延长交于点，，，，，，，；（2）如图4，连接，，，，，，分别与相切于点，，，，，，．2．（2021•江西）如图1，四边形内接于，为直径，点作于点，连接．（1）求证：；（2）若是的切线，，连接，如图2．①请判断四边形的形状，并说明理由；②当时，求，与围成阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【详解】（1）证明：四边形是的内接四边形，，为的直径，，，，，，；（2）①四边形是菱形，理由：，，是的切线，，，，，由（1）知，，，，四边形是平行四边形，，是菱形；②由①知，四边形是菱形，，，由①知，，在中，，，，，与围成阴影部分的面积为．3．（2020•江西）已知的两边分别与相切于点，，的半径为．（1）如图1，点在点，之间的优弧上，，求的度数；（2）如图2，点在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；（3）若交于点，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含的式子表示）．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）如图1，连接，，，为的切线，，，，，，；（2）如图2，当时，四边形是菱形，连接，，由（1）可知，，，，，点运动到距离最大，经过圆心，，为的切线，，，又，，，，，，，四边形是菱形；（3）的半径为，，，，，，的长度，阴影部分的周长．4．（2019•江西）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．（1）连接，若，求证：是半圆的切线；（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图1中，连接，为半圆的切线，为半圆的直径，，，，四边形是平行四边形，，，，四边形是平行四边形，，，，，，是半圆的切线；（2）解：，理由：如图2中，连接．，，为半圆的直径，，，，．5．（2018•江西）如图，在中，为上一点，以点为圆心，为半径做圆，与相切于点，过点作交的延长线于点，且．（1）求证：为的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）过点作于点，于点，，，，，，又为的切线，，，，，在和中，，，，，是的切线；（2），，，、，，则，由（1）知，，，，，，，，，，即，．6．（2022•南昌模拟）如图，在中，以为直径的与边、分别交于、两点，恰好是的中点，过点作于点．（1）求证：是的切线．（2）若，，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：如图，连接，恰好是的中点，，，是的中位线，，于点，，经过的半径的端点，且，是的切线；（2）解：如图，连接，则，，是等边三角形，，，，阴影部分的面积为．7．（2022•吉安一模）如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于．（1）求证：是圆的切线：（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，由题可知，为直径，，点是的中点，，，又，，，和是圆的半径，，，即，故：是的切线．（2）由（1）可知，在中，，，又在和中有：，，，，即，求得，，故：长为．8．（2022•高安市一模）如图，是的直径，，是上两点，且，连接，．过点作交的延长线于点．（1）判定直线与的位置关系，并说明理由；（2）连接，连接交于，若，，①求证：四边形是矩形；②求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【详解】（1）解：直线与相切，理由：连接，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（2）①证明：，，，是的直径，，，四边形是矩形，②解：四边形是矩形，，，，，，，，，，连接，，是等边三角形，，，，，，，，，图中阴影部分的面积．9．（2022•新余一模）如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交于点，过点的弦交于点不是直径），点为弦的中点，连结，恰好为的切线．（1）求证：是的切线；（2）求证：平分；（3）若，，，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20【详解】（1）证明：连接，，为直径，点为弦的中点，，点为弦的中点，垂直平分，，，，，，为的切线，，，，是的切线．（2）证明：，，，，，，平分；（3）解：为的直径，点为弦的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，设，，，，，或（不合题意舍去），，四边形的面积．10．（2022•赣州一模）如图，在矩形中，是上一点，连接，以为直径的与边交于点，交于点，连接，，，若，．（1）试判断与的位置关系，并说明理由；（2）求矩形的周长；（3）求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）与相切，理由：四边形是矩形，，，，，是，，，，，是的半径，与边相切；（2）四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，，，设，则，，，，，解得：，，矩形的周长；（3）如图，连接，，，，，是等边三角形，，．11．（2022•瑞金市模拟）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．（1）求证：是的切线；（2）设，，试用含，的代数式表示线段的长；（3）若，，求的长，【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图，连接，为的角平分线，，，，，，，，，为圆的切线；（2）解：连接，由（1）知为圆的切线，，，，，，，即，则；（3）解：连接，在中，，设圆的半径为，可得，解得：，，，是直径，，，，，，，，即，，则．12．（2022•宜春模拟）如图，为的直径，与相切于点，与的延长线交于点，交延长线于点，连接，，已知，，．（1）求证：是的切线；（2）求的半径；（3）连接，求．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：在和中，，，，，是半径，是的切线；（2）解：，，，，，是的切线，，，设的半径为，，，在中，，，即的半径为；（3）解：如图，延长，交于点，，是的切线，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，，，．13．（2022•寻乌县模拟）如图，的点，在上，与相交于点，连接，，，．（1）求圆心到弦的距离；（2）若．①求证：是的切线；②求的长．【答案】（1）；（2）①见解析；②【详解】（1）连接，，过作于，，，，，是等边三角形，，，，，，，圆心到弦的距离为：；（2）①由（1）得，是等边三角形，，，，，，，，，是的切线；②由，，，过作于，，，，，，，，，，，设，则，（负值舍去），．14．（2022•江西模拟）如图，为的直径，为上的一点，连接、，于点，交于点，连接、，与交于点，与的延长线交于点．（1）求证：；（2）若，求证：为的切线；（3）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】（1）证明：，，，又，；（2）证明：连接，如图1所示：是的直径，，，，，，，，，，是的半径，是的切线；（3）解：连接，如图2所示：，，，，设，，则，在中，，，在中，，即，解得：，，在中，，，或（舍去），．15．（2022•石城县模拟）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点．（1）求证：与相切；（2）当时，求弦和弧所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：如图，连接，是直角三角形的外接圆，．在中，为的中点，，．又，．为的切线，．，即．又为的半径，与相切；（2）解：，，为等边三角形，．，，弦和弧所夹图形的面积．（3）解：连接，时，，等边中，平分，．在中，，，，，．16．（2022•石城县模拟）如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作，垂足为点．（1）求证：直线是的切线；（2）求证：；（3）若点是半圆的一个三等分点，直接写出阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或【详解】（1）连接，如图：，，，，，，，，直线是的切线；（2）连接，如图：为直径，，，，而，，，即，，，，，；（3）如图，连接，点是半圆的一个三等分点，或，当时，．．当时，过点作于点，则，．．．综上所述，阴影部分的面积是或．17．（2022•赣州模拟）已知，是的直径，是上半圆弧上一动点，是的中点，弦与弦交于点．过点作的切线交射线于点．（1）如图1．当时，求的度数．（2）如图2，，求的度数．（3）如图3，连接，是的中点，已知，求的长和的面积．【答案】（1）；（2）；（3）【详解】（1）如图1，连接，，是的切线，，，，，是的中点，，；（2）如图2，连接，是的切线，，，，，是是的中点，，，；（3）如图3，连接，，连接交于点，点是的中点，，，，是的中位线，，为直径，，，，是的中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．18．（2022•南昌模拟）如图，点为半外一点，为直径，，，，与半交于点，点是上一动点，过点作交于点．（1）的最大值；（2）如图1，当时，求证：是的切线；（3）如图2，当点在的中点时，求图中阴影部分的周长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：如图1，作于，交于点，，，，是的直径，，，，，，故答案为：；（2）证明：如图2，作于，，，，，，，，是的切线；（3）解：如图3，是直径，是半圆，点是的中点，，作，交的延长线于，，四边形是矩形，，，，，，图中阴影部分的周长．19．（2022•江西二模）如图，射线，是上的一点，以为圆心，长为半径，在上方作半圆，与半圆相切于点，交于点，于点．（1）求证：；（2）若，①判断点与半圆所在圆的位置关系，并说明理由；②若，直接写出阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②【详解】（1）证明：，是半圆的切线，切点为，又与半圆相切于点，；（2）解：①点在半圆所在的圆上，理由如下：，，又，，，又，，，，点在半圆所在的圆上；②连接，则，，，，，．20．（2022•湖口县二模）如图，在中，，与相切于点，延长交于点、．连接，．（1）若，求的大小．（2）若，的半径为．求边的长度．【答案】（1）；（2）【详解】（1）如图，连接，与相切于点，，，，，，；（2）是的直径，，，，，，，．，，，，，而，，，，，．21．（2022•吉州区模拟）如图，是的直径，点为上一点，点是半径上一动点（不与，重合），过点作射线，分别交弦，于、两点，在射线上取点，使．（1）求证：是的切线；（2）当点是的中点时，①若，判断以，，，为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；②若，且，求的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6【详解】证明：（1）连接，，，，，，是的切线；（2）如图2，连接，，，，①以，，，为顶点的四边形是菱形．理由如下：是直径，，，，点是的中点，，，均为等边三角形，四边形是菱形；②，设，，由勾股定理得，即，解得，，，点是的中点，，，，即，解得：，由勾股定理得．22．（2022•景德镇模拟）如图，以的一边为直径的半圆与边，的交点分别为点，点，且是的中点．（1）若，求的度数．（2）求证：．（3）若的半径为，，求线段的长．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：连接，是的中点，，，；（2）证明：是直径，，，，，，．（3）解：的半径为，，，，，，，，．23．（2022•抚州模拟）如图，中，，以为直径作，交于点，点为上一点，且．连接并延长交的延长线于点．（1）求证：是的切线．（2）若，连接．①求图中阴影部分的面积；②求的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②8【详解】（1）证明：如图，连接，在与中，，，，，是的半径，是的切线；（2）解：①连接，为的直径，，，，，，，，，，阴影部分的面积；②，，，，，，，，，，设，则，，，，或（舍去），，．24．（2022•九江三模）如图1，为半径，点在延长线上且满足，点是圆上的一个动点，连接、．（1）面积最大时，请直接写出的值；（2）猜想：当的度数为多少时，为的切线，并证明你的猜想．（3）如图2，点为中点，试猜想与的数量关系，并给出证明．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【详解】（1）当时，面积最大．设，则，，；（2）当时，为的切线．证明：，，是等边三角形，，，又，，，又，，，，又为半径，为的切线；（3）．理由如下：延长到，使，连接，，为的中点，，，，，，又，，，，，，，，又，，又，，，，．25．（2022•九江一模）如图，、、、是上的四个点，，点是弦延长线上一点，连接，满足．（1）如图①，求证：是的切线；（2）如图②，若点是优弧中点，的半径长为3，求的值．【答案】（1）见解析；（2）36【详解】（1）证明：连接，连接并延长交于点，连接，，，，，，，，，是的直径，，，，，，是的半径，是的切线；（2）连接，点是优弧中点，，，，，，四边形是圆内接四边形，，，是的直径，，，，，，的值为36．26．（2022•南城县一模）如图，为的直径，为上一点，连接，，为延长线上一点，连接，且．（1）求证：是的切线；（2）若的半径为，的面积为，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，如图，为的直径，，．，．，，即，．是的半径，是的切线；（2）解：过点作于点，过点作于点，如图，的半径为，，的面积为，，．，，，，．．解得：或（不合题意，舍去），．，，．，，在和中，，．，．，，，，，解得：，．27．（2022•萍乡模拟）如图，的直径，点是上的动点，是经过点的弦，过点作的切线交的延长线于点，且．（1）若，连，分别求，的长；（2）当点位于的什么位置时，以，，，为顶点的四边形是菱形？请说明理由．【答案】（1）的长为16，的长；（2）见解析【详解】（1）是