2.5圆的方程（2知识点6题型强化训练）

2.5圆的方程课程标准学习目标（1）回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程。（1）理解圆的概念;（2）掌握圆的标准方程和一般方程；（3）会根据题意求圆的方程；（4）能够利用圆的方程处理问题.（难点)知识点01圆的标准方程标准方程x-a2+y-b2=【即学即练1】过圆C:(x-1)2+y2=1外一点A．x-322C．(x-1)2+(y+1)【答案】D【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案.【详解】由圆C:(x-1)2+y2故以CP为直径的圆的圆心为(2,1)，半径为12故以CP为直径的圆的方程为(x-2)2故选：D知识点02圆的一般方程(1)一般方程x(2)求圆方程的方法(i)待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.【即学即练2】圆心为1,-1且过原点的圆的一般方程是（

）A．x2+yC．x2+y【答案】D【分析】先求得圆的标准方程，化简即可求得该圆的一般方程.【详解】原点与1,-1的距离为2，则圆心为1,-1半径为2的圆的方程为(x-1)2则该圆的一般方程是x故选：D【题型一：圆的方程】例1．方程x2A．4π B．9π C．8π D．【答案】B【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求m的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果.【详解】由题意整理可得：x-m2则-m2+4m+5>0且圆的半径r=-当且仅当m=2时，等号成立，即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为9π故选：B.变式11．若直线2x+y-1=0是圆x2+y+aA．(0,1) B．(0,-1) C．(0,12)【答案】A【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.【详解】圆x2+y+a因为直线2x+y-1=0是圆的一条对称轴，所以圆心0,-a在直线2x+y-1=0上，所以2×0+-a-1=0，解得故圆心坐标为(0,1).故选：A.变式12．圆x2+y2-4x-4y-10=0A．36 B．82 C．62 D【答案】C【分析】求出圆心和半径，则圆心到直线的距离加上半径即为最大距离.【详解】圆x2+y其圆心为2,2，半径为32则圆x2+y2-2-62故选：C.变式13．圆x2+y2-2x-2y+1=0A．(x+1)2+(y-1)C．x2+(y-1)【答案】B【分析】把圆的一般方程化为标准方程，得圆心坐标和半径，由对称求出对称圆的圆心，可得标准方程.【详解】由圆x2+y则圆心坐标为(1,1)，半径为1，设(1,1)关于直线x+y=1的对称点为(a,b)，则b-1a-1=1a+1∴圆x2+y2-2x-2y+1=0故选：B．【方法技巧与总结】1圆的标准方程是x-a2+y-b2=r2圆的一般方程是x22可以利用配方法把圆的一般方程化为标准方程.【题型二：判断点与圆的位置关系】例2．（多选）已知圆M的标准方程为(x-4)2+(y+3)A．圆M的圆心为4,-3 B．点1,0在圆内C．圆M的半径为5 D．点-3,1在圆内【答案】ABC【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.【详解】圆M:(x-4)2+(y+3)2=25的圆心为由(1-4)2+(0+3)2=18<25由(-3-4)2+(1+3)2=65>25，得点故选：ABC变式21．已知圆C:x-12+y-12A．0,0 B．1,0C．2,1 D．1【答案】D【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可.【详解】对于A，因为0-12+0-12=2>1对于B，因为1-12+0-12=1对于C，因为2-12+1-12=1对于D，因为12-12+12故选：D变式22．点M1(6,-6),M2(-5,-1),【答案】答案见解析【分析】将点的坐标代入圆的方程的左端与半径的平方比较大小即可.【详解】圆心为(2,-3),r因为(6-2)2+(-6+3)因为(-5-2)2+(-1+3)因为(3-2)2+(1+3)2【方法技巧与总结】点A(m,n)与圆C当m-a2+n-b当m-a2+n-b当m-a2+n-b2【题型三：求圆的标准方程】例3．若圆C经过点A(2,5)，B(4,3)，且圆心在直线l:2x+y-7=0上，则圆C的方程为（

）A．(x-3)2+(y-6)C．(x-2)2+(y-3)【答案】B【分析】用待定系数法设出圆的标准方程，结合题意计算即可得.【详解】设该圆方程为(x-a)2则圆心为a,b，有2a+b-7=0，将点A(2,5)，B(4,3)代入，有2-a2+5+2a-7两式相减得12a-24=0，即有a=2，则b=7-2a=3，r2故该圆方程为(x-2)2故选：B.变式31．过点-1,1和1,3，且圆心在x轴上的圆的方程为（

）A．x2+yC．x-12+y【答案】D【分析】借助待定系数法计算即可得.【详解】令该圆圆心为a,0，半径为r，则该圆方程为x-a2则有-1-a2+1=r故该圆方程为x-22故选：D.变式32．已知点A(-4,-2)，B-4,2，C-2,2，则△ABC外接圆的方程是（A．x2+(y-3)C．x2+(y+3)【答案】B【分析】根据条件可得△ABC是直角三角形，求出圆的圆心与半径，写出圆的标准方程即可．【详解】由题BA得△ABC是直角三角形，且BA⊥BC，所以圆的半径为12AC=所以△ABC外接圆的方程为x+32故选：B.变式33．已知圆C过三点1,3,(1)求圆C的方程；(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若△CMN为等腰直角三角形，求直线l的方程．【答案】(1)x-1(2)x-y+2=0或x-y-8=0【分析】（1）根据圆过点1,3,1,-7，得到圆心在y=（2）设直线l的方程为：x-y+c=0，根据△CMN为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离d=|c+3|2【详解】（1）解：因为圆过点1,3,1,-7，故圆心在设圆心坐标x,-2，则x-12+25=x-4故其半径r=(x-1)故圆的方程为：x-12（2）设直线l的方程为：x-y+c=0，因为△CMN为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离d=5⋅22=解得c=2或－8，所以l：x-y+2=0或x-y-8=0【方法技巧与总结】求圆方程的方法(i)待定系数法先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.【题型四：圆过定点问题】例4．圆C:x²+y²+ax-2ay-5=0恒过的定点为（

）A．-2,1,(2,-1) B．C．-1,-2,(1,2) D【答案】D【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.【详解】圆C:x2+由x-2y=0x2+y2故圆C恒过定点-2,-1,故选：D．变式41．圆x2+y【答案】1,1【分析】分离参数，即可列方程组求解.【详解】圆方程化为mx-1由x-1=0,x2+y2-2y=0,故答案为：1,1变式42．对任意实数m，圆x2+y【答案】1,1或1【分析】由已知得x2+y【详解】解：x2+y令x2+y2-2=03x+6y-9=0，解得x=1，所以定点的坐标是1,1或15故答案为：1,1或15变式43．已知曲线C：1+ax(1)当a取何值时，方程表示圆？(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．【答案】(1)a≠-1；(2)证明见解析；【分析】（1）当a=-1时，方程为x+2y=0表示一条直线，当a≠-1时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；（2）将已知方程整理为x2+【详解】（1）当a=-1时，方程为x+2y=0表示一条直线．当a≠-1时，(1+a)x整理得(x-2由于4+16a所以a≠-1时，方程表示圆.（2）证明：方程变形为x2由于a取任何值，上式都成立，则有x2解得x=0y=0或x=所以曲线C必过定点A0,0，B即无论a为何值，曲线C必过两定点．【方法技巧与总结】类似满足x2+y2+mx-2y-m=0(m为参数)要求定点，把含m和不含m的项分开，如x2则定点满足方程组x2【题型五：定点到圆上的最值问题】例5．已知A-1,-1，B-2,0，C6,-2，点P是圆E:x2A．32+37 BC．33+37 D【答案】D【分析】设Pa,b，则PA2【详解】点A-1,-1，B-2,0，C6,-2则|PA|2+|PB|因为点P在圆E:x所以a-12+b-12表示圆所以a-12+b-1即PA2+PB故选：D﹒变式51．若点Px,y是圆C:x2+y2-8x+6y+16=0上一点A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.【详解】圆C:x2+x2+y2表示点P因为CO=所以x2+y故选：B.变式52．已知x,y满足(x-2)2+(y-3)2=2A．22,42 B．8,32 C．2【答案】D【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可.【详解】由题知x2设Px,y为圆C:设Q-1,0因为(-1-2)2+(0-3)2>2则x2+2x+y2=|PQ|2因为CQ=32，圆C半径所以CQ-r≤PQ所以7≤|PQ|故选：D变式53．已知点P3,4，A、B是圆C:x2+y2=4上的两个动点，且满足AB=2，A．5-3 B．5+3 C．3 D【答案】B【分析】分析可知，点M在以原点为圆心，半径为3的圆x2+y2=3上运动，利用圆的几何性质可知，当M为射线PO与圆【详解】如下图所示：圆C的圆心为原点，半径为2，因为A、B是圆C:x2+y2=4上的两个动点，且满足由垂径定理可知，OM⊥AB，则OM=所以，点M在以原点为圆心，半径为3的圆x2则PM≤当且仅当M为射线PO与圆x2故PM的最大值为5+3故选：B.变式54．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-ay-1=0与圆C：x2+y2-2x+4y-4=0交于A,BA．21+2 B．21+3 C．【答案】A【分析】根据题意分析可知直线l过定点P1,0，取线段AB的中点D，可知点D的轨迹为以CP的中点M1,-1为圆心，半径R=【详解】由题意可知：直线l：x-ay-1=0过定点P1,0圆C：x2+y可知圆心为C1,-2，半径r=3取线段AB的中点D，则CD⊥AB，可知点D的轨迹为以CP的中点M1,-1为圆心，半径R=

可得OA+当且仅当D在OM的延长线上时，等号成立，所以OA+OB的最大值为故选：A.【方法技巧与总结】点A(m,n)与圆x-a2+y-b2=r2上点P的距离为PA，则PA【题型六：与圆有关的轨迹问题】例6．若A，B是平面内不同的两定点，动点P满足PAPB=k（k>0且k≠1），则点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点A1,0，C4,0，D4,9，动点P满足PA【答案】6【分析】根据阿波罗尼斯圆定义可确定PAPC=12，利用三角形三边关系可知当A，D，P【详解】设Px,y，则PAPC=则P是圆C：x2由PAPC=12故2PD当且仅当A，D，P三点共线，且A在DP之间时取得最大值．又因为AD=所以2PD-PC故答案为：610变式61．已知O0,0，A3,0，动点Px,y满足PAPO=2A．x-12+yC．x+12+y【答案】C【分析】根据题意列出等式并化简即可.【详解】由题可知|PA|所以(x-3)2化简得(x+1)2故选：C,变式62．在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,1,B2,1，动点P满足PA⋅PBA．1 B．2 C．2 D．2【答案】D【分析】求出点P的轨迹是以1,1为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果.【详解】设Px,y，易知PA由PA⋅PB=0可得-x即动点P的轨迹是以1,1为圆心，半径为1的圆，又O0,0，可得OP的最大值为O0,0到圆心即OPmax故选：D变式63．已知直线y=kx+mkm≠0与x轴和y轴分别交于A，B两点，且AB=22，动点C满足CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点DA．42 B．32 C．22【答案】B【分析】先求得A，B两点坐标，根据AB=22得到(-mk)2【详解】由y=kx+m(km≠0)，得A(-mk,0),B(0,m)，由AB由CA⊥CB，得AC⋅BC=0，设C(x,y)即(x+m2k)设该动圆圆心为(x',y')，即有整理得：x'2+y'2=2点D1,1与圆x'2+y'2=2上点所以最大值为[1-(-1)]2故选：B

【点睛】思路点睛：涉及与圆相离的图形F上的点与圆上点的距离最值问题，转化为图形F上的点与圆心距离加或减圆半径求解.一、单选题1．在平面直角坐标系中，圆心为1,0，半径为2的圆的方程是（

）A．x-12+yC．x-12+y【答案】C【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.【详解】由题意可得方程为x-12故选：C.2.已知点A1,0，B1,2与圆O：x2A．点A与点B都在圆O外B．点A在圆O外，点B在圆O内C．点A在圆O内，点B在圆O外D．点A与点B都在圆O内【答案】C【分析】将点A，B代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解.【详解】将A1,0代入圆x2+所以点A在圆O内；将B1,2代入圆x可得12+22>4故选：C．3.圆C:x-12+y2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】B【分析】根据条件得到圆心为(1,0)，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】因为圆C:x-12+所以圆心到直线y=x-3的距离为d=1-3故选：B.4.以点C-1,-5为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（

A．(x+1)2+(y+5)C．(x-1)2+(y-5)【答案】D【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点C-1,-5，半径为5则圆的方程为(x+1)故选：D．5.M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-2y+1=0上任意一点，且点A．5 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】得到圆心B2,1和半径r=2，进而求出|MQ|的最大值为BQ+r【详解】圆C:x2+其圆心为B2,1，半径为r=2

则|MQ|的最大值为BQ+r=故选：D6.已知点M2,4，若过点N4,0的直线l与圆C:x-62+y2=9交于A．12 B．82 C．10 D．【答案】A【分析】设AB中点Px,y，根据垂径定理可得点P的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又MA+【详解】设AB中点Px,y，则CP=x-6,y所以CP⋅即x-52所以点P的轨迹为以E5,0为圆心，1所以ME-1≤MP≤所以4≤MP又MA+所以MA+MB的最大值为故选：A.7.在平面直角坐标系内，曲线x2=y+1与x轴相交于A，B两点，P是平面内一点，且满足PA=2PBA．3 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】根据题意不妨取A1,0,B-1,0，进而求点【详解】对于曲线x2=y+1，令y=0，即可得x=±1，不妨取A1,0,B-1,0设Px,y，因为PA=2整理得x+32可知点P的轨迹是以-3,0为圆心，半径为22所以△PAB面积的最大值是12故选：D.8.已知直线l1：mx+y+4=0与直线l2：x-my-6-4m=0交于点Px0,A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】首先根据已知条件得到直线l1恒过定点B(0,4)，直线l2恒过定点A(6,-4)，且l1⊥l2，根据交点P【详解】由题知：直线l1:mx+y+4=0恒过定点直线l2:x-my-6-4m=0化简为：x-m(y+4)-6=0，当y=-4时，x=6，直线恒过点当m=0时，直线l2的斜率不存在，直线l1的斜率k1当m≠0时，k1=-m，k2=1综上：直线l1恒过定点B(0,-4)，直线l2恒过定点A(6,-4)，且因为直线l1与直线l2交于点所以点P在以AB为直径的圆上，线段AB的中点坐标为C3,-4且AB=6，则其轨迹方程为(x-3)2+(y+4)2因为x02+则dmax=r+|OC|=8，所以x故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．圆x-12+y-22B．圆x+22+y2C．圆x-32+y+D．圆x+22+y+22【答案】AC【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径.【详解】圆x-12+y-22=5的圆心为1,2圆x+22+y2=b2圆x-32+y+22=2圆x+22+y+22=5的圆心为-2,-2故选：AC.10.已知圆C经过点A0,0、B2,0，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（A．x-12+y-1C．x-12+y-1【答案】BC【分析】设圆心Ca,b，由题意可知，CA=CB，AC2+BC2=AB2，求出a【详解】设圆心Ca,b，由题意可知，CA=CB，即a因为△ABC为直角三角形，则∠ACB为直角三角形，则AC2即a2+b2+a-22圆心为C1,±1，因此，圆C的方程为x-12+故选：BC.11.已知圆C:x2+y2A．圆心C的坐标为2,7B．若点Pm,m+1在圆C上，则直线PQ的斜率为C．点Q在圆C外D．若M是圆C上任一点，则MQ的取值范围为22【答案】ACD【分析】根据题意转化为圆的标准方程，由圆心坐标可判断A选项，通过点Pm,m+1代入圆的方程求得m的值，进而由斜率公式可求PQ的斜率并可判断B选项，点与圆的位置关系可判断C选项，利用圆心到Q-2,3的距离可得MQ的取值范围并可判断【详解】将把C:x2+则C2,7对于A：圆心C的坐标为2,7，故A正确；对于B：当点Pm,m+1在圆C上，则有m-2化简得m2-8m+16=0，解得即P4,5，所以直线PQ的斜率为3-5-2-4=对于C：因为-2-22+3-72>8，所以点Q对于D：因为CQ=-2-22+所以42-22≤MQ≤4故选：ACD.三、填空题12．已知方程x2+y2+2x-6y+m2【答案】-2,22【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得到-m2+4>0，求出m的取值范围，并根据【详解】该方程可化为圆的标准方程(x+1)2由-m2+4>0因为-m所以该圆的半径的最大值为4=2故答案为：-2,2，213.已知圆C：x+22+y-42=1，则圆心C到直线l【答案】5【分析】求出圆心坐标，与直线l过定点坐标，再求两点间的距离，即可得解.【详解】圆C：x+22+y-42=1直线l：kx+y-k=0，即kx-1+y=0，令x-1=0y=0所以直线l过定点A1,0，则圆心到直线的最大距离为AC故答案为：514.圆心在直线l:x-2y-3=0上，且经过点A(2,-3)，B(-2,-5)的圆的方程为．【答案】x+1【分析】直线l和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.【详解】圆经过点A(2,-3)和B(-2,-5)，kAB=12，所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-2x-4．联立方程组x-2y-3=0y=-2x-4，解得x=-1所以，圆心坐标为C-1,-2，半径r=所以，此圆的标准方程是x+12故答案为：x+12四、解答题15．判断2x2+2y【答案】答案见解析【分析】根据圆的一般方程对表达式进行判断即可得出结论.【详解】易知2x2+2y满足D2+E2-4F对于x2+y216.已知△ABC的三个顶点的坐标为A2,1，B4,7，(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC的外接圆的标准方程.【答案】(1)20(2)x【分析】（1）根据点点距离公式可判断三角形为等腰三角形，即可根据面积公式求解，（2）根据直角三角形的性质确定外接圆圆心和半径，即可求解方程.【详解】（1）AB=2-42+1-7由于AB=所以△ABC为以BC为斜边的等腰直角三角形，可得BC中点D0,5所以S△ABC=12（2）由（1）知AB⊥AC.所以外接圆圆心恰好为BC中点D0,5，半径r=所以三角形外接圆标准方程为x217.已知⊙A关于直线y=x对称，点O0,0，N4,0都在⊙A(1)求线段ON垂直平分线的方程；(2)求⊙A的标准方程【答案】(1)x=2(2)x-2【分析】（1）求线段ON的中点，且斜率不存在，写出方程；（2）解法一：由题意，设x-a2解法二：求出直线ON与直线y=x的交点为圆心，可得方程.【详解】（1）因为点O0,0，N所以线段ON的中点为E因为直线ON的斜率为k=0，所以ON垂直平分线的斜率不存在.所以ON垂直平分线的方程为x=2；（2）解法一：因为⊙A关于直线y=x对称，则可设⊙A的方程为x-a2又因为点O0,0，N4,0在⊙A上，所以解得a=2r=2所以⊙A的标准方程为x-22解法二：因为直线ON与直线y=x的交点为圆心，由y=xx=2，解得x=2故圆心A2,2又因为r=2-0所以⊙A的标准方程为x-2218.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数fx=x(1)求实数b的取值范围；(2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.【答案】(1){b|b<1，且b≠0}(2)过定点(0,1)和(-2,1)，证明见解析.【分析】（1）由题意可令x=0得抛物线与y轴交点是(0,b)，得出方程f(x)=x2+2x+b=0，再由根的判别式（2）设出所求圆的一般方程，根据题意可分别令y=0和令x=0代入得出D,E,F与b的关系，从而得出含