专题05有理数的乘方综合题

专题05有理数的乘方（综合题）易错点拨易错点拨知识点01：有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数．细节剖析：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．知识点02：乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如≥0．细节剖析：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．易错题专训易错题专训一．选择题1．（2022•澄海区模拟）﹣12022的相反数是（）A．2022 B．﹣2022 C．1 D．﹣1【易错思路引导】根据有理数的乘方的定义即可得出答案．【规范解答】解：﹣12022＝﹣1，﹣1的相反数是1，故选：C．【考察注意点】本题考查了相反数，有理数的乘方，掌握﹣12022与（﹣1）2022的区别是解题的关键．2．（2021秋•济宁期末）下列各组数中，互为相反数的是（）A．（﹣5）2和﹣52 B．+（﹣6）和﹣（+6） C．（﹣4）3和﹣43 D．﹣|﹣2|和+（﹣2）【易错思路引导】A：负数的偶次幂为正，5的平方的相反数是负数；B：加（﹣6）还是（﹣6），﹣（+6）表示6的相反数；C：负数的奇次幂为负，4的立方的相反数是负数；D：﹣|﹣2|是负数，+（﹣2）为负数．【规范解答】解：A：（﹣5）2＝25，﹣52＝﹣25，∴符合题意B：+（﹣6）＝﹣6，﹣（+6）＝﹣6，∴不符合题意；C：（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，∴不符合题意；D：﹣|﹣2|＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2，∴不符合题意；故选：A．【考察注意点】本题考查了有理数乘方、相反数、绝对值，掌握这三个性质是解题关键．3．（2021秋•香洲区期末）下列说法正确的是（）A．﹣3是相反数 B．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右 C．如果a为有理数，那么a2＞0 D．若a＝b，则|a|＝|b|【易错思路引导】A：相反数是成对出现的；B：正数在原点右侧；C：a＝0时a2＝0；D：两数相等，那么它的绝对值也相等．【规范解答】解：A：﹣3是3相反数，∴不符合题意；B：一个正数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右，∴不符合题意；C：如果a为有理数，那么a2≥0，∴不符合题意；D：若a＝b，则|a|＝|b|，∴符合题意；故选：D．【考察注意点】本题考查有理数乘方、数轴、相反数、绝对值，掌握这几个定义的意义，运用的时候注意它们的区别是解题关键．4．（2017秋•新城区校级期中）计算（﹣3）2÷4×的结果是（）A．﹣9 B．9 C． D．【易错思路引导】根据有理数的乘方、有理数的乘除法法则可得答案．【规范解答】解：（﹣3）2÷4×＝9××＝，故选：C．【考察注意点】本题考查了有理数的乘方、有理数的乘除法．熟练掌握有理数的乘方、有理数的乘除法的运算法则是解题关键．5．（2017秋•会同县校级期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”一般地，把（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．关于除方，下列说法错误的是（）A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1ⓝ＝1 C．3④＝4③ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【易错思路引导】根据定义依次判定即可．【规范解答】解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确；B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1；所以选项B正确；C、3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，则3④≠4③；所以选项C错误；D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；本题选择说法错误的，故选：C．【考察注意点】本题是有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序．6．（2022•西城区校级模拟）如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为10100，AB＝BC＝CD＝DE，则数1099所对应的点在线段（）上．A．AB B．BC C．CD D．DE【易错思路引导】先根据AB＝BC＝CD＝DE，计算出每一个线段的长度，再把AB的长度与1099﹣10进行比较即可．【规范解答】解：∵A点表示数为10，E点表示的数为10100，∴AE＝10100﹣10，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴AB＝AE＝（10100﹣10），∴B点表示的数为＝（10100﹣10）+10，∵（10100﹣10）+10﹣1099＝×1099﹣＞0，∴（10100﹣10）﹣10＞0，∴数1099所对应的点在B点左侧，∴数1099所对应的点在AB点之间，故选：A．【考察注意点】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，估算出1099﹣10的大小是得出正确答案的关键．7．（2021秋•双峰县期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（）A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6【易错思路引导】根据非负数的性质列式求出ab的值，然后再代入代数式进行计算．【规范解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴ab＝（﹣3）2＝9．故选：C．【考察注意点】本题主要考查了非负数的性质，几个非负数相加等于0，则每一个算式都等于0．二．填空题（共6小题）8．（2022春•吉州区期末）已知：（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a2021•b2022的值为．【易错思路引导】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得a与b，再代入a2021•b2022求值．【规范解答】解：∵（a﹣2）2≥0，|2b﹣1|≥0，∴当（a﹣2）2+|2b﹣1|＝0，则a﹣2＝0，2b﹣1＝0．∴a＝2，b＝．∴a2021•b2022＝＝．故答案为：．【考察注意点】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性是解决本题的关键．9．（2022春•高州市期中）如果a，b，c是整数，且ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣2，﹣32）＝5．【易错思路引导】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．【规范解答】解：设（﹣2，﹣32）＝x，∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，∴（﹣2）x＝﹣32．∵（﹣2）5＝﹣32，∴x＝5．故答案为：5．【考察注意点】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．10．（2022春•蒸湘区校级月考）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2017＝﹣1．【易错思路引导】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【规范解答】解：由题意得，2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0，解得x＝2，y＝3，所以，（x﹣y）2017＝（2﹣3）2017＝﹣1．故答案为：﹣1．【考察注意点】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．11．（2018秋•郫都区期中）三个数a＝266，b＝344，c＝622中，最小的一个是c．【易错思路引导】指数相同的正数，底数大的一定大．【规范解答】解：因为a＝266＝（23）22＝822，b＝344＝（32）22＝922，c＝622．故最小的一个是622．【考察注意点】对于此类问题应化为同指数的幂，再比较大小．12．（2022秋•邗江区校级月考）若|m﹣2|和（n+2）2互为相反数，则m+2n的值为﹣2．【易错思路引导】直接利用非负数的性质得出m，n的值，进而代入得出答案．【规范解答】解：∵|m﹣2|和（n+2）2互为相反数，∴m﹣2＝0，n+2＝0，解得：m＝2，n＝﹣2，∴m+2n＝2+2×（﹣2）＝﹣2．故答案为：﹣2．【考察注意点】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．13．（2022秋•长沙月考）以下说法中：①若|a|＝﹣a，则a＜0；②若a2﹣b2＝0，则a＝b；③﹣1＜a＜0，则a2＜﹣；④若b＜a＜0，且|a|＜|b|，则|a﹣b|＝﹣|a|+|b|，其中正确的有③．（填序号）【易错思路引导】根据绝对值，有理数的乘方及有理数大小的比较，一一分析判断即可．【规范解答】解：①若|a|＝﹣a，则a≤0，错误；②若a2﹣b2＝0，则a＝±b，错误；③﹣1＜a＜0，则a2＜﹣，正确；④若b＜a＜0，且|a|＜|b|，则|a﹣b|＞﹣|a|+|b|，错误．正确的是③，故答案为：③．【考察注意点】本题考查了绝对值，有理数的乘方及有理数大小的比较，对绝对值进行正确的化简是解题的关键．三．解答题14．（2021秋•南关区期末）（1）请写出所有平方等于本身的数．（2）请写出一个平方小于本身的数；（3）请写出两个平方大于本身的数；（4）已知a≠0且a≠1，比较a与a2的大小．【易错思路引导】根据实数的有关性质写出符合要求的数即可．【规范解答】解：（1）因为02＝0，12＝1，∴平方等于本身的数只有0和1．（2）＝，∴是符合条件的一个数．（3）32＝9＞3，52＝25＞5．∴3和5是符合条件的两个数．（4）a2﹣a＝a（a﹣1），当a＜0时，a﹣1＜0，a2﹣a＞0∴a＜a2．当0＜a＜1时，a﹣1＜0，a2﹣a＜0，∴a＞a2．当a＞1时，a﹣1＞0，a2﹣a＞0，∴a＜a2．综上：当a＜0时，a＜a2．当0＜a＜1时，a＞a2．当a＞1时，a＜a2．【考察注意点】本题考查实数的性质和运算，理解实数的性质，利用作差法比较大小是求解本题的关键．15．（2021秋•巨野县期中）已知|2+x|+（y﹣3）2＝0，求﹣xy的值．【易错思路引导】根据非负数的性质列方程求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【规范解答】解：∵|2+x|+（y﹣3）2＝0，∴2+x＝0，y﹣3＝0，解得：x＝﹣2，y＝3，则﹣xy＝﹣（﹣2）3＝﹣（﹣8）＝8．【考察注意点】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16．（2020秋•义乌市校级月考）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝3．（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根据运算性质，填空：d（12）＝1.08，d（）＝﹣0.12，d（）＝0.66．【易错思路引导】（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；（2）由劳格数的运算性质可知，两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和；两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差，据此可解．【规范解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）＝3；故答案为：3．（2）由劳格数的运算性质：若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，则d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，则d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，∴d（2）＝0.3，d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48−0.3＝0.66，故答案为：1.08，﹣0.12，0.66．【考察注意点】本题考查了有理数的乘方，定义新运算，读懂题中的定义及运算法则是解题的关键．17．（2022春•攸县期末）如果10b＝n，那么b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的b，n两个量之间具有同一关系．（1）根据劳格数的定义，计算d（10）和d（10﹣2）的值；（2）若m，n为正数，则d（m•n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根据运算性质，填空：＝3（a为正数）；若d（2）＝0.3010，则d（4）＝0.6020，d（5）＝0.6990，d（0.08）＝﹣1.0970；．（3）若表中与数x对应的劳格数d（x）有且仅有两个是错误的，请找出错误的劳格数，并将其改正过来．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b【易错思路引导】（1）根据新定义计算即可；（2）根据新定义计算即可；（3）根据新定义判断即可．【规范解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2，（2）∵d（a3）＝d（a2•a）＝d（a2）+d（a）＝d（a•a）+d（a）＝d（a）+d（a）+d（a）＝3d（a），∴＝＝3，∵d（2）＝0.3010，又∵d（10）＝1，∴d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝2d（2）＝0.6020；d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990；d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝d（8）+d（10﹣2）＝3d（2）+（﹣2）＝0.9030﹣2＝﹣1.0970；故答案为：3，0.6020，0.6990，﹣1.0970；（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b即有三个劳格数错误由题设矛盾，故d（3）＝2a﹣b；若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）＝d（2）+d（3）≠1+a﹣b﹣c即有三个劳格数错误与题设矛盾，故d（5）＝a+c；综上所述d（1.5）与d（12）两个值是错误的．应该更正为：d（1.5）＝d（3）﹣d（2）＝3a﹣b+c﹣1，d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．【考察注意点】本题考查了有理数乘方的新定义，做题关键要读懂题意，根据题意进行计算．18．（2020秋•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．【易错思路引导】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M（n）与M（n+1）互为相反数．【规范解答】解：（1）2M（2018）+M（2019）＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M（n）与M（n+1）互为相反数，理由如下：因为2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，所以2M（n）＝﹣M（n+1），所以2M（n）与M（n+1）互为相反数．【考察注意点】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，解决本题的关键是掌握有理数的乘方和有理数的乘法．19．（2020秋•萧山区期中）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…．回答下列三个问题：①验证：（2×）100＝1，2100×（）100＝1；②通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝anbn；（a•b•c）n＝anbncn；③请应用上述性质计算：（﹣0.125）2019×22018×42017．【易错思路引导】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．②通过猜想归纳解决此题．③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．【规