高中数学 第二章 平面向量 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示示范教案 新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量第三节平面向量的基本定理及坐标表示示范教案新人教A版必修4授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是平面向量的基本定理及坐标表示。这部分内容涉及到平面向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数乘以及向量坐标的定义和运算规则。具体内容包括：

1.平面向量的基本定理：两个向量相等的条件是它们的坐标成比例。

2.平面向量的坐标表示：向量可以用有序数对表示，即向量的坐标。

3.向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的坐标表示和运算规则。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.学生已经学习了初中数学中的平面几何知识，对向量的概念和基本运算有一定的了解。

2.学生已经学习了高中数学中的坐标系和坐标运算，能够理解和运用坐标表示向量。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过学习平面向量的基本定理及坐标表示，学生能够理解向量的抽象概念，并能够运用逻辑推理能力进行向量的线性运算。同时，学生能够通过建立向量坐标模型，运用数学建模能力解决实际问题。通过本节课的学习，学生将能够培养对数学抽象的思考方式，提高逻辑推理能力，并能够运用数学建模方法解决现实问题。学情分析考虑到本节课的对象是高中生，他们已经具备了一定的数学基础，包括初中数学中的平面几何知识以及高中数学中的坐标系和坐标运算。在学习平面向量的基本定理及坐标表示时，学生需要能够将已有的知识与新的内容进行联系和整合。

学生在知识方面，对于向量的概念和基本运算应该已经有所了解，但可能对于向量的坐标表示和线性运算的规则不够熟悉。因此，在教学过程中，教师需要帮助学生巩固和扩展已有的知识，引导学生将向量的抽象概念与坐标运算具体化，建立起向量坐标模型的认知。

在能力方面，学生需要具备一定的逻辑推理能力和数学建模能力。通过学习平面向量的基本定理及坐标表示，学生能够培养对数学抽象的思考方式，提高逻辑推理能力。同时，学生需要能够运用数学建模方法解决实际问题，这要求学生能够将所学的向量知识应用到具体的情境中，建立数学模型并进行运算和分析。

在素质方面，学生应该具备良好的学习习惯和积极的学习态度。对于本节课的学习，学生需要认真听讲、积极参与课堂讨论，并能够主动进行练习和思考。同时，学生应该具备一定的自主学习能力，能够通过自学和合作学习的方式，补充和完善自己的知识体系。

学生的行为习惯对于课程学习有着重要影响。如果学生能够按时完成作业，认真复习课堂内容，及时解决自己的疑问，那么他们的学习效果会更好。同时，学生在课堂上应该保持专注和积极，与老师和同学进行有效的互动，这将有助于他们的理解和掌握。教学方法与手段1.教学方法

（1）讲授法：通过教师的讲解，向学生传授平面向量的基本定理及坐标表示的相关知识，引导学生理解向量的抽象概念和线性运算的规则。

（2）讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生分享彼此对于向量坐标表示和线性运算的理解，促进学生之间的交流和思维碰撞，提高学生的逻辑推理能力。

（3）实践操作法：让学生通过实际操作，例如填写坐标表、绘制向量图等，将所学的向量知识付诸实践，加深学生对于向量概念和运算规则的理解和记忆。

2.教学手段

（1）多媒体设备：利用多媒体课件和教学视频，生动形象地展示向量的坐标表示和线性运算的过程，帮助学生直观地理解平面向量的基本定理及坐标表示。

（2）教学软件：运用教学软件进行课堂互动，例如进行向量运算的实时演示，让学生参与到课堂活动中来，激发学生的学习兴趣和主动性。

（3）在线学习平台：引导学生利用在线学习平台进行预习、复习和自主学习，提供丰富的学习资源和练习题，帮助学生巩固和扩展所学的知识，提高学生的自主学习能力。教学流程1.导入新课（用时：5分钟）

教师通过一个实际问题情境，例如在平面直角坐标系中，有两个点A(2,3)和B(5,7)，求从点A到点B的向量AB。让学生思考如何表示这个向量，引发学生对向量坐标表示的兴趣。接着，教师引导学生回顾已知的向量加法、减法和数乘的运算规则，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲授（用时：15分钟）

（1）教师首先介绍平面向量的基本定理，即两个向量相等的条件是它们的坐标成比例。举例说明，如果有两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则当且仅当存在非零实数k，使得a1=k*b1且a2=k*b2时，向量a和向量b相等。

（2）接着，教师讲解平面向量的坐标表示。明确向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影。同时，强调坐标表示的引入是为了方便向量的运算和应用。

（3）最后，教师介绍向量的线性运算。具体讲解向量的加法、减法和数乘的坐标表示和运算规则。例如，向量a=(a1,a2)和向量b=(b1,b2)的加法运算表示为a+b=(a1+b1,a2+b2)，减法运算表示为a-b=(a1-b1,a2-b2)，数乘运算表示为ka=(ka1,ka2)，其中k是非零实数。

3.实践活动（用时：10分钟）

（1）教师给出几个简单的向量运算题目，让学生在纸上进行计算。例如，计算向量a=(2,3)和向量b=(-1,2)的和、差和数乘。

（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

（3）教师选取部分学生的作业进行讲解和点评，强调向量运算的关键步骤和注意事项。

4.学生小组讨论（用时：10分钟）

（1）教师提出一个问题：如何判断两个向量是否平行？让学生进行小组讨论。

（2）学生通过讨论和思考，得出判断两个向量平行的条件是它们的坐标成比例，即存在非零实数k，使得一个向量的坐标是另一个向量坐标的k倍。

（3）教师引导学生总结判断两个向量平行的方法，并强调这个结论在解决实际问题中的应用。

5.总结回顾（用时：5分钟）

教师对本节课的主要内容进行简要回顾，强调平面向量的基本定理及坐标表示的重要性。同时，教师提醒学生要加强对向量运算规则的记忆和理解，并能够熟练运用到实际问题中。

整个教学流程共计用时45分钟。知识点梳理1.平面向量的基本定理：两个向量相等的条件是它们的坐标成比例。具体来说，如果有两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则当且仅当存在非零实数k，使得a1=k*b1且a2=k*b2时，向量a和向量b相等。

2.平面向量的坐标表示：向量可以用有序数对(x,y)表示，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影。这种表示方法有助于简化向量的运算和应用。

3.向量的线性运算：

-向量加法：两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的和表示为a+b=(a1+b1,a2+b2)。

-向量减法：两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的差表示为a-b=(a1-b1,a2-b2)。

-数乘运算：向量a=(a1,a2)与非零实数k的乘积表示为ka=(ka1,ka2)，其中k是非零实数。

4.向量坐标的运算规则：

-交换律：向量的加法、减法和数乘运算中，向量的坐标交换位置后，运算结果不变。

-结合律：向量的加法和减法运算中，括号内的向量坐标分别相加或相减，不影响最终结果。

-分配律：向量的数乘运算中，数与向量的坐标分别相乘，不影响最终结果。

5.向量平行的条件：两个向量平行当且仅当它们的坐标成比例，即存在非零实数k，使得一个向量的坐标是另一个向量坐标的k倍。

6.向量垂直的条件：两个向量垂直当且仅当它们的点积为零，即a·b=a1*b1+a2*b2=0。这是向量垂直的充分必要条件。

7.向量的模长：向量a=(a1,a2)的模长表示为|a|=sqrt(a1^2+a2^2)，即向量的坐标的平方和的平方根。模长表示向量的大小，是一个非负实数。

8.向量的方向：向量a=(a1,a2)的方向可以用反正切函数arctan(a2/a1)来表示，其中a1和a2不同时为零。这个角度是向量与x轴正方向的夹角。课堂小结，当堂检测1.课堂小结

本节课我们学习了平面向量的基本定理及坐标表示。通过学习，我们了解到两个向量相等的条件是它们的坐标成比例，向量可以用有序数对(x,y)表示，向量的线性运算包括向量加法、减法和数乘，以及向量坐标的运算规则、向量平行的条件、向量垂直的条件、向量的模长和方向等知识点。

2.当堂检测

（1）判断题：

1.两个向量相等，当且仅当它们的坐标成比例。（）

2.向量的坐标表示是为了方便向量的运算和应用。（）

3.向量加法的坐标表示是a+b=(a1+b1,a2+b2)。（）

4.向量的模长是一个非负实数。（）

（2）选择题：

1.向量a=(2,3)和向量b=(-1,2)的和是（）。

A.(1,1)B.(1,5)C.(-1,1)D.(-1,-1)

2.向量a=(1,1)的模长是（）。

A.1B.sqrt(2)C.2D.3

（3）填空题：

1.向量a=(a1,a2)与向量b=(b1,b2)平行，当且仅当______。（填空）

2.向量a=(a1,a2)与向量b=(b1,b2)垂直，当且仅当______。（填空）

（4）计算题：

1.计算向量a=(2,3)与向量b=(-1,2)的点积。（计算）

2.计算向量a=(1,1)与向量b=(2,2)的和。（计算）

3.计算向量a=(3,4)的模长。（计算）板书设计①平面向量的基本定理

-两个向量相等：a1=k*b1且a2=k*b2

-向量坐标表示：向量=（x，y）

-向量加法：a+b=(a1+b1,a2+b2)

-向量减法：a-b=(a1-b1,a2-b2)

-数乘运算：ka=(ka1,ka2)

②向量坐标的运算规则

-交换律：加法、减法、数乘运算中，向量的坐标交换位置后，运算结果不变

-结合律：加法、减法运算中，括号内的向量坐标分别相加或相减，不影响最终结果

-分配律：数乘运算中，数与向量的坐标分别相乘，不影响最终结果

③判断两个向量是否平行和垂直

-平行：坐标成比例

-垂直：点积为零（a·b=a1*b1+a2*b2=0）

④向量的模长和方向

-模长：|a|=sqrt(a1^2+a2^2)

-方向：arctan(a2/a1)（a1和a2不同时为零）

2.艺术性和趣味性

-使用图形、符号和色彩，使板书设计更具视觉吸引力

-通过有趣的例子和实际问题，将向量知识与现实生活相结合，激发学生的学习兴趣

-设计一些互动环节，如让学生参与板书设计，增加课堂参与度和趣味性教学反思首先，我发现学生的学习兴趣是激发学习动力的关键。在导入新课时，我通过实际问题情境引出向量的坐标表示，激发了学生的学习兴趣。在教学过程中，我通过生动形象的多媒体课件和教学视频，帮助学生直观地理解平面向量的基本定理及坐标表示。此外，我还设计了一些互动环节，如让学生参与板书设计，增加课堂参与度和趣味性。

其次，学生的自主学习能力对学习效果有重要影响。在教学过程中，我引导学生利用在线学习平台进行预习、复习和自主学习，提供丰富的学习资源和练习题，帮助学生巩固和扩展所学的知识。同时，我鼓励学生在课堂上积