一次函数01讲核心（原卷版）

考点1函数的概念1.在某人变化过程中有两个变量x和y，且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，其中x是自变量．2.函数的三种表示方法解析式法，列表法，图象法．3.自变量的取值范围（1）分式形式，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（2）二次根式形式，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的实数；（3）零指数负整数指数幂形式，自变量的取值范围是使底数不为零的实数；（4）组合形式，自变量的取值范围应是使各个式子有意义的实数；（5）整式形式，自变量的取值范围是全体实数；（6）实际问题，自变量的取值范围应使实际问题有意义．考点2函数图象及简单应用1.描点法画函数图象的一般步骤列表，描点，连线；2.实际生活中，函数值往往随着自变量的变化呈现出多种变化过程，如果用图象表示出来，就是一个直观的分段函数．考点3正比例函数的图象及性质1.正比例函数的概念一般地，把形如y＝kx(k为常数，且k0)的函数叫正比例函数字母名称取值范围x自变量一切实数y函数一切实数k比例系数非零实数2.正比例函数图象及性质（1）正比例函数的图象是经过原点的一和直线；（2）K的正负对图象的影响K的正负图象经过的象限图象性质k＞0函数的图象过一、三象限y随x的增大而增大k＜0函数的图象过二、四象限y随x增大而减小3.对图象的影响越大，图象越靠近y轴．考点4一次函数图象及性质1.一次函数的概念一般地，把形如y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，正比例函数是特殊的一次函数；2.一次函数的图象及性质（1）一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像是经过点和的一条直线；（2）一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图像可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图像平移得到；b＞0，向上平移b个单位长度；b＜0，向下平移|b|个单位长度（3）k、b的正负对图象的影响一次函数y＝kx＋b（k≠0）k，b符号k>0k<0b>0b＝0b<0b>0b＝0b<0图象一次函数y＝kx＋b（k≠0）k，b符号k>0k<0b>0b＝0b<0b>0b＝0b<0图象经过象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小考点5待定系数法1.待定系数法的定义先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中k、b的值，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．2.待定系数法的一般步骤步骤具体任务正比例函数示例一次函数示例设设函数解析式设y＝kxy＝kx＋b列将变量值或已知点的坐标代入解析式把（2，5）代入得5=2k把（5，7）(1,3)代入得解解方程（组）K=2.5写写出解析式y＝2.5xy＝x＋2考点6一次函数的应用1.一次函数的实际应用考查题型都为解答题，多与以下知识结合：(1)方程、不等式；(2)二次函数；(3)统计图的相关知识．2.用一次函数解决实际问题的一般步骤为：（1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义；（6）答．3．方案最值问题：对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案；对于最值问题，一般是用于分段函数．函数的概念及自变量的取值范围1.函数的概念的理解（1）两个变量x和y，如果是多个量，需要把其它的量保持不变；（2）y随x的变化而变化，y随x的确定而确定；（3）x取一个值，y有唯一的值与之对应．也就是可以多个x的值对应一个y的值，但一个y的值只能对应一个x的值；2.自变量的取值范围的理解（1）使解析式有意义；（2）有实际意义；（3）通常用不等式（组）求自变量的取值范围；【例题】（2022·广西·藤县藤州中学八年级阶段练习）1.下列各图能表示是的函数的是（）A. B. C. D.2.函数的自变量的取值范围是()A. B.且 C.且 D.且（2022·河北·原竞秀学校七年级期中）3.某公交车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x（人）与每天利润（利润=票款收入－支出费用）y元的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：x（人）…200250300350400…y（元）…－200－1000100200…根据表格中的数据，回答下列问题：（1）上表所反映的变化过程的两个变量中，______是自变量，______是因变量；（请用文字语言描述）；当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；（2）写出公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y=______；（3）借助关系式求当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？【练经典】4.下列图象中，表示是的函数的是（）A. B.C. D.5.函数的自变量的取值范围是（）A.3 B. C.且 D.且6.甲、乙两车沿笔直公路同向行驶，车速分别为和．目前甲车在乙车前处，设后两车相距，那么y关于x的函数表达式为_____．7.一水池的容积是，现蓄水，用水管以的速度向水池中注水，直到注满为止．（1）写出水池蓄水量与注水时间之间的关系式，并指出自变量的取值范围；（2）当时，水池蓄水量是多少？【练易错】易错点：混淆分式和二次根式有意义的条件而导致自变量取值范围出错8.函数的自变量取值范围是（）A. B. C. D.且函数图象的简单应用1.函数图象信息X轴Y轴图象上的点图象的变化自变量函数一对变量的值函数变化2.解答分段函数的思维要领一看函数值随自变量的变化是增加还是减少，也就是，在图象上表现为呈上升趋势还是呈下降趋势；二看某段变化过程中，变化是否均匀，分清是函数类型；三看变化速度的快慢，变化越快，对应的图象越陡；四看自变量变化，而函数值不变的水平线段的特殊情况；【例题】（2022·河北·石家庄外国语教育集团八年级期中）9.如图是某蓄水池的横断面的示意图，分深水区和浅水区，如果向这个蓄水池中以固定的水流量单位时间注水的体积注水注满水后停止注水，那么下列图中能大致表示水的深度与注水时间之间关系的图象的是（）A. B.C. D.10.A，B两地相距30km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地．如图，反映的是两人行进路程y（km）与行进时间t（h）之间的关系，①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4.5个小时到达目的地：③乙比甲迟出发0.5小时；④甲在出发5小时后被乙追上．以上说法正确的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个11.如图是A，B两种套餐每月资费y(元)与通话时间x(分钟)对应的函数图象，若小红每月通话时间大约为500分钟，则从A，B两种资费套餐中选择______套餐更合适．12.小刚从家出发步行去学校，几分钟后发现忘带作业，于是掉头原速返回并立即打给爸爸，挂断后爸爸立即跑步去追小刚，同时小刚以原速的两倍跑步回家，爸爸追上小刚后以原速的倍原路步行回家，而小刚则以原跑步速度赶往学校，并在从家出发23分钟后到校(小刚被爸爸追上时交流时间忽略不计)．两人之间相距的路程(米)与小刚从家出发到学校的时间(分钟)之间的函数关系如图所示，则小刚的步行速度为__________．【练经典】13.如图，长方形中，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿运动，到达点D后停止运动，若点Р的运动时间为，的面积为，则y与t之间函数关系的大致图像是（）A. B.C. D.14.“龟兔赛跑”是同学们熟悉的寓言故事，如图，表示了寓言中的龟、兔的路程S和时间t的关系（其中直线段表示乌龟，折线段表示兔子）．下列叙述正确的是（）A赛跑中，兔子共休息了50分钟B.乌龟在这次比赛中的平均速度是0.1米/分钟C.比赛过程中，兔子的平均速度比乌龟的平均速度快D.乌龟追上兔子用了20分钟15.甲、乙两位同学骑自行车，从各自家出发上学，他们离乙家的距离y(km)与出发时间x(min)之间的函数关系如图所示，则乙比甲早到________分钟．16.春节前，某面粉加工厂接到加工任务，要求5天内加工完220吨面粉，加工厂安排甲，乙两组共同完成加工任务．乙组加工中途停工一段时间维修设备，然后提高加工效率继续加工，直到与甲队同时完成加工任务为止．设甲、乙两组各自加工面粉数量（吨与甲组加工时间（天）之间的关系如图所示，结合图像，解答下列问题：（1）乙组中途休息了____天；甲组每天加工面粉_____吨；（2）乙组提高加工效率后，每天加工面粉多少吨？（3）加工几天，甲、乙两组共完成总任务的一半？【练易错】易错点：混淆图象中表示的变量而导致错误17.一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为（km）与货车行驶的时间为（h）之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（）A.货车行驶1小时到达B地B.货车的速度是C.轿车比货车早27分钟到达目的地D.货车行驶小时或2小时，两车相距一次函数的图象及性质1.系数k、b对图象的影响（1）系数k决定图象的形状时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大；时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小；（2）系数b决定图象与y轴的交点的位置图象与y轴的交点坐标为（0，b），时，图象与y轴交于正半轴；时，图象与坐标轴交于原点（0，0）；时，图象与y轴交于负半轴；（3）系数k、b一起决定图象的位置；；；；2.一次函数图象的变换（1）平移原直线解析式平移的方向与距离平移后直线解析式规律沿y轴向上平移m个单位上加下减常数项沿y轴向下平移m个单位沿x轴向左平移m个单位左加右减自变量沿x轴向右平移m个单位（2）对称原直线解析式对称的形式对称后直线解析式规律关于x轴对称X不变，y变相反数关于y轴对称y不变，x变相反数关于原点对称X与y都变相反数3.两个一次函数的图象与性质（如l1：y1＝k1x＋b1，l2：y2＝k2x＋b2）（1）（2）当k1≠k2，b1＝b2＝b时，y1与y2交于点；（3）当k1＋k2＝0，b1＝b2时，y1与y2关于y轴对称．【例题】18.已知一次函数的图像经过，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.19.在下列叙述中，正确的个数有（）①正比例函数的图象经过二、四象限；②一次函数中，y随x的增大而增大；③函数中，当时，函数值为；④一次函数图象与x轴交点为．A.1个 B.2个 C.3个 D.4个20.一次函数与（为常数，且）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（）A. B. C. D.21.已知一次函数的值随值的增大而增大，那么该函数的图象经过第___________象限．22.在平面直角坐标系中，若一次函数的图象沿y轴向上平移3个单位长度后得到一次函数的图象，则b的值为______．【练经典】23.已知一次函数的图象过二、三、四象限，则下列结论正确的是（）A.， B.，C.， D.，24.点和点在直线上，已知直线与y轴交于正半轴，且，则m的值可能是（）A. B. C.3 D.425.两个函数和，它们在同一个坐标系中的图像不可能是（）A. B. C. D.26.已知直线平行于直线，则m的值为______________．27.已知正比例函数y＝（m﹣1）的图象在第二、四象限，则m的值为_____，函数的解析式为_____．28.把直线向左平移5个单位，再向上平移6个单位后，作关于原点的对称直线，求这条直线的解析式．【练易错】易错点：混淆一次函数图象的变换规律而致错29.一次函数的图象先向下平移4个单位，再向右平移2个单位，作关于x轴对称，对称后的直线的解析式为，求原函数图象的解析式．一次函数与方程、不等式的关系1.一元一次方程与一次函数的关系（1）一元一次方程ax+b=0可以看作是一次函数y=ax+b的函数值为0时的特殊情形；（2）直线y=ax+b与x轴交点的横坐标是一元一次方程ax+b=0的解；2.一元一次不等式与一次函数的关系一元一次不等式一次函数y=ax+b对应的函数图象ax+b>0y>0时自变量x的取值范围X轴上面的图象ax+b<0Y<0时自变量x的取值范围X轴下面的图象ax+b>my>m时自变量x的取值范围直线y=m上面的图象ax+b<my<m时自变量x的取值范围直线y=m下面的图象3.二元一次方程与一次函数的关系（1）任意一个二元一次方程都可以化成y=kx+b的形式，即每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线；（2）直线y=kx+b的每一点的横、纵坐标均为这个二元一次方程的解．4.二元一次方程组与一次函数的关系（1）二元一次方程组中的每个方程可看作一次函数的解析式；（2）求二元一次方程组的解可以看作求两个函数交点的坐标；5.数形结合（1）涉及交点问题，通常把函数问题转化为方程问题求解；（2）涉及不等式问题，通常把不等式问题转化为函数问题求解，常常观察图象对应部分的上、下位置及交点坐标来确定解集．【例题】30.如图，一次函数，的图象经过、两点，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.31.如图，直线y＝kx+b（k、b是常数k≠0）与直线y＝2交于点A（4，2），则关于x的不等式kx+b＜2的解集为_____．32.如图，直线与交点的横坐标为1，则关于的二元一次方程组的解为___________．33.一次函数图像经过点和点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）请在如图的平面直角坐标系内画一次函数的图像，回答下列问题：①它的图像与x轴的交点坐标是____________．②当x____________，时，．【练经典】34.已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.35.已知一次函数和相交于点，则不等式中的取值范围为_________．36.如图，一次函数和的图象相交于点A(2，−1)．（1）求k，b的值；（2）根据图象，若，写出x取值；若，写出x取值．【练易错】易错点：混淆不等式与函数的关系导致解集错误37.在平面直角坐标系中，一次函数和，无论取何值，始终有，的取值范围为（）A. B. C.且 D.且一次函数的应用1.一次函数与几何综合（1）面积问题通常构造轴边三角形（即有一条边在坐标轴上的三角形）来求解；（2）存在性质问题即构成全等三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、平行四边形和特殊的平行四边形，需要结合图形的判定来求解；2.一次函数与实际问题（1）有图象类问题通常要结合图象求解析式，结合实际构建方程或不等式求解；（2）无图象类问题要结合题意求解析式，结合实际构建方程或不等式求解；（3）方案问题通常涉及两个相关量，根据所满足的关系式，列不等式，求解出某一个变量的取值范围，再根据另一个变量所满足的条件，即可确定有多少种方案．（4）最值问题（1）将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；（2）求函数关系式，由一次函数的增减性确定最值；若为分段函数，应分类讨论，先计算出每个分段函数的最值，再进行比较，最后确定最值.【例题】38.过点的直线l与正比例函数的图象交于点、与x轴交于点C．（1）求直线l、正比例函数的解析式和点C的坐标；（2）求的面积．39.互联网时代，一部就可搞定午餐是新零售时代的重要表现形式，打包是最早出现的外卖形式，虽然古老，却延续至今，随着、、网络的普及，外卖行业得到迅速的发展．某知名外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案：方案一：每日底薪50元，每完成一单外卖业务再提成3元；方案二：每日底薪80元，外卖业务的前30单没有提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元．设骑手每日完成的外卖业务量为x单（x为正整数且），方案一、方案二中骑手的日工资分别为、（单位：元）．（1）分别写出、关于x的函数关系式；（2）若小强是该外卖平台的一名骑手，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？并说明理由．40.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．（1）填空：，；（2）求的面积；（3）在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（4）点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．【练经典】41.如图所示，过点的直线交y轴于点B，点B在原点上方，已知．（1）求点B的坐标：（2）若过点A的直线交y轴于点C，的面积为3，求直线的函数表达式．42.“双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．（1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？（2）学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，跳绳的数量不多于452根，请问有几种购买方案并指哪种方案学校花钱最少．43.如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接．（1）求直线的解析式；（2）点P为直线上一动点，若，求点P的坐标；（3）在第二象限找一点M使得为等腰直角三角形，直接写出点M所有可能的坐标．【新定义小练】44.定义：在函数中，我们把关于的一次函数与称为一组对称函数，例如与是一组对称函数．请完成下列问题：（1）一次函数的对称函数在轴上的截距为__；（2）若一次函数的对称函数与轴交于点，与轴交于点，且三角形的面积为12，则的值为__．45.给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”．例如：如图，点，，的“完美间距”是1．（1）点的“完美间距”是_____________；（2）已知点．①若点O，A，B的“完美间距”是2，则y的值为____________；②点O，A