14.3因式分解（讲练）-2022-2023学年八年级数学上册重要考点(人教版)

14.3因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【答案】C【解析】【解答】解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法运算，故不符合题意；B、x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3的右边不是积的形式，故不符合题意；C、x2﹣4x+4＝（x﹣2）2是因式分解，符合题意；D、x3﹣x＝x（x2﹣1）=x（x+1）（x1），原式分解不彻底，故不符合题意.故答案为：C.【分析】把一个多项式在一个范围内化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止，据此判断即可.【变式11】下列各式的变形中，属于因式分解的是()A．(x+1)(x−3C．x2−xy−1=x(【答案】B【解析】【解答】解：A、从左到右的变形为整式乘法，故不符合题意．B、左边为多项式，右边为整式的积，故符合题意．C、左边为多项式，右边为整式的积，但等号不成立，故不符合题意．D、左边、右边均为多项式，故不符合题意．故答案为：B．【分析】根据因式分解的定义对每个选项一一判断即可【变式12】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．a(x+y)=ax+ay B．aC．−x4+16=(【答案】B【解析】【解答】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；B、是因式分解，选项正确；C、−xD、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误.故答案为：B.【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.注意：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.题型2：找公因式2.代数式15a3b3(a−b)，A．5a2b(b−a)C．5ab(b−a) D．120【答案】A【解析】【解答】解：因为5a2b（b−a）＝−5a2b（a−b），−120a3b3（a2−b2）＝−120a3b3（a＋b）（a−b），所以代数式15a3b3（a−b），5a2b（b−a），−120a3b3（a2−b2）中的公因式是5a2b（b−a）．故答案为：A．【分析】多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。根据公因式的定义求解即可【变式21】多项式m2－4n2与m2－4mn＋4n2的公因式是（）A．（m＋2n）（m－2n) B．m＋2nC．m－2n D．（m＋2n）（m－2n）2【答案】C【解析】【分析】此题先运用平方差公式将m24n2因式分解，然后用完全平方公式化简m24mn+4n2，然后提取公因式即可．【解答】m24n2=（m2n)（m+2n)，

m24mn+4n2=（m2n)2，

∴m24n2与m24mn+4n2的公因式是m2n．

故选：C．【点评】此题考查的是对公因式的提取，运用平方差公式将原式因式分解或运用完全平方公式进行计算【变式22】多项式15a2b2+5a2b﹣20a2b2中各项的公因式是．【答案】5a2b【解析】【解答】因为每一项都有5a2b，所以多项式各项的公因式为5a2b；故答案为5a2b.【分析】由题可知每一项都有5a2b，即可求解；提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a23a；

（2）分解因式：3x2y6xy2．【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；

（2）利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：（1）a23a=a（a3）；

（2）3x2y6xy2=3xy（x2y）．【点评】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键．【变式31】分解因式：

（1）a（x2y）b（2yx）；

（2）x（x+y）（xy）x（x+y）2．【解答】解：（1）a（x2y）b（2yx）

=a（x2y）+b（x2y）

=（x2y）（a+b）；

（2）x（x+y）（xy）x（x+y）2．

=x（x+y）[xy（x+y）]

=x（x+y）（xyxy）

=2xy（x+y）．【点评】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键．【变式32】因式分解

（1）3x3y2+6x2y33xy4；

（2）3x（ab）6y（ba）．【解答】解：（1）原式=3xy2（x22xy+y2）

=3xy2（xy）2；

（2）原式=3x（ab）+6y（ab）

=3（ab）（x+2y）．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的方法是解决本题的关键．题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．【分析】将原式提取公因式xy,进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵xy=3，x+y=2，

∴x2y+xy2=xy（x+y）=3×2=6．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【变式41】已知a+b=3，ab=2，求代数式a2b+2a2b2+ab2的值．【解答】解：（1）a2b+2a²b²+ab2=ab（a+2ab+b）=ab（a+b+2ab），

∵a+b=3，ab=2，

∴ab（a+b+2ab）=2×（3+2×2）=14．【点评】本题考查了因式分解的提取公因式法，找到公因式是解决此题关键．【变式42】若a=5，a+b+c=5.2，求代数式a2（bc）3.2（c+b）的值．【分析】首先提取公因式（b+c），进而利用a=5，a+b+c=5.2，得出b+c=0.2求出即可．【解答】解：a2（bc）3.2（c+b）

=a2（b+c）3.2（b+c）

=（b+c）（a2+3.2），

∵a=5，a+b+c=5.2，

∴b+c=5.2a=5.2+5=0.2，

∴原式=（b+c）（a2+3.2）=0.2×（25+3.2）=5.64．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：注意：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：

（1）a29；解：（1）原式=a232

=（a+3）（a3）；（2）25−14m解：原式=52（12m）2=（5+12m）（5【点评】本题主要考查了因式分解，掌握每一种因式分解的方法在不同题型中的熟练应用是解题关键．【变式51】因式分解：（1）a4b4．【分析】逆用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a4b4

=（a2+b2）（a2b2）

=（a2+b2）（a+b）（ab）．（2）x4+16．

解：x4+16

=（x416）

=（x2+4）（x24）

=（x2+4）（x+2）（x2）．【变式52】把（a2a）2（1a）2因式分解．【解答】解：（a2a）2（1a）2

=（a2a+1a）[a2a（1a）]

=（a22a+1）（a2a1+a）

=（a1）2（a21）

=（a1）2（a+1）（a1）

=（a1）3（a+1）．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x24x+4．解：原式=x24x+22

=（x2）2．（2）16m28mn+n2．解：（2）16m28mn+n2=（4mn）2．（3）4x2+20x+25；

解：（3）4x2+20x+25

=（2x）2+2⋅2x⋅5+52

=（2x+5）2；（4）4x22x+1解：（4）(2x−12【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解题的关键．【变式61】因式分解：（1）（xy）26（xy）+9解：原式=（xy3）2．（2）（x2+9）236x2【解答】解：原式=（x2+9+6x）（x2+96x）=（x+3）2（x3）2．【点评】此题主要考查了因式分解，关键是掌握平方差公式：a2b2=（a+b）（ab）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．【变式62】因式分解：（1）（a2+b2）24a2b2．解：原式=（a2+b22ab）（a2+b2+2ab）

=（ab）2（a+b）2．（2）−x3+x2y−14xy2解：（1）原式=x（x2xy+14y2）

=x（x12y）2；

（3）（7x2+2y2）2（2x2+7y2）解：原式=[（7x2+2y2）+（2x2+7y2）][（7x2+2y2）（2x2+7y2）]

=（9x2+9y2）（5x25y2）

=45（x2+y2）（x+y）（xy）．题型7：十字相乘法分解因式7.因式分解：（1）x23x+2；解：（1）x23x+2=（x2）（x1）；（2）x22x15解：原式=（x+3）（x5）；（3）x27x+12．解：x27x+12

=x2+（34）x+（3）（4）

=（x3）（x4）．【变式71】因式分解：（1）（x2+4x）2（x2+4x）20．【分析】直接利用十字相乘法分解因式得出即可．【解答】解：原式=（x2+4x5）（x2+4x+4）

=（x+5）（x1）（x+2）2．（2）（xy）2+4（xy）+3令A=xy,

则原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），

所以（xy）2+4（xy）+3=（xy+1）（xy+3）；【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4xa2+4．解：x2+4xa2+4

=x2+4x+4a2

=（x+2）2a2

=（x+2+a）（x+2a）．（2）9x2+2xyy2．解：9x2+2xyy2

=9（x22xy+y2）

=9（xy）2

=（3+xy）（3x+y）．【变式81】因式分解：（1）x3+3x2y4x12y.【解答】解：x3+3x2y4x12y

=（x3+3x2y）（4x+12y）

=x2（x+3y）4（x+3y）

=（x+3y）（x24）

=（x+3y）（x+2）（x2）．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．（2）x24xy+4y21解：x24xy+4y21=（x24xy+4y2）1=（x2y）21=（x2y+1）（x2y1）．（3）2x24xy+3x6y解：原式=2x（x2y）+3（x2y）

=（x2y）（2x+3）．【变式82】因式分解：

（1）1x2+2xyy2

（2）25（x+y）236（xy）2【解答】解：（1）1x2+2xyy2

=1（x22xy+y2）

=1（xy）2

=（1x+y）（1+xy）；

（2）25（x+y）236（xy）2

=[5（x+y）]2[6（xy）]2

=（5x+5y+6x6y）（5x+5y6x+6y）

=（11xy）（11yx）．【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法的一般步骤是解题的关键．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982解2022+202×196+982

=2022+2×202×98+982

=（202+98）2

=3002

=90000．（2）652352；解：（2）原式=（65+35）×（6535）

=100×30

=3000；【变式91】利用因式分解简化计算：（1）2002400×199+1992解：（1）2002400×199+1992

=20022×200×199+1992

=（200199）2

=1．（2）2.22+4.4×17.8+17.82．解：原式=（2.2+17.8）2

=202

=400．【变式92】利用因式分解计算：

（1）9002894×906；

（2）2.68×15.731.4+15.7×1.32．【解答】（1）9002894×906

=9002（9006）（900+6）

=9002（900262）

=90029002+62

=36．

（2）2.68×15.731.4+15.7×1.32

=15.7×（2.68+1.32）31.4

=15.7×431.4

=31.4×231.4

=31.4．【点评】本题考查因式分解的应用，关键是熟记因式分解的方法．题型10：利用因式分解求系数的值10.已知多项式2xx+m有一个因式(2x+1),求m的值.【答案】解答：解法一：设2x3x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),

则2x3x2+m=2x3+（2a+1）x2+(a+2b)x+b

比较系数得2a+1=−1a+2b=0b=m,解得a=−1b=12m=12,∴m=12

解法二：设2x3x2+m=A·（2x+1）（A为整式）【解析】【分析】本题考查了提公因式法，掌握运算法则是解答本题的关键.【变式101】已知x2+mx15=（x+3）（x+n），求n+m的值．【分析】根据多项式乘多项式法则运算：（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n,再由题意可得3+n=m,3n=15，求出m、n即可．【解答】解：∵（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n,

∴3+n=m,3n=15，

∴n=5，m=2，

∴m+n=（2）+（5）=7．【点评】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【变式102】将多项式x23x+2分解因式x23x+2=（x2）（x1），说明多项式x23x+2有一个因式为x1，还可知：当x1=0时x23x+2=0．

利用上述阅读材料解答以下两个问题：

（1）若多项式x2+kx8有一个因式为x2，求k的值；

（2）若x+2，x1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值．【分析】（1）把x=2代入x2+kx8得到4+2k8=0，求得k的值即可；

（2）分别将x=2和x=1代入2x3+ax2+7x+b得到有关a、b的方程组求得a、b的值即可．【解答】解：（1）令x2=0，即当x=2时，4+2k8=0，解得：k=2；

（2）令x=2，则16+4a14+b=0①，

令x=1，则2+a+7+b=0②，

由①，②得a=13，b=22．【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是熟悉因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．解：a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，

∵a+b=5，ab=3，

∴ab（a+b）2=3×52=75，

∴a3b+2a2b2+ab3的值为75．【变式111】根据已知条件，求出下列代数式的值：

（1）已知x+2y=4，xy=1，求代数式x2+4y2+3xy的值；

（2）已知m2+m1=0，求代数式m3+2m2+2022的值．【分析】（1）将代数式x2+4y2+3xy通过添加xy项，逆用完全平方公式把代数式化成x+2y与xy的形式，然后代入求值；

（2）将代数式m3+2m2+2022通过裂项、提公因式法分解因式化成与m2+m有关的形式，然后整体代入，进行降次后，在整体代入求值．【解答】解：（1）x2+4y2+3xy

=x2+4y2+4xyxy

=（x+2y）2xy

∵x+2y=4，xy=1，

∴原式=421

=15．

（2）m3+2m2+2022

=m（m2+m）+m2+2022

∵m2+m1=0，

∴m2+m=1

原式=m+m2+2022

=1+2022

=2023【点评】本题考查了代数式的化简求值，解题的关键是利用因式分解把代数式分解化成与已知条件有关的式子，然后代入求值即可．【变式112】已知a+b=32，ab=43，求代数式a3b+2a2b2+ab【分析】先利用因式分解的方法得到原式=ab（a+b）2，然后利用整体代入的方法计算原式的值．【解答】解：a3b+2a2b2+ab3

=ab（a2+2ab+b2）

=ab（a+b）2，

∵a+b=32，ab=∴原式=ab（a+b）2=43×（32）2=3，

即代数式a3b+2a2b2+ab3【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2（n5）2都能被24整除.【答案】解：(n+7)=24（n+1），∴能被24整除.【解析】【分析】利用平方差公式将代数式（n+7）2（n5）2因式分解可以得到（n+7）2（n5）2=24（n+1），即可得到答案。【变式121】如果n是正整数，求证：3n+22n+2+3n2n能被10整除.【答案】证明：∵3n+22n+2+3n2n=3n⋅322n⋅22+3n2n=3n(32+1)2n(22+1)=10⋅3n10⋅2n1=10(3n2n1).∴3n+22n+2+3n2n能被10整除.【解析】【分析】先逆用同底数幂的乘法法则将代数式变形，再利用分组分解法分解因式，从而得出含有10的因数，据此即可解决问题.【变式122】求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2【答案】证明：∵n是整数，∴2n+1与2n1是两个连续的奇数，∴（2n+1）2（2n1）2=（2n+1+2n1）（2n+12n+1）=4n×2=8n，∴两个连续奇数的平方差（2n+1）2（2n1）2是8的倍数．【解析】【分析】运用平方差公式将（2n+1）2（2n1）2化简，得出结果含有因数8即可．题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．【答案】解：由题意可得2（a+b）＝14，ab＝10，∴a+b＝7，ab＝10，∴a2b+2ab+ab2＝ab（a+2+b）＝ab（a+b+2）＝10×（7+2）＝90．【解析】【分析】先求出a+b＝7，ab＝10，再计算求解即可。【变式131】现有若干张长方形和正方形卡片,如图所示.请运用拼图的方法,选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形,使它的面积等于a2+4ab+3b2,并根据拼成图形的面积,把多项式a2+4ab+3b2因式分解.【答案】解：如图a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)【解析】【分析】本题主要考查因式分解与几何图形之间的联系，对小卡片的面积和要拼成的大长方形的面积进行比较，从而得出所需小卡片的张数是解题的关键.

取1张边长为a的大正方形卡片，3张边长为b的小正方形卡片和4张长为a，宽为b的小长方形卡片，可以

拼成题目所要求的大长方形，它的面积为a2＋4ab＋3b2，它的边长分别为(a＋b)和(a＋3b).所以a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b).

【变式132】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A与B的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S的值都保持不变，问m与y应满足什么条件？【答案】（1）由题意可知：长方形B的长=3y，长方形A的长与小长方形的长一样；

阴影A的面积为(m−3y)(x−2y)=6y2−(2m+3)y+mx，

阴影B面积为3y(x−m+3y)=9y2−3my+3xy；（2）S=[6y2−(2m+3)y+mx]−(9y2−3my+3xy)=−3y2+my−6xy+mx；

当m=6，y=1时，S=−3+6+6x−6x=3；（3）S=(m−6y)x−3y2+my，

∵当x取任何实数时，面积差S的值都保持不变

∴由结果与x无关，得到m−6y=0，

整理得：m=6y.【解析】【分析】（1）找出阴影A中的长与宽，表示出A的面积，找出阴影B中的长与宽，表示出B的面积；（2）由AB表示出S，然后根据多项式加减法法则进行化简，把m与y的值代入计算即可求出S的值；（3）S变形后，根据结果与x值无关确定出m与y的关系式即可题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【答案】解：由原式可得，a（2+b）=c（2+b），∵2+b≠0，a、b、c不等于0，∴a=c，∴ΔABC是等腰三角形.【解析】【分析】先求出a（2+b）=c（2+b），再求出a=c，最后判断求解即可。【变式141】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c【答案】解：∵b2∴b2∵△ABC的三边长分别为a、b、c，∴b−c=0，∴b=c，

∴△ABC是等腰三角形.【解析】【分析】将已知等式转化为（bc）（b+c+2a）=0，由此可证得b=c，即可判断出△ABC的形状.【变式142】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b【答案】解：△ABC是等腰三角形理由：∵a∴a∴(a+b)(a−b)+c(b−a)=0∴(a−b)(a+b−c)=0∵根据三角形的三边性质有：a+b>c即a+b−c≠0故a−b=0，即a=b∴△ABC是等腰三角形【解析】【分析】利用分组分解法将等式的左边因式分解把等式化为（ab）（a+bc）=0的形式，得出a=b，即可判断△ABC是等腰三角形.【变式143】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．【答案】解：该三角形为等边三角形，理由如下：

∵a2+b2+c2=ab+bc+ac，

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，

∴（a22ab+b2）+（a22ac+c2）+（b22bc+c2）=0，

即（ab）2+（ac）2+（bc）2=0，

∴a=b=c，

∴该三角形为等边三角形.【解析】【分析】等式两边同时乘以2，移项，完全平方差公式，根据平方的非负性，计算即可得出答案.一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2xA．x−2y B．x−2y+1 C．x−4y+1 D．x−2y−1【答案】B【解析】【解答】解：2x故答案为：B.【分析】用多项式的各项分别除以2x，将剩下的商式写在一起即可求解.2．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（）A．a2+a+14 B．a2+b22ab C．−a2【答案】D【解析】【解答】解：A.a2B.a2C.−aD.−4−b故正确选项为D.【分析】根据多项式的项数及各项的特点：A，B选项中含有三项，都能用完全平方公式分解因式，可对A，B作出判断；C，D选项中的多项式都含有两项，每一项的绝对值都能写成平方形式，但D选项中两项符号相同，因此C能分解，D不能分解.3．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y） D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【答案】B【解析】【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．故选B．【分析】根据互为相反数的两数的平方相等，把（y﹣x）2写成（x﹣y）2，然后提取公因式（x﹣y），整理即可．4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（）A．2560 B．490 C．70 D．49【答案】B【解析】【解答】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，∴ab＝10，a+b＝7，∴a3b+2a2b2+ab3＝ab（a+b）2＝10×72＝490．故答案为：B．【分析】根据长方形的面积和周长公式可得ab＝10，a+b＝7，再将代数式a3b+2a2b2+ab3化简为ab（a+b）2，再将数据代入计算即可。5．计算22021+(2)2020所得的结果是()A．22020 B．22021 C．22020 D．2【答案】A【解析】【解答】解：22021+（2）2020=2×22020+22020=22020×（2+1）=22020.故答案为：A.

【分析】根据乘方的运算法则把原式变形为2×22020+22020，再提公因式得出原式=22020×（2+1），即可得出答案.6．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（）A．2 B．5 C．20 D．9【答案】A【解析】【解答】解：c2c(c+a+b)(c−a−b)=10∵a+b+c=﹣5∴c−a−b=−2a+b−c=2故答案为：A

【分析】利用分组分解因式可将原式化为(c+a+b)(c−a−b)=10，再将a+b+c＝﹣5代入计算即可。7．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25A．6 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【解答】解：（2n+3）225=[（2n+3）+5][（2n+3）5]=（2n+8）（2n2）=4（n+4）（n1），∴（2n+3）225一定能被4整除，故答案为：C.【分析】先化简代数式求出（2n+3）225=4（n+4）（n1），再求解即可。8．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足A．围成一个等腰三角形 B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形 D．不能围成三角形【答案】A【解析】【解答】解：a2(a+b)(a−b)+c(b−a)=0，(a−b)(a+b−c)=0，∴a=b或a+b=c，当a=b时，围成一个等腰三角形；当a+b=c时，不能围成三角形；故答案为：A．

【分析】利用分组分解因式的方法将a2−b2−ac+bc=0化为(a−b)(a+b−c)=0二、填空题9．下列因式分解正确的是（填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2【答案】①④【解析】【解答】解：①x2②x2③x2④4x故答案为：①④．【分析】①提取公因式x，再判断；②利用完全平方公式分解即可；③利用平方差公式分解，再判断；④利用完全平方公式分解，再判断.10．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2=．【答案】a（x﹣2y）2【解析】【解答】解：原式=a（x2﹣4xy+4y2）=a（x﹣2y）2，故答案为：a（x﹣2y）2【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2=．【答案】20【解析】【解答】解：∵m+n=5，mn=4，∴m2n+mn2=mn（m+n）=4×5=20．故答案为：20．【分析】将原式提取公因式分解因式，进而代入求出即可．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝.【答案】(1−a+b)(1+a−b)【解析】【解答】解：原式=1−(=1−=(1+a−b)[1－(a−b)]=(1+a−b)(1−a+b)故答案为：(1−a+b)(1+a−b).

【分析】原式可变形为1(a22ab+b2)，然后利用完全平方公式以及平方差公式分解即可.13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab【答案】70【解析】【解答】解：依题意：2a+2b=14，ab=10，则a+b=7∴a2b+ab2=ab（a+b）=70；故答案为：70【分析】先求出2a+2b=14，ab=10，再计算求解即可。14．若△ABC的三条边a，b，c满足关系式：a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，则△ABC的形状是.【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵a4＋b2c2﹣a2c2﹣b4＝0，∴（a2＋b2）（a2−b2）−c2（a2−b2）＝0∴（a2−b2）（a2＋b2−c2）＝0

∴（ab）（a+b）（a2＋b2−c2）＝0‘

由于a+b≠0，’∴a−b＝0或a2＋b2−c2＝0∴△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形.故答案为：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.【分析】利用分组分解法将左式进行因式分解，则可得出a−b＝0或a2＋b2−c2＝0，则可判断出△ABC的形状.15．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为．【答案】(x+3)【解析】【解答】解：∵分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)，∴在(x+2)(x+4)＝x2+6x+8中，a＝6是正确的，∵分解因式x2+ax+b时，乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9)，∴在(x+1)(x+9)＝x2+10x+9中，b＝9是正确的，∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝(x+3)2故答案为：(x+3)【分析】根据题意，可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入多项式进行因式分解即可。三、解答题16．因式分解：（1）a（2）1（3）(【答案】（1）解：a（2）解：1（3）(【解析】【分析】(1)先提取公因式a，然后再用平方差公式求解；(2)用完全平方公式直接进行因式分解即可；(3)先用平方差公式进行因式分解，然后再用完全平方式求解即可．17．把下列各式因式分解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）（2）25（x﹣y）2+10（y﹣x）+1（3）（x2+y2）2﹣4x2y2（4）4m2﹣n2﹣4m+1．【答案】解：（1）x2（y﹣2）﹣x（2﹣y）=x（y﹣2）（x+1）；（2）原式=25（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+1=[5（x﹣y）﹣1]2=（5x﹣5y﹣1）2；（3）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2﹣2x