2025年中考数学复习之四边形

2025年中考数学复习热搜题速递之四边

选择题（共10小题）

1.如图，在四边形ABC。中，ZA+ZD=a,/ABC的平分线与的平分线交于点P,则/尸=（）

2.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点，将aABE沿AE折叠，使点B落在矩形

内点尸处，连接CF,则的长为（）

1

3.如图，nABCZ）的对角线AC、8。交于点O,AE平分/BAO交8C于点E,且NAOC=60°,AB=产,

连接。E.下列结论：

①/CW=30°；

②S°ABCD=AB・AC；

®OB=AB-,

④OE=JBC,成立的个数有（）

41

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

5.如图，在正方形A8C。的外侧，作等边三角形ADE,AC.BE相交于点F,则N8FC为（）

C.60°D.75°

6.如图，四边形A8CD是菱形，AC=8,DB=6,于H,则。H等于（)

C.5D.4

7.如图，将□ABC。沿对角线AC折叠，使点B落在2,处,若N1=N2=44°,则N2为(

D.124°

8.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（

A.四边形B.五边形C,六边形D.八边形

9.如图，口48。的对角线AC与8。相交于点。，AB±AC,若A2=4,AC=6,则8。的长是（

10.如图，菱形ABCZ）的对角线AC,8。相交于。点，E,尸分别是A3,BC边上的中点，连接跖.若

EF=W,BD=4,则菱形A8CD的周长为（）

A.4B.4V6C.4V7D.28

二.填空题（共5小题）

11.如图，在菱形ABC。中，对角线AC与BO相交于点。，AC=8,BD=6,OE±BC,垂足为点E,则

0E=

12.如图，E,尸是正方形ABC。的边A。上两个动点，满足?连接C尸交2。于点G,连接8E

交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段。“长度的最小值是.

13.如图，在边长为2的菱形ABC。中，乙4=60°,M是边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMV

沿所在直线翻折得到△&'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是.

14.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4西,。为边AB上一动点（2点除外），以CD为一边作正方

CDEF,连接BE,则面积的最大值为

E

15.如图，在DABCD中，AD=2AB,尸是的中点，作CE_LAB,垂足E在线段AB上，连接EF、CF,

则下列结论中一定成立的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

16.己知，正方形A3CD中，ZMAN=45°,NMAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C8、DC(或

它们的延长线)于点M、N,AHLMN于点、H.

(1)如图①,当/MAN绕点、A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系:；

(2)如图②，当/M4N绕点A旋转到BMWON时，(1)中发现的AH与43的数量关系还成立吗？如

果不成立请写出理由，如果成立请证明；

(3)如图③，已知NMAN=45°,AHLMN于点H,且MH=2,NH=3,求A8的长.(可利用(2)

得到的结论)

图①图②图③

17.如图，在四边形ABC。中，AB//DC,AB^AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分过点C

作CELAB交AB的延长线于点E,连接OE.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)AB=V5,BD=2,求0E的长.

DC

18.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中点，E是A。的中点，过点A作A/〃BC交BE的延长

线于点F.

(1)求证：4AEF咨ADEB；

(2)证明四边形AOCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCE的面积.

19.如图，分别以Rt^ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△AC。及等边△ABE.已知N8AC=30°,

EF±AB,垂足为R连接。H

(1)试说明AC=EF；

(2)求证：四边形AOFE是平行四边形.

20.如图，点〃是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM,点E是线段AM上一点，/COE的平分线交

AM延长线于点足

(1)如图1,若点E为线段AM的中点，BM-.CM=\-.2,BE=V10,求AB的长;

(2)如图2,若DA=DE,求证：BF+DF=V2AF.

图1图2

2025年中考数学复习热搜题速递之四边形(2024年7月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题)

1.如图，在四边形4BCD中，ZA+ZD=a,/4BC的平分线与的平分线交于点P,则NP=()

111

A.90°一加B.90°+如C.-aD.3600-a

222

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理.

【专题】几何图形问题.

【答案】C

【分析】先求出NABC+N3C。的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解NP的

度数.

【解答】解：：四边形A3C。中，ZABC+ZBCD^360°-CZA+ZD)=360°-a,

；PB和PC分别为/ABC、ZBCD的平分线，

i1i

AZPBC+ZPCB=(NABC+NBCD)=.(360°-a)=180°-ja,

则NP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-(180°-1a)=1a.

故选：C.

【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题.

2.如图，在矩形ABCD中，AB=4,8C=6,点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点8落在矩形

内点F处，连接CF,则CF的长为()

【考点】矩形的性质；翻折变换(折叠问题).

【答案】D

【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到/2月。=90°,

根据勾股定理求出答案.

【解答】解：连接BR

：8C=6,点E为BC的中点，

:.BE=3,

又YA"%

：.AE=7AB2+BE?=5,

由折叠知，BFLAE（对应点的连线必垂直于对称轴）

,皿ABXBE12

.•2代=亏’

则BF=曾，

•；FE=BE=EC,

：.ZBFC=90°,

【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠

前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

1

3.如图，nABCZ）的对角线AC、8。交于点O,AE平分/BAD交BC于点E,且NAOC=60°,AB=产,

连接。E.下列结论：

①/CW=30°；

②S°ABCD=AB・AC；

®OB=AB-,

@0E=\BC,成立的个数有（）

AD

O

BEC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角

三角形.

【专题】压轴题.

【答案】C

【分析】由四边形4BCD是平行四边形，得到/ABC=/AOC=60°,ZBAD=120°,根据AE平分

ABAD,得到N8AE=NE4O=60°推出△ABE是等边三角形，由于48=抑7,得到AE=抑7,得到

△ABC是直角三角形，于是得到/。4。=30°,故①正确；由于AC1AB,得到S^ABCD=AB-AC,故

11

②正确，根据AB=2BC,OB=?BD,且得到A2W02,故③错误；根据三角形的中位线定

理得到于是得到0£=品。，故④正确.

【解答】解：：四边形48。是平行四边形，

ZABC^ZADC^60°,NBA。=120°,

:AE平分NBA。，

：.ZBAE^ZEAD^60°

.♦.△ABE是等边三角形，

'.AE—AB—BE,

1

•；AB=^BC,

1

：.AE=”。，

：.ZBAC=90°,

：.ZCAD=30°,故①正确；

VAC±AB,

S^ABCD=AB9AC,故②正确，

11

9：AB=^BC,OB=^BD,

•：BD>BC,

：.AB^OB,故③错误；

,:CE=BE,CO^OA,

：.OE=^AB,

1

.1.OE==rBC,故④正确.

故选：c.

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的

面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.

4.已知一个多边形的内角和是900。，则这个多边形是()

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【考点】多边形内角与外角.

【专题】计算题.

【答案】C

【分析】设这个多边形是“边形，内角和是(n-2)-180°,这样就得到一个关于”的方程，从而求出

边数n的值.

【解答】解：设这个多边形是〃边形，

则("-2)780°=900°,

解得：n=7,

即这个多边形为七边形.

故选：C.

【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.

5.如图，在正方形ABC。的外侧，作等边三角形ADE,AC、BE相交于点R则N8FC为()

【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质.

【答案】C

【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出/山狙=15°,ZBAC=45°,再求/BBC.

【解答】解：•••四边形ABO是正方形，

C.AB^AD,

又•••△AOE是等边三角形，

：.AE=AD=DE,ZDAE=6Q°,

C.AB^AE,

:./ABE=/AEB,NBAE=90°+60°=150°,

：.ZABE=(180°-150°)4-2=15°,

又：/8AC=45°,

AZBFC=45°+15°=60°.

故选：C.

【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解题的关键是利用正方形和等边三角形各

边相等的性质及等边对等角求出15°.

6.如图，四边形A8CO是菱形，AC=8,DB=6,OH_LA8于H,则。〃等于()

【考点】菱形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】A

【分析】根据菱形性质求出4。=4,0B=3,ZAOB=90°,根据勾股定理求出AB,再根据菱形的面

积公式求出即可.

【解答】解：设AC交于0,

:四边形ABC。是菱形，

C.AO^OC,B0=0D,AC±BD,

VAC=8,DB=6,

；.A0=4,02=3,ZAOB=90°,

由勾股定理得：AB=V32+42=5,

1

■:S菱形ABCQ=2xACxBD=ABxDH,

1

x8x6=5xDH,

2

24

：.DH=g,

故选：A.

【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形=

ABxDH是解此题的关键.

7.如图，将□ABC。沿对角线AC折叠，使点B落在"处，若Nl=/2=44°,则为（）

C.114°D.124°

【考点】平行四边形的性质.

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出AC,由三角形的外角性质求出

1

ZBAC^ZACD^ZB'AC=jZl=22",再由三角形内角和定理求出即可.

【解答】解：：四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//CD,

：.ZACD^ZBAC,

由折叠的性质得：ZBAC^ZB'AC,

1

：.ZBAC=ZACD=ZB'AC=^Z1=22°,

.*.ZB=180°-Z2-ZBAC=180°-44°-22°=114°；

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练

掌握平行四边形的性质，求出/BAC的度数是解决问题的关键.

8.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（）

A.四边形B.五边形C,六边形D.八边形

【考点】多边形内角与外角.

【答案】C

【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解.

【解答】解：设所求多边形边数为小由题意得

（〃-2）780°=360°X2

解得n=6.

则这个多边形是六边形.

故选：C.

【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想.关键是记住内角和的公式与外角和的特征:

任何多边形的外角和都等于360°边形的内角和为（n-2）-180°.

9.如图，nABCZ）的对角线AC与8。相交于点O,ABLAC,若A2=4,AC=6,则8。的长是（）

A------------------D

丁

A.8B.9C.10D.11

【考点】平行四边形的性质；勾股定理.

【答案】C

【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求80的长，进而可求出BD的长.

【解答】解：ABC。的对角线AC与相交于点。，

；.BO=DO,AO^CO,

,：AB1AC,42=4,AC=6,

：.ZBAO=90°,OA=3

BO=V32+42=5,

・•・82）=280=10,

故选：C.

【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用,是中考常见题型，比较简单.

10.如图，菱形A8CZ）的对角线AC,8。相交于。点，E,尸分别是A3,边上的中点，连接跖.若

EF=V3,BD=4,则菱形ABC。的周长为（)

A.4B.4V6C.4V7D.28

【考点】菱形的性质；三角形中位线定理.

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC,进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周

长即可.

【解答】解：歹分别是ASBC边上的中点，EF=W,

:.AC=2EF=2®

•••四边形ABCO是菱形，

：.AC±BD,OA=V3,OB=1B£>=2,

：.AB=y/OA2+OB2=V7,

菱形ABCD的周长为4V7.

故选：C.

【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.如图，在菱形ABC。中，对角线AC与BO相交于点O,AC=8,BD=6,0E1BC,垂足为点E,则

【考点】菱形的性质.

【专题】计算题.

【答案】见试题解答内容

11

【分析】先根据菱形的性质得AC_L3Q,OB=OD=^BD=3,0A=0C=^AC=4f再在RtZXOBC中利

用勾股定理计算出BC=5,然后利用面积法计算0E的长.

【解答】解：•・,四边形A3CD为菱形，

11

：.AC±BDf0B=0D=^BD=3,OA=OC=^AC=4,

在RtZ^OBC中，V0B=3,OC=4,

：.BC=V32+42=5,

OELBC,

11

：LOE・BC=3OB・OC,

22

门口

■.-OE=-3x4=T12-

故答案为苦.

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条

对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了勾股定理和三角形面积公式.

12.如图，E,尸是正方形ABC。的边A。上两个动点，满足?连接C尸交2。于点G,连接8E

交AG于点若正方形的边长为2,则线段。以长度的最小值是—逐-」.

【考点】正方形的性质.

【专题】压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD,/BAD=NCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“边角

边”证明AABE和全等，根据全等三角形对应角相等可得Nl=/2,利用“SAS”证明△AOG

和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得/2=/3,从而得到/1=/3,然后求出NAH8=90°,

取42的中点0,连接。8、0D,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得。H=32=1,利

用勾股定理列式求出。。，然后根据三角形的三边关系可知当。、D、H三点共线时，OH的长度最小.

【解答】解：在正方形ABC。中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,/ADG=NCDG,

在△ABE和中,

AB=CD

乙BAD—/.CDA,

AE=DF

：.AABE^ADCF(SAS),

.*.Z1=Z2,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

Z.ADG=Z.CDG，

DG=DG

：.AADG^ACDG(SAS),

；.N2=N3,

；./l=N3,

•/ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

：.Zl+ZBAH=90°,

AZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中点。，连接OH、OD,

r,1

则OH=AO=揶=1,

在RtAAOD中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根据三角形的三边关系，OH+DH>OD,

...当。、。、H三点共线时，。”的长度最小，

最小值=。。-08=有一1.

(解法二：可以理解为点H是在A8直径的半圆通上运动当O、H、。三点共线时，DH长

度最小)

故答案为：V5-1.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

半的性质，三角形的三边关系，确定出QH最小时点”的位置是解题关键，也是本题的难点.

13.如图，在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是A。边的中点，N是AB边上的一动点，WAAW

沿MN所在直线翻折得到△&'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是一夕T

【考点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）.

【答案】V7-1.

【分析】根据题意，在N的运动过程中A'在以"为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当A'

C取最小值时，由两点之间线段最短知此时加、A'、C三点共线，得出A'的位置，进而利用锐角三

角函数关系求出A'C的长即可.

【解答】解：如图所示：是定值，A,C长度取最小值时，即A'在MC上时，

过点M作MFLDC于点F,

•在边长为2的菱形ABC。中，ZA=60°,M为A。中点，

：.2MD=AD=CD^2,ZFDM=60°,

：.ZFMD=3Q°,

11

：.FD=^MD=J,

.•.FM=DMXcos30°=苧，

：.MC^VFM2+CF2=V7,

"C=MC-MA'=V7-1.

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A'点位置是解题关键.

14.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4层,。为边AB上一动点（2点除外），以CD为一边作正方

形CDEF,连接BE,则面积的最大值为8

E

【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理.

【专题】矩形菱形正方形.

【答案】见试题解答内容

【分析】过点C作CGL3A于点G,作于点X,作于点由AB=AC=5,BC=

4V5,得到BM=CM=2萌，易证求得GB=8,设BD=x,贝!|Z)G=8-x,易证

111

且4DCG,EH=DG=8-x,所以SABDE=•EH=彳久(8—无)=一讶Q-4尸+8,当尤=4时，△

面积的最大值为8.

【解答】解：过点C作CGLBA于点G,作EHA.AB于点H,作AMLBC于点M.

'：AB=AC=5,BC=4V5,

:.BM=CM=2底

：.LAMBsACGB,

.BMAB

••=,

GBCB

2V55

即=-尸

GB4V5

・・・G3=8,

设则。G=8-x,

■:ED=DC,NEHD=NDGC,ZHED=ZGDCf

:•△EDH咨ADCG(AAS),

：.EH=DG=8-x,

111

S^BDE—2BD-EH=2x(8—x)——2(x—4)+8,

当x=4时，△BDE面积的最大值为8.

故答案为8.

E

【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

15.如图，在DABCD中，AD=2AB,E是的中点，作CE_LA8,垂足E在线段AB上，连接EF、CF,

则下列结论中一定成立的是①②④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【答案】见试题解答内容

【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AE/FADMP(ASA),得出

对应线段之间关系进而得出答案.

【解答】解：①是的中点，

C.AF^FD,

:在DABCD中，AD=2AB,

：.AF=FD=CD,

：.ZDFC=ZDCF,

,JAD//BC,

ZDFC=ZFCB,

:./DCF=/BCF,

ZDCF=^ZBCD,故①正确；

延长交CD延长线于

,/四边形ABCD是平行四边形,

：.AB//CD,

：./A=/MDF,

・・,方为A0中点，

：.AF=FD.

在AAE/和中，

’4=ZFDM

'AF=DF，

^AFE=Z-DFM

：.AAEF^ADMF(ASA),

:.FE=MF,NAEF=NM,

丁CELAB,

：.ZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

•：FM=EF,

：・FC=FM,故②正确；

③・；EF=FM,

••S/\EFC=S^CFM,

•；MC>BE,

SABEC<2SAEFC

故5kBEC=2SaCE尸错误，即③错误；

④设N/EC=x,则N尸CE=x,

：.ZDCF=ZDFC=90°-x,

：.ZEFC=180°-2x,

:・/EFD=9U°-x+180°-2x=270°-3x,

VZAEF=90°-x,

:・/DFE=3/AEF,故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEFg

是解题关键.

三.解答题（共5小题）

16.己知，正方形中，ZMAN^45°,/MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交C2、0c（或

它们的延长线）于点M、N,于点H.

（1）如图①,当/MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:AH=AB；

（2）如图②，当/MAN绕点A旋转到8WWON时，（1）中发现的AH与A8的数量关系还成立吗？如

果不成立请写出理由，如果成立请证明；

（3）如图③，已知NMAN=45°,AHLMN于悬H,且MH=2,NH=3,求A//的长.（可利用（2）

解一元二次方程-因式分解法；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【专题】证明题；压轴题；探究型.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）由三角形全等可以证明

（2）延长CB至E,使.BE=DN,证明丝/XANM,能得到

（3）分别沿AM、AN翻折△43和△ANH,得到△ABM和△AM）,然后分别延长和DN交于点C,

得正方形设则MC=JC-2,NC=x-3,在Rtz\MCN中，由勾股定理，解得x.

【解答】解：（1）如图①

（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E,使BE=DN.

,「ABC。是正方形，

：.AB=AD,ND=NABE=90°,

AB=AD

在RtAAEB和RtAAND中，UABE=乙ADN,

BE=DN

：.RtAAEB^RtAAND(SAS),

:・AE=AN,NEAB=/NAD,

'：ZDAN+ZBAM=45°,

：.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=45°,

ZEAM=ZNAM=45°,

AE=AN

在△AEM和AANM中，^EAM=4NAM，

AM=AM

：.AAEM^AANM(SAS).

ASMEM=S/\ANMIEM=MN,

9：AB.A”是△AEM和△A7VM对应边上的高，

(3)如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到和△AND,

：.BM=2,DN=3,NB=ND=NBAD=90°.

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,

由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD.

设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,

在RtZXMCN中，由勾股定理，得MM=Md+NC2

：.52=(x-2)2+(x-3)2

解得Xl=6,X2=-1.(不符合题意，舍去)

：.AH=6.

AD

图②

【点评】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，难度中等.

17.如图，在四边形ABC。中，AB//DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分NBA。，过点C

作交AB的延长线于点E,连接0E.

(1)求证：四边形ABC。是菱形；

(2)^AB=V5,BD=2,求的长.

【考点】菱形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质；勾股定理.

【专题】计算题；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先判断出/048=/。。!，进而判断出得出CD=AD=AB,即可得出

结论；

(2)先判断出。E=0A=0C,再求出02=1,利用勾股定理求出。4,即可得出结论.

【解答】(1)证明：

J.ZOAB^ZDCA,

〈AC为NDA3的平分线，

：.ZOAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD^AD^ABf

U：AB//CD,

・•・四边形ABCD是平行四边形,

'：AD=ABf

•*»nABCD是菱形；

(2)解：:四边形ABC。是菱形，

：.OA=OC,BDLAC,OB=加=1,

VCE1AB,

.•.OE=OA=OC,

在RtZWOB中，AB=V5,OB=1,

OA=7AB2—OB?=2,

：.OE=OA=2.

【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理,

判断出CZ)=AD=AB是解本题的关键.

18.在RtzXABC中，/A4c=90°,。是BC的中点，E是A。的中点，过点A作A/〃BC交BE的延长

线于点F.

(1)求证：LAEF出4DEB；

(2)证明四边形AOC尸是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCE的面积.

【考点】菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理.

【专题】证明题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据AAS证

(2)利用①中全等三角形的对应边相等得到AF=BD.结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形”得到AOb是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到

DC,从而得出结论；

(3)由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论.

【解答】(1)证明：@'：AF//BC,

：./AFE=ZDBE,

是AD的中点，。是BC的中点，

：.AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△D8E中，

^AFE=/DBE

■/.FEA=乙BED，

ME=DE

:.AAFE咨ADBE(AAS)；

(2)证明：由(1)知，AAFE^ADBE,贝！JAE=DB.

,:DB=DC,

C.AF^CD.

,JAF//BC,

...四边形ADCF是平行四边形，

VZBAC=90°,。是3C的中点，

1

：.AD=DC=7C,

・・・四边形AOC/是菱形;

(3)连接£>F,

\'AF//BD,AF=BD,

四边形ABDF是平行四边形，

：.DF=AB=5,

..•四边形AZXT是菱形，

S菱形ADCF=|AC-DF=1X4X5=10.

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，菱形的面积计

算，主要考查学生的推理能力.

19.如图，分别以RtA48C的直角边AC及斜边A8向外作等边及等边△A8E.已知N8AC=30°,

EFLAB,垂足为F,连接。足

(1)试说明AC=EP；

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【专题】证明题.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)首先中，由/B4C=30°可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三角形，EF

±AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFEgZXBCA,再根据全等三角形的性质

即可证明AC=EB

(2)根据(1)知道EF=AC,而△ACQ是等边三角形，所以跖=AC=AD,并且AZ)_L45,而E/QL

AB,由此得到跖〃A。，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADEE是平行四边形.

【解答】证明：(1)•.•及△ABC中，ZBAC=30°,

：.AB=2BC,

又「△ABE是等边三角形，EF±AB,

：.AB=2AF

：.AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

(AF=BC

VAE=BA'

.•.RtAAF£^RtABCA(HL),

：.AC=EF；

(2);△AC。是等边三角形，

AZZ)AC=60°,AC=AD,

：./DAB=ZDAC+ZBAC=90°

5L'：EFLAB,

C.EF//AD,

'：AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

，四边形ADFE是平行四边形.

【点评】此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形

的性质证明平行四边形.

20.如图，点〃是正方形ABC。的边BC上一点，连接AM,点E是线段AM上一点，/COE的平分线交

AM延长线于点反

(1)如图1,若点E为线段AM的中点，BM：CM=1：2,BE=V10,求AB的长;

(2)如图2,若DA=DE,求证：BF+DF=V2AF.

图1图2

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质.

【专题】综合题；压轴题；转化思想；等腰三角形与直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)设则MC=2x,由此得到4B=BC=3x,在RtZvlBM中，根据直角三角形斜边上

的中线等于斜边的一半，可求AM长，再利用勾股定理可求长；

(2)要证明的三条线段没有组成一个三角形或一条线段，所以延长即交过点A作垂直于AE的直线

于“点，证明△ABFgAAOH,把转化到。H,从而三条线段放在了等腰直角三角形中便解决了问

题.

【解答】解：(1)设则CM=2x,BC=3x,

；8A=BC,：.BA^3x.

在RtZXABM中，£为斜边AM中点，

：.AM=2BE=2410.

由勾股定理可得4序=及出2+&82,

即40=/+9X2,解得X=2.

.\AB=3x=6.

(2)延长F0交过点A作垂直于Ab的直线于H点，过点。作。尸，A尸于尸点.

,:DF平分/CDE,

.\Z1=Z2.

•；DE=DA,DP±AF

・・・N3=N4.

VZ1+Z2+Z3+Z4=9O°,

・・・N2+N3=45°.

：.ZDFP=90°-45°=45°.

：.AH=AF.

'：ZBAF+ZDAF^90°,ZHAD-^-ZDAF=90°,

：.ZBAF=ZDAH.

又AB=AZ),

AABF^AADH(SAS).

：.AF=AH,BF=DH.

9：RtAE4H是等腰直角三角形，

：.HF=V2AF.

'：HF=DH+DF=BF+DF,

：.BF+DF=V2AF.

F

H

【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质、勾股定理,

综合性较强，正确作出辅助线，把三条线段转化到一个等腰直角三角形是解题的关键.

考点卡片

1.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一

元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

2.角平分线的定义

(1)角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线.

(2)性质：若OC是NAOB的平分线

1

贝此4。。=/8。。=力乙402或4408=2/&。。=2/2。。.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践.

3.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

4.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

5.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

6.等腰三角形的性质

(1)等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】

(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个

元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.

7.等腰三角形的判定与性质

1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中

线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解

决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析.

3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的

思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决.

8.等边三角形的性质

(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶

角和底角是相对而言的.

(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线

是对称轴.

9.等边三角形的判定与性质

(1)等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性

质为证明线段、角相等提供了便利条件.同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性

质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用.

(2)等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的

直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等.

(3)等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一

般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定;若从等腰三角形出发,则想法获取一个60°

的角判定.

10.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，30。角所对的直角边等于斜边的一半.

(2)此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常

用来求边的长度和角的度数.

(3)注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能应用；

②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.

11.直角三角形斜边上的中线

(1)性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点)

(2)定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一