湖南省部分学校2024-2025学年高三年级上册入学考试数学试题（含答案解析）

湖南省部分学校2024-2025学年高三上学期入学考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知向量a=("%T),6=。,2),且°为<0，则优的取值范围为()

A.(—oo,2)B.(—co,—2)C.(—2,2)D.(—1,2)

2.已知集合A=<>>=-；>,B={x|尤2-5尤-6vo},则AB=()

A.0B.[2,3]C.-了3D.-16

3.已知母线长为10的圆台的侧面积为100兀，且其上底面的半径/与下底面的半径H满足

R=4r,则R=()

A.2B.4C.8D.12

o

4.已知复数z满足7三二一,则恸=()

z+i4

A.1B.撞C.2

D.垂

5

5.记VA5c的内角A,B,C的对边分别为4,b,c,若acosC-ccosA=b,则JsinA=()

A.B.-C•走D.1

222

6.记抛物线氏V=4%的焦点为尸，点A在右上，8(2,1),则|/F|+|4引的最小值为()

A.2B.

7.记A,8为随机事件,)

AB.

-12123

8.已知〃x)=sin®x+9)(0>0,0</苫)的部分图象如图所示，点AB,C是/(x)与

且0sin0=，^,则/之?=(

坐标轴的交点,若VABC是直角三角形,)

3.

。.—D.1

2

二、多选题

9.北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、李豪战胜韩国选手，摘夺了射击混合

团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为

7,12,13,17,18,20,32,则()

A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为19

C.该组数据的平均数为17

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等

10.已知首项为1的数列｛%｝满足(4+1-〃4)(4+1+%)=。，记｛"4+J的前几项和为(，则

()

A.［受］可能为等差数列

1

B.an=(-1)"-

C.若%>0,则+

D.若的也<0,则成-+或=。

11.已知函数〃x)=ln(l+ea)-x是偶函数，点A(%J(xj),点网9,〃％)),点(:区/伉))

在函数“X)的图象上，且毛-%=%-再=1，记AC边上的高为人，贝U()

A.a=2B.函数g(x)=/(x)-x是减函数

C.点8可能在以AC为直径的圆上D.”的最大值为

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知4cos，+sin£=O,贝!|tan26=.

13.写出一个同时具有下列性质的函数/（x）的解析式：.

①“X）不是常函数

②“X）的最小正周期为2

③/（无）不存在对称中心

22

14.已知双曲线。:，-斗=1（a>0,b>0）的左，右焦点为居，F2,过F2的直线4交C

ab

的右支于点A8（点A在点8上方），|A月|=2忸闾，过点片作直线交C于点E（点

2

E在第二象限）,若直线8E与直线AF的交点在直线x=-—±,则C的离心率为.

XC

四、解答题

22

15.已知椭圆〃:当+a=1（。>°>°）过点（仇新）和（L@-

⑴求M的离心率；

（2）若直线/:y=x+根与M有且仅有一个交点，求I的一般式方程.

16.中国能源生产量和消费量持续攀升，目前已经成为全球第一大能源生产国和消费国，能

源安全是关乎国家经济社会发展的全局性、战略性问题，为了助力新形势下中国能源高质量

发展和能源安全水平提升，发展和开发新能源是当务之急.近年来我国新能源汽车行业蓬勃

发展,新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义,而且还能够减少对不可再生资源的开发,

是全球汽车发展的重要方向.“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区

近几年新能源汽车的购买情况如下表所示：

年份X20192020202120222023

新能源汽车购买数量y（万辆）0.400.701.101.501.80

⑴计算y与无的相关系数『（保留三位小数）；

（2）求y关于X的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量.

参考公式r=I„"I„，B=，-1„--,a=y-bx._

忸-可卧F1（—）

参考数值：V13«3.6056,J(x,.-x)(X.-y)=3.6.

Z=1

jr

17.如图,三棱柱ABC-A6G中，侧面441GC是边长为2的正方形，■=2行，/8旦4=

⑴证明：A^IBC,；

(2)若二面角A-BG-4的余弦值为-半,求BG的值.

18.已知函数/'(x)=x_lnx,g(x)=^-e2x-fl-1-e1-1-aex~a+ax.

⑴求的极值；

(2)讨论g(x)的单调性;

⑶若g。)存在两个极值点4，%(。<玉<々)，讨论/&)和〃/)的大小关系.

19.对于一个非零整数〃和质数。，我们称〃中含的P哥次为%5),^(")定义为最大的非

负整数左，使得存在非零整数加，有〃="〃，例如%⑻=3,%(36)=2等.定义一个非零

有理数:的vd=O(s)-力⑺，如„=一2,%(%)=3,且规定%(0)=+8.现在对

于任意一个有理数;，我们定义其“0示数"为口=",其中M=规定例p=0.记

两个有理数X，y的“P示数距离”为dp(x,y)=||x-y||p.

⑴直接写出皿4叽,高,43(9,学的值;

⑵证明：对于一个正整数。，存在一列非整数的正有理数为,无2，，士使

1>《(。,玉)>%(。,%2)>>4(。,X”)；

⑶给定质数p,若一个无穷集合A中任意一数列{%,},对于任意yeA：叫则

我们称集合A是“。一紧致的“，是否存在质数P,使得整数集是“P-紧致的”？若存在，求出

所有p；若不存在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADCADBDCACDACD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据数量积的坐标表示，列出不等式，即可得答案.

【详解】由a=(m,—1)力=(1,2),0.力<0,可得机一2<0,

解得根<2,

故选：A.

2.D

【分析】化简集合A,B,根据交集定义求Acb.

【详解】•.•y=L--Y-->--,

12)44

,AV

解炉-5尤一6W0,^-l<x<6,

AB=—,6.

_4_

故选：D.

3.C

【分析】根据圆台侧面积公式计算即可.

【详解】因为该圆台的侧面积为100兀，母线长/=10,R=4r

所以Mr+4r)xl0=100兀，解得r=2,则兄=8,

故选：C.

4.A

【分析】根据3z=2—+i求出1+匕求出工，求出Z,求出|z|.

Z+14zz

【详解】由三=?，有i+:=a=U*=IT，

z+l4z2+j(2+j)(2-p55

j=。一ii,z=旦=5i(3+4i)=_£+冬，

z553-4j(3-4p(3+4j)55

答案第1页，共12页

\z\=1.

故选：B.

5.D

【分析】利用正弦定理进行边角互化，结合两角差的正弦公式求解即可.

【详解】由正弦定理得sinAcosC-sinCcosA=sinB,

gpsin（A-C）=sinB,A—C=3或A—C+8=7T.

若A—C+8=7t,结合A+B+C=7t,有C=0,故舍去.

71

A=B+C.A=—,...sinA=l,

2

故选：D.

6.B

【分析】由抛物线的定义即可求解.

【详解】过点A作x=T的垂线，垂足为D,则=

则|4F|+\AB\=MD|+MB|>3,如图所示.

所以|4F|+|4B|的最小值为3.

故选：B.

【分析】由全概率公式及并事件的概率公式求解.

【详解】记P（A）=吐由全概率公式有尸闾=P（A）尸（回勾+尸㈤尸（剧Z）,

1171

代入数据有5=］尤+］（1-尤），解得尤=5，

.­.P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=1-P（A）P（B|A）=1-1（1-P（B|A））=|,

故选：D.

8.C

【分析】由正弦函数性质得AB,c三点坐标，再由ABL3C,结合有

答案第2页，共12页

|OB|2=|Q4|X|OC|,建立方程即可求出他9,最后将”半代入函数解析式即可得解.

【详解】由正弦函数性质有3（0,sin。），c（与9,01

由VA5C是直角三角形，可得AB1.3C,

结合80工AC有108『=4moe|,

71-1((.2

—P—P=sin,

CD')co

（Gsin0）2=（兀一夕）°二K，

解得吟或0d（舍去）,

A/2KV271

33A/2K22瓜式

：.CO=—=---=-----x—f==--------

sin。sin工3百9

3

£(、./2'\]'^式71.

j(x)—sin(-----xH—)，

,,2屈K3\/6兀、."兀、.nA/3

=sin(―-—x2+y)=sin(2n+§)=sin—~T

故选：c.

【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可.

【详解】对于A项，极差等于32-7=25,故A正确；

对于B项，7x75%=5.25,故75%分位数为20,故B错误;

7+12+13+17+18+20+32

对于C项,平均数等于=17,故C正确;

7

对于D项，去掉17后，这两组数据的平均数相等，故D正确.

故选：ACD.

10.ACD

【分析】根据已知分类讨论得出通项及性质判断A,B,C,分类讨论求和即可判断D.

答案第3页，共12页

【详解】由题意可得«„+1="%或+4=0.

注意到若存在m6N*使得am+1+am=o,则amam+1<0,

对于C项，只能满足。"+1得见+i=nxall=nx(n-l)xall_l==〃!na“=("-1)!(〃22),

当〃=1时也符合，此时‘包="故数列为等差数列，故A正确;

an

%+1=〃,川=(〃+1-1)/！=(〃+1)!-〃!=用=(〃+1)!-1,故C正确;

若则%+4=。，故。“=(-1尸，故B错误;

一丝1,“为奇数

此时“—=(-!)"〃，奇偶分类讨论有(=,则故D正确，

3"为偶数

12

故选:ACD.

11.ABD

【分析】利用偶函数的性质求解参数判断A,利用导数判断B,利用圆的性质判断C,利用

不等式的取等条件判断D即可.

【详解】对于A选项，由是偶函数得到〃x)=〃r),

则InO+e^^-xulnO+eij+x,解得a=2,故A正确;

对于B选项，g(x)=f(x)-x=ln(l+e2x)-2x,

故g'(x)=-十7,且g'(x)<0恒成立，

故得g(x)为减函数，故B正确；

对于C选项，由B知g(x2)>g(%3)，即〃电)-

由对称性，可设则/(%)-〃当)>0.

若点8在以AC为直径的圆上，贝第54.8C=0，

带入即(〃石)一/(%))(/(电)一〃%))+&-々)(&-%2)=0,

即(〃石)-/(々》(/(%)-/(%))=1.

若尤3>%>占2。，则“石不满足题意；

答案第4页，共12页

1

e+1

2T而en—

若％3〉冗2>°>石1，"再）_/（入2）£In------,ln-----'而In—

12

e+-2

e

故B不可能在以AC为直径的圆上，故C错误;

对于D选项，过点2作x轴的垂线交AC于点Z）,则//WAD（当且仅当％=。时取等）,

而/(x,—1)+/(%,+1),、记e巧二%,

AD=八°J2)-/(x2)=

/+卜+』>+11+

则«+1)2

0+1)2<ln^l

AD=

22e

当且仅当，=1的时候取等，即9=0时取等，所以两个不等号能同时取等,

已2+]

故/I的最大值为In上，故D正确.

2e

故答案选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是找到不等式的取等条件，然后得到参数值,

得到所要求的最值即可.

【分析】由4cos，+sin，=O求得tan。，进而利用二倍角公式可得tan26的值.

【详解】因为4cose+sin6=0,所以tan，=-4,

2tan6_-8_8

所以tan26=

l-tan26»-1-16-15

故答案为：-jy.

13.（不唯一）

【分析】根据函数/'（x）所具有的性质，结合正弦函数的性质，即可确定答案.

【详解】根据题中函数需满足的条件，可取函数为正弦型函数，

答案第5页，共12页

即可取〃无)=sin]]),其图象为:

结合图象可知满足题意，

故答案为：/(x)=sin]d(不唯一)

14.叵

3

【分析】利用给定条件分别求出边长，利用余弦定理表示同角的三角函数，建立齐次方程求

由对称性有8E过坐标原点。且|环|=|巡

由卜&有△EFiPs^BAP,;.毕一EP_1

BP-3

X*,\EO\=\BO\,：.\EP\=\OP\,x=2x=-^―,

Epc

\EF^=a,|AF21=2tz,|AFX|=4a,即忸耳|=3a,忸闾=a,

在.ABF1中,cos/片AB=--------------,

2X4QX3Q

■/rAAr4-t/L/n16〃+4Q?—4c-々刀zgJ21

在可耳中，cos/片AB=--------------,解得e二」—，

2X4GX2Q3

故答案为：浮.

【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用给定条件求出各个三角形的边

长，然后利用余弦定理表示同一个角，得到所要求的离心率即可.

答案第6页，共12页

5⑴半

（2）x-y±2V2=0

22

【分析】⑴由椭圆小：+a=1(4＞人＞0)过点心,何和(1,@,求得△投,进而求得

C,即可得到M的离心率；

(2)联立M和/的方程，得到关于x的一元二次方程，由△=(),可求得〃?=±20,即可

得到/的一般式方程.

22

【详解】(1)因为椭圆M:4+京=13＞6＞0)过点(0,旬和(1,⑹,

色-1r

所以；1「解得:二2,

b

由,得0=2,

22

由（1）可得M的方程为，匕+上=1,

62

、寸+t=1

联立＜62,得+2如+/一6=0,

y=x+m

由A=4〃广-4x4（租2_6）=o,得租=±20,

，直线/的一般式方程为：x-y±2s/2=0.

16.(1)0.998

⑵线性回归方程是＞0.36^-726.46,该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54万辆.

答案第7页，共12页

【分析】(1)利用所提供数据求后代入参考公式求「即可;

(2)结合公式求分，a,由此可得回归方程，再利用回归方程进行预测.

2021x5+(-2)+(-l)+0+l+2=2。2u」4。+。.7。+1.1。+1.5。+1.8。

【详解】(1)无==1.10,

5

5

X(七一元)一=(-2)2+(-1)2+02+12+22=10,

1=1

5c

J(y.-j)2=(-0.7)2+(-0.4)2+02+0.42+0.72=1.3,

<=1

5

£(%-可(%-刃3.63.6

1=1«0.998

；(X，-T)2j4(»一9)23.6056

5

,可(X-刃36

(2)由(1)知匕=-----------=—=0.36,

2仕一寸W

1=1

a=y-bx=1.1-2021x0.36=-726.46,

所以，关于x的线性回归方程是y=0.36元-726.46,

当x=2025时，夕=0.36x2025—726.46=2.54(万辆),

该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54万辆.

17.(1)证明见解析

(2)273

【分析】⑴侧面ACGA是边长为2的正方形得到AA和AG的关系，M、4G和AG的

长度，根据侧面斜片B是平行四边形得到/即A和，在，氏阻中，由余弦定理得AXB,

判断A4W的形状，证明A4,，平面ABC」证明AALBG；

(2)取BCj的中点，记为D,连接AD,AQ.证明AD_LBG，,8C；_L平面3,,

求出二面角A-5G-A的平面角，证明B瓦，平面记二面角A-8C|-瓦为凡表示

出〃与NADA的关系，找至Ijcosd和sin/A£)A的关系，求出sin/ADR,求出tan/A£)A，证

明求出

【详解】(1)•.•侧面ACQA是边长为2的正方形，

答案第8页，共12页

M-LAG-AAl=AiC,=2,AC[=叵,

侧面441g也是平行四边形，

TT

ZBB^=ZBA\=-,

在，BAA,中，由余弦定理有M2+AB2-\B2=2A4(-ABcosZBA^,

解得AB=2,r.MB是直角三角形，

/.AAX1\B,ABcAC[=Ai，AXB,AQu平面A^G，

「./L4j_L平面,又5Gu平面AfG，

/.A\1BCX；

(2)取BG的中点，记为D,连接AD,A。，

/.AD±BCX,AD上BC],

ADAD=D,AD,AQu平面ADA，

BC]_L平面AD\,NA£)A为二面角A-BCi-Ax的平面角.

又•,明，平面A^G，AA.IIBB,,

_L平面ABC,记二面角A—BG-4为e,

7T

贝|。=万+/24£)4,cose=—sin/A£)4,

二.sin/ADA=芈，.•.tan/AO4=2.

(34。(=平面45。1，M1AD，

A4

.,.力=2,二4。=1,BC\=2BD=26

••.8G的值为2VL

答案第9页，共12页

18.(1)极小值为1,没有极大值

(2)

答案见详解

(3)答案见详解

【分析】⑴对求导，令/。)=0求得x=l"'(x)的零点把定义域划分为(0,1)和(1,+8)

判断各个区间的单调性，从而判断x=l是极大值点还是极小值点，再求出对应的极值即可；

(2)对g(x)求导，并对g(x)的导函数进行整理，整理成因式乘积的形式，然后根据不同

的。对g(x)的导函数正负的影响进行讨论，从而得到g(x)的单调性；

(3)由(2)可以得到%=ln〃+l,x2=a,结合%>占>0,得到。取不同范围时无”马的范

围，再结合函数/(x)的单调性，从而判断/&)和/(々)的大小关系.

【详解】(1)=1--,xe(0,1)时/''(X)<0,久e(1,+8)时尸(久)>o,

X

■■■/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

/O)在尤=1处取到极小值"1)=1,没有极大值.

(2)g'(x)=e2'-0'1-aeax+a={e-a

情形一若aWO,可得e--o>0恒成立，且g'(a)=0,

xe(-oo,a)时，g<x)<0,故g(x)在xe(-8,a)单调递减；

xe(a,+e)时,g'(x)>0,故g(x)在xe(a,+e)单调递增;

情形二若g'(x)=(ec-'-l)(e-1-l)=(e-1-l)2,则g，(x)NO,

g(X)在XW(-00,+8)单调递增；

情形三若ae(O,l)u(l,+力)，令g'(无)=(/"一1)(尸一0)=0,解得*=1僦+1或》=〃，

又由(1)知当ae(0,l)5L+。)时，/(a)=a—lna>/(l)=l可得a>lna+l,

二.xe(lna+l,a)时，g[x)<0,故g(x)在xe(lm+l,a)单调递减;

xG(-co,Ina+1)和xe(a,+8)时，g'(x)>0,故g(%)在xe(—8,Ina+1)和xw(a,+oo)单调递

答案第10页，共12页

增.

综上所述,若aVO,a)时,g(x)单调递减,xe(a,+a))时,g(x)单调递增;

若a=l,XG(-OO,+OO),g(x)在单调递增；

若a€(0,1)31，+°°),x《lna+l,a)时，g(x)单调递减，xw(-8,lna+l)和xe(a,+8)时,

g(x)单调递增.

(3)由(2)知，只能是Xi=lna+1,x2=a,

玉=Ina+1>0

x=a>0,解得a>工且aw1,

由％>为>0,贝卜2

e

\na+1wa

又当ae:时，X],e(o,l),由/(%)在(0,1)上单调递减可知；

当ae(l,+oo)时，4，x2>1,由/(x)在(1,+8)上单调递增可知・

综上所述，aw时，/(芭)>/(々)；。«1，+°°)时，/(西)</(々)-

9111

19.(1)11144||=—,——

⑴216128吟「

3713

(2)证明见解析

(3)不存在质数P,使得整数集是“。一紧致的“，理由见解析

【分析】(1)根据定义分别计算即可;

2;

(2)取%=CCH----,ieN*,则*为非整数的正有理数，结合定义及指数函数单调性即可证

3

明;

p2一1

(3)取x产,ieN*,则

P+1

(…(。-1)

=(pf(p2T+*4++p2+［

yez,