人教版九年级数学上册专项训练：点和圆、直线和圆的位置关系（二）解析版

第12讲点和圆、直线和圆的位置关系（二）

（重点题型方法与技巧）

目录

类型一：直线和圆的位置关系

类型二：切线的性质与判定

类型三：切线长定理

类型四：三角形的内切圆

类型一：直线和圆的位置关系

利用数量关系判断直线与圆的位置关系

（1）当图形中直线与圆的位置关系不明显时，一般不利用交点个数来判断直线与圆的位置关系，应通过比

较圆心到直线的距离与半径的大小来确定它们之间的位置关系.

（2）在没有给出d与r的具体数值的情况下，可先根据已知条件求出d与r的值，再通过比较它们的大小

确定直线与圆的位置关系.

典型例题

例题1.（2022•全国•九年级课时练习）已知。。的半径为6cm,点。到直线/的距离为5cm,则直线/与。。

（）

A.相交B.相离C.相切D.相切或相交

【答案】A

【详解】解：设圆的半径为r,点。到直线/的距离为d,

VJ=5cm,厂=6cm,

...直线/与圆相交.

故选：A.

点评：例题1考查了直线与圆的位置关系，比较圆心到直线的距离与半径是解题的关键.

例题2.（2022•全国•九年级课时练习）在平面直角坐标系中，以点（2,3）为圆心，3为半径的圆，一定（）

A.与x轴相切，与y轴相切B.与无轴相切，与y轴相交

C.与无轴相交，与y轴相切D.与x轴相交，与y轴相交

【答案】B

【详解】解：•••点（2,3）到x轴的距离是3,等于半径，

到y轴的距离是2,小于半径，

圆与y轴相交，与x轴相切.

故选B.

点评：例题2考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关

系完成判定.由已知点（2,3）可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系.设

d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若d<r,则直线与圆相交；若（1=「，则直线于圆相切；若d>r,

则直线与圆相离.

例题3.（2021•河北•保定市满城区白龙乡龙门中学九年级期末）已知。。与直线/无公共点，若。。直径为

10cm,则圆心。到直线I的距离可以是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【详解】解：与直线/无公共点，

与直线/相离.

圆心。到直线/的距离大于圆的半径，

QO直径为10cm,

QO半径为5cm,

圆心O到直线1的距离大于5cm.

故选：A.

点评：例题3主要考查了直线与圆的位置关系，利用直线与圆相离，圆心O到直线1的距离大于圆的半径

解答是解题的关键.

例题4.（2022•上海虹口•九年级期中）已知4〃/2，乙、4之间的距离是5cm,圆心O到直线乙的距离是2cm,

如果圆0与直线4、4有三个公共点，那么圆。的半径为cm.

【答案】3或7

【详解】解：设圆的半径为“m

如图一所示,

r-5=2,得片7cm,

如图二所示，

厂+2=5,得片3cm,

故答案为：3或7.

点评：例题4考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的

思想解答.

例题5.(2022•山东枣庄•二模)如图，在△ABC中，AB=BC,。是AC中点，3E平分乙48。交AC于点E,

点。是上一点，。。过5、E两点，交3。于点G,交于点F.

(1)判断直线AC与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若仍_LBC,ED=3,求BG的长.

【答案】(1)直线AC是0O的切线，理由见解析

(2)273

【详解】(1)解：直线AC是。。的切线.

理由如下：如图，连接。E,

■：AB=BC,。是AC中点，

J.BDrAC,

平分NABD,

ZOBE=ZDBE,

,?OB=OE,

：.NOBE=NOEB,

：.ZOEB=ZDBE,

C.OEHBD,

：.OE±AC,

而OE为。。的半径，

直线AC是。。的切线.

(2)解：如图，过。作于

二四边形OEDM是矩形，

：.0M=ED=3,BM=^BG,

'JEBLBC,

：.ZC+ZCEB=90°,

同理可得：？22CEB90?,

N2=NC,

,:AB=BC,

Z2=ZA,

：.Z1=Z2=ZA=30°,ZOBM=60°

在RtOBM中，tan?OBM—,

OM

A/3=-----,

BM

：.BM=6,

：.BG=2BM=26.

点评：例题5考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线

与圆的位置关系：设。O的半径为r,圆心O到直线1的距离为d,直线1和。O相交Od<r；直线1和。O

相切od=r；直线1和。O相离=d>r.

同类题型演练

1.（2022・江苏•九年级课时练习）如果。。的半径为6cm,圆心。到直线/的距离为d,且d=7cm,那么。O

和直线/的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.不确定

【答案】A

【详解】解：的半径为6cm,圆心。到直线/的距离为d,且d=7cm,

:・d>r,

...直线和圆相离.

故选：A.

2.（2021•北京・北师大实验中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5,8C=8,以A为圆心作一个半

径为2的圆，下列结论中正确的是（）

A.点2在。A内B.点C在。A上

C.直线8c与。A相切D.直线8c与。A相离

【答案】D

【详解】解：过A点作AHLBC于"，如图,

'：AB=AC,

：.BH=CH=-BC=4,

2

在RtXABH中，AH=yjAB2-BH2=A/52-42=3，

VAB=5>3,

.•.2点在。A夕卜，所以A选项不符合题意；

VAC=5>3,

；.C点在。A外，所以B选项不符合题意；

：.AH±BC,AH=3>半径，

直线BC与。A相离，所以C选项不符合题意，D选项符合题意.

故选：D.

3.（2022.上海金山.二模）在直角坐标系中，点尸的坐标是（2,道），圆「的半径为2,下列说法正确的是（）

A.圆p与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点

B.圆尸与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点

C.圆P与X轴、y轴都有两个公共点

D.圆p与x轴、y轴都没有公共点

【答案】B

【详解】解：:点尸的坐标是（2,否），

点P到x轴的距离为G,点尸到y轴的距离为2,

:圆P的半径为2,6<2,

点尸到x轴的距离小于圆P的半径，点P到y轴的距离等于圆P的半径，

圆尸与x轴相交，圆尸与x轴有两个公共点，

圆尸与y轴相切，圆尸与》轴有一个公共点，

故选：B.

4.（2021•河南许昌•九年级期中）已知。。的半径为4,点。到直线/的距离为d若直线/与。。的公共点

的个数为2个则d的值不能为（）

【答案】D

【详解】解：：直线/与。。公共点的个数为2个，

.•.直线/与。。相交，

半径=4,

故选D.

5.（2021•浙江金华•一模）已知。。的直径为5,设圆心。到直线/的距离为d,当直线/与。。相交时，d

的取值范围是.

【答案】0<J<2.5

【详解】解：；。。的直径为5,

：.QO的半径是2.5,

:直线/与。。相交，

圆心。到直线I的距离d的取值范围是0X2.5,

故答案为：0Wd<2.5.

6.（2022.全国•九年级课时练习）如图，直线A3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点A（—3,0）,点B

（0,石），圆心P的坐标为（1,0）,圆尸与y轴相切与点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆尸与该直

线相交时，令圆心P的横坐标为机，则机的取值范围是.

【答案】-5<m<-l

【详解】：圆心尸的坐标为（1,0）,。尸与y轴相切与点。

QP的半径为1

:点A(-3,0),点2(0,若)

：.OA=3,08=百

tanZBA0=—=—

0A3

ZBAO=30°

当。P在直线AB下方与直线AB相切时，如图，设切点为C,连接PC

贝!!PC_LAB,且尸C=1

：.AP=2PC=2

：.OP=OA-AP=3-2=1

点坐标为(T,0)

即m=-l

当。P在直线AB上方与直线AB相切时，如图，设切点为C,连接尸。

贝ljPDLAB,且PD=\

：.AP=2PD=2

：.OP=OA+AP=3+2=5

点坐标为(-5,0)

即m=—5

沿x轴向左移动，当。P与直线相交时，小的取值范围为-5<-1

故答案为：-5</n<-l

7.（2022.江苏常州•九年级期末）如图，AB是。。的直径，弦A。平分过点。作垂足为

E.

（1）判断。E所在直线与3。的位置关系，并说明理由;

（2）若AE=4,ED=2,求。。的半径.

【答案】（1）相切，理由见解析

（2）1

【详解】（1）解：所在直线与（°相切.

理由：连接0Q.

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA.

•・•AD平分ZBAC,

：.?OAD2DAC.

：.ZODA=ZDAC.

：.OD//AC.

：.ZO£>E+ZAED=180°.

,:DELAC,

：.ZAED=9Q°.

：.NODE=90。.

：.OD1DE.

•・・。。是半径，

・・・。£所在直线与《，。相切.

(2)解:连接。氏

：AB是：。的直径，

ZADB=90°.

，ZADB=ZAED.

又：ZDAB^ZEAD,

ADBsAED.

.AD_AE

"AB-AZ)'

VZAED=9Q°,AE=4,ED=2,

AD=y]AE2+ED2=2石•

AB=5.

•••。的半径为

2

8.(2022.安徽淮南.九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，。。与y轴相切，且点C的坐标为(1,

0),直线/过点A(-1,0),与。C相切于点。，解答下列问题：

⑴求点D的坐标；

(2)求直线I的解析式；

(3)是否存在。P,使圆心P在无轴上，且与直线/相切，与。C外切吗？如果存在请求出圆心尸的坐标，如

果不存在请说明理由

【答案】⑴(；，—)

22

⑵产与十且

-33

(3)存在，(—g,0)或(5,0)

【详解】(1)如图所示，当直线/在x轴的上方时，连接CD,

y

D,

4:、

O\,ECJx

:直线/为。c的切线，

J.CDLAD.

：C点坐标为(1,0),

：.OC=1,即。C的半径为1,

：.CD=OC=1.

又•.•点A的坐标为(-1,0),

：.AC=2,

：.ZCAD=3O0,

AD=ACsin30°=乖),DE=ADsm3Q°=

2

CE=CDsin30°=1,

：.OE=l—CE=g,

：.D(1,且)

22

(2)

设直线/为产区+〃，则

0=—k+b,

'V31.,

——=—k+b.

22

解得：k=^-,b=

33

:.y=2+同

"33

(3)

存在两种情况，讨论如下：

①如图2,过尸作PF_L/于凡设。尸的半径为r,则CO〃尸E,△ACD^AAPE,

.CDAC

'PE-AP

l_2

叫0n=7TT

解得L3,

・••尸(5,0)

②如图3,过尸作尸£_1/于£,设。尸的半径为「，则C0〃PE,△ACD^AAPE,

.CDAC

••一,

PEAP

即丁Y=1—丁r，解得片1(，

g，o)

综上，点尸的坐标为（一；，0）或（5,0）

类型二：切线的性质与判定

切线的判定方法一一连半径，证垂直，某直线是圆的切线时，如果已知直线与圆有公共点，那么可作出

经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“有交点，连半径，证垂直”.

切线的判定方法二——作垂直，证半径

证明某直线是圆的切线时，如果未明确说明直线和圆有公共点，那么常过圆心作直线的垂线段，证明垂线

段的长等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”.

典型例题

例题1.（2021•全国•九年级课时练习）如图，在以。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆的一个公

共点为C,且C是AB中点，则直线AB与小圆。的位置关系是（）

A.相离B.相切D.不能确定

【答案】B

【详解】解：连接OC

：C为AB中点

BC=AC

：.OCLAB

...AB为小圆：。的切线

故选：B

点评：例题1主要考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，垂径定理，灵活运用垂径定理是解题的关键.

例题2.（2021•全国•九年级专题练习）下列说法中错误的是（）

A,切线与圆有唯一的公共点B.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线

C.垂直于切线的直线必经过切点D.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等

【答案】C

【详解】A、B、D说法均正确；

C、垂直于切线的直径必定过切点，但是垂直于切线的直线不一定过切点，故错误；

故选：C.

点评：例题2考查圆的切线的判定与性质，及切线长定理，熟记基本概念并准确判断是解题关键.

例题3.（2020•广东深圳•三模）如图，正方形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC上，且NEAF=45。,

BD分别交AE,AF于点M,N,以点A为圆心，AB长为半径画弧BD.下列结论：①DE+BF=EF；

②BN?+DM2=MN2；③△AMNS/IAFE；④弧BD与EF相切；⑤EF〃MN.其中正确结论的个数是（）

A.5个B.4个D.2个

【答案】B

【详解】解：延长CB到G,使BG=DE,连接AG.

在4ABG和^ADE中,

AD=AB

<NADE=NABG

DE=BG

/.△ABG^AADE(SAS),

/.AG=AE,NDAE=NBAG,

又ZEAF=45°,ZDAB=90°,

ZDAE+ZBAF=45°

/.ZGAF=ZEAF=45O.

在小人尸6和4AFE中，

AE=AG

<ZGAF=NEAF

AF=AF

.,.△AFG^AAFE(SAS),

，GF=EF=BG+BF,

又；DE=BG,

，EF=DE+BF；故①正确；

在AG上截取AH=AM,连接BH、HN,

在公AHB和4AMD中，

AD=AB

<ZHAB=/MAD

AH=AM

.'.△AHB^AAMD,

ABH=DM,ZABH=ZADB=45°,

XVZABD=45°,

.,.ZHBN=90°.

•••BH2+BN2=HN2.

在^AHN和^AMN中，

AM=AH

<ZHAN=/MAN

AN=AN

•)△AHN也△AMN,

・・.MN=HN.

•••BN2+DM2=MN2；故②正确；

VAB/7CD,

AZDEA=ZBAM.

,/ZAEF=ZAED,ZBAM=180°-ZABM-ZAMN=180°-ZMAN-ZAMN=ZAND,

NAEF=NANM,

又NMAN=NFAE,

.,.△AMN^AAFE,故③正确；

过A作AP_1_EF于P,

VZAED=ZAEP,AD±DE,

AAP=AD,

与EF相切；故④正确；

VZANM=ZAEF,而NANM不一定等于NAMN,

・•・ZAMN不一定等于NAEF,

・・・MN不一定平行于EF,故⑤错误，

故选：B.

点评：例题3考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定,

勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

例题4.（2022•全国•九年级专题练习）在下图中，AB是O的直径，要使得直线AT是。的切线，需要

添加的一个条件是.（写一个条件即可）

【答案】NABT=/ArB=45。（答案不唯一）

【详解】解：添加条件：ZABT=ZATB=45°,

,：ZABT=ZATB=45°,

：.ZBAT=9Q°,

又：AB是圆。的直径，

是圆。的切线，

故答案为：/ABT=/ArB=45。（答案不唯一）.

点评：例题4主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键.

例题5.（2022•辽宁•沈阳市尚品学校九年级阶段练习）如图，ABC内接于（O,A3是。的直径，过。

外一点。作£»G〃BC,OG交线段AC于点G,交于点E,交。于点尸，连接。8,CF,ZA=ZD.

D

V

⑴求证：BD与。相切;

⑵若AE=OE,CF平分ZACB,皮）=12,求DE的长.

【答案】（1）见解析

（2）6A/5

【详解】（1）证明：QAB是：°的直径

ZACB=90°,

DG//BC,

:.ZAGE=ZACB=90°,

ZA=ZD,ZAEG=ZDEB,

.\ZDBE=ZAGE=90°,

.\DB.LAB,

・•.BD与。相切；

(2)解OJ如图2,连接,

图2

CF平分ZACB,

:.ZACF=ZBCF=45。,

:.ZAOF=2ZACF=90°

..OFLAB,

BDA.AB,

OF//BD,

:.^EFOs,

.OF_OE

一茄—熊’

AE=OEf

,OE\

"EB~3

OF_1

"~12~3

；.0F=4,

:.BE=OE+OB=2+4=6,

DE=yjBD2+BE2=V122+62=66.

点评：例题5考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理等知识，解答本题需

要我们熟练掌握切线的判定，第2问关键是证明LEFOsAEDB.

（1）根据直径所对的圆周角是直角可得NAC3=90。，再由平行线的性质可得ZDG4=90。，结合NA=/D与

三角形内角和定理即可得到/O3E=90。，即可得证；

（2）如图2,连接。尸，先根据垂径定理证明OAB,再证明7s△E/必，列比例式可得O尸=4,

即。的半径为4,根据勾股定理可得DE的长.

同类题型演练

1.（2022・全国•九年级专题练习）如图，以点。为圆心作圆，所得的圆与直线。相切的是（）

A.以OA为半径的圆B.以08为半径的圆

C.以OC为半径的圆D.以。。为半径的圆

【答案】D

【详解】解：。于。，

以。为圆心，为半径的圆与直线。相切，

故选：D.

2.（2021・安徽・九年级专题练习）如图，已知P为。。外一点，连接OP交。O于点A,且OA=2AP,求作

直线PB,使PB与。O相切.以下是甲、乙两同学的作法.

甲：作OP的中垂线，交OO于点B,则直线PB即所求.

乙：取OP的中点M,以M为圆心、OM长为半径画弧，交。。于点B,则直线PB即所求.

对于两人的作法，下列说法正确的是（）

0.

A

A.两人都对B.两人都不对C.甲对，乙不对D.甲不对，乙对.

【答案】D

【详解】如图1,作0P的垂直平分线交0P于点H,连接0B,

设AP=x,则0A=2x,OB=2x.

VBH垂直平分OP,

.\BO=BP=2x.

,?OB2+BP2=(2X)2+(2X)2=8X2,OP2=(3X)2=9X2,

...△OBP不是直角三角形，

APB不是。O的切线，

...甲的作法错误.

如图2,连接OB,

:点M为OP的中点，

...OP为0M的直径，

.-.ZOBP=90°,

；.OB_LPB,

；.PB与OO相切，

...乙的作法正确.

故选：D.

3.(2018•全国•九年级单元测试)如图，在,ABC中，AB=CB,以A3为直径的。交AC于点O,过点C

作CF〃AB,在CF上取一点E,使DE=CD,连接AE,对于下列结论：®AD=AE-,②，CBgCDE；

2

③弧§弧4D；④AE为。的切线，结论一定正确的是()

A.②③B.②④

【答案】B

【详解】如图:

VAB=CB,

AZ1=Z2,

而CD=ED,

AZ3=Z4,

VCF/7AB,

AZ1=Z3,

Z1=Z2=Z3=Z4,

.,.△CBA^ACDE,所以②正确

'.'△ABC不能确定为直角三角形，

・・・N1不能确定等于45°,

・・・3。和不能确定相等，所以③错误;

VAB是直径,

JZADB=90°,

・・・BD_LAC,

VBA=BC,

JAD=DC,

VDE=DC,

；.AD=DC=DE,

...△AEC是直角三角形，

...ZAEC=90°,

：AB〃CE,

AABXAE,

；.AE是。。的切线，故④正确，

故选B.

4.（2021・全国•九年级课时练习）如图，A3是；。的直径，。交于，DELAC,垂足为E,请你添

加一个条件，使OE是＜。的切线，你所添加的条件是.

【答案】BD=CD或AB=AC

【详解】解：若添加理由如下:

如图，连接。。，

,:BD=CD,OA=OB,

：.OD//AC,

'：DELAC,

C.DELOD,

,：。交BC于。，

，是:。的切线；

若添加AB=AC,理由如下:

如图，连接AD,

是。的直径,

.ZADB=9Q°,

...点。是8c的中点，

'：OA=OB,

J.OD//AC,

,/DE1AC,

：.DE±OD,

•/O交BC于D,

/.是：。的切线.

故答案为：BD=CD^AB^AC

5.（2022•全国•九年级课时练习）如图，A、8是。。上的两点，AC是过A点的一条直线，如果/4。8=120。,

那么当NCA8的度数等于度时，AC才能成为。。的切线.

【答案】60

【详解】解：:△AOB中，OA=OB,ZAOB=nO°,

ZOAB=NOBA=1(180°-ZAOB)=30°

:当。4LAC即N。4c=90。时，AC才能成为。。的切线,

.•.当/C4B的度数等于60。，即OALAC时，AC才能成为。。的切线.

故答案为：60.

6.（2022・湖南.炎陵县教研室一模）如图1,以』ABC的边AB为直径作。。，交AC于点E,连接BE,BD

平分448E交AC于R交。。于点。，且ZBDE=NCBE.

图1图2

（1）求证：BC是。。的切线;

(2)如图2,延长EO交直线AB于点P,^PA=AO.

pr)

①求；的值；

DE

②若。石=2,求。。的半径长.

【答案】(1)见解析

pn

(2)①三二2；②。。的半径长为20

DE

【详解】(1)证明：•・,A3是直径，

・・・ZA£B=90。，

ZA+ZABE=90°,

♦；/BDE=/CBE,ZA=ZD,

：.ZA=ZCBEf

：.ZABE+NCBE=90。,

：.ZABC=90°f

：.AB.LBCf

・・・3C是。。的切线.

(2)解：①如图2中，连接OD

「班）平分

ZEBD=ZABD,

•・・OB=OD,

:.ZABD=NBDO,

：.ZEBD=ZBDO,

：.BEOD,

•・•PA=AO=OB,

：.OP=2OB,

.PDPO

9DE~OB

②•：DE=2,——=2

:・PD=2DE=4,PE=PD+DE=4+2=6,

VZDPB=ZAPE,ZPEA=ZDBP,

:・LPDBS'PAE,

.PAPE

••而一诟‘

PB=OP+OB=2OB+OB=3OB,

.OB6

•・丁一亚，

OB=272，

，。。的半径长为2豆.

7.（2022・广东・广州市第一中学模拟预测）如图，在AABC中，ZC=90°,。、尸是边上两点，以。F为

直径的。。与BC相交于点E,连接£凡ZOFE=^ZA.过点尸作尸GLBC于点G,交。。于点凡连接

（1）求证：BC是。。的切线；

（2）连接E。，过点E作EQJ_AB,垂足为。，△EQO和△EGH全等吗？若全等，请予以证明；若不全等,

请说明理由；

⑶当80=5,BE=4时，求AEHG的面积.

【答案】（1）见解析

（22£。。和八£65全等，证明见解析

⑶SAEHGH

【详解】（1）证明：连接OE,

A

在AABC中，NC=90。，FG上BC,

.\ZBGF=ZC=90°,

:.FG//AC,

.\ZOFG=ZAf

ZOFE=-ZOFG,

:.ZOFE=ZEFG,

OE=OF,

:.ZOFE=ZOEF,

.\ZOEF=ZEFG,

：.OE//FG,

：.OE±BC,

，BC是。的切线；

(2)解：.QD和AEG"全等，理由如下:

由(1)知，OFE=ZEFG,

…BD=EH，

:.ED=EH.

QE.LBF,EGLFG,

.\QE=GE,

在RtAEQD与RtAEGH中，

(QE=GE

[ED=EH'

RtAEQ。三RtAEGH(HL)；

(3)解：50=5,BE=4,OE_LBE,

由勾股定理得到：OE=y/OB2-BE2=752-42=3^

.\BF=OB+OF=Sf

324

/.FG=BF.sinB=8x—=——,

55

BG=y/BF2-FG2=y,

:.EG=BG-BE=^,

i144

.・S^GE=3EG・FG=,EG:FG=1:2,

BC是切线，

:.NGEH=ZEFG,

ZEGH=ZFGEf

/.AEGH^AFGE,

.S^EGH_(EG2_1

•,—―拓

.o_lo_36

-Q里HG_40AFGE_25.

类型三：切线长定理

典型例题

例题1.（2022•福建省福州铜盘中学九年级阶段练习）如图，AB.AC.80是。。的切线，切点分别为P、

C、D,若AC=3,则30的长是()

A.2.5B.2C.1.5D.1

【答案】D

【详解】解：••SC、AP为。。的切线,

：.AC=AP,

:BP、为。。的切线,

：.BP=BD,

BD=PB=AB-AP=4-3=1.

故选：D.

点评：例题1考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键.

例题2.（2022•江苏•九年级课时练习）如图，PA>PB切。于点A、B,fl4=10,8切）0于点E,交PA、

PB于C、。两点，则PCD的周长是（）

A.10B.18C.20D.22

【答案】C

【详解】解：：以、尸2切。。于点4、B,CO切。。于点E,

：.m=PB=10,CA=CE,DE=DB,

：.APCD的周长是PC+CD+PD

=PC+AC+DB+PD

=PA+PB

=10+10

=20.

故选：c.

点评：例题2考查了切线长定理的应用，关键是求出△尸。的周长=B4+P3.

例题3.（2022•山东淄博•二模）如图，内切于RtAABC,点P、点0分别在直角边2C、斜边A3上,

且PQ与。相切，若AC=2尸0,贝！Isin/B的值为（）

【答案】B

【详解】解：如下图所示，设，。与RtZXABC相切于点D,E,G,与尸。相切于点R连接O。，OE,OF,

OG,设。的半径为r,BQ=x,PE=y.

,：。与Rt^ABC相切于点Z),E,G,与尸。相切于F,PQ±AB,

：.OD=OE=OF=OG=r,ZODC=ZOEC=ZOGQ=ZOFQ=ZACB=ZPQB=ZFQG=90°,PF=PE=y,BE=BG.

，四边形ODCE是矩形，四边形。尸。G是矩形，BP2=BQ2+PQ2.

矩形ODCE是正方形，矩形。F。G是正方形.

/.CE=OE=r,FQ=GQ=OG=r.

BG=BQ+GQ=x+r,PQ=PF+FQ=y+r.

*：AC=2PQf

.这-2

・.PQ•

ZABC=ZPBQ,

：.△ACBSNQB.

BCACc

.•・瓦=市=2.

:,BC=2BQ=2x.

BE=BC-CE=2x-r.

.*.x+r=2x-r.

••x=2r.

BQ=2r.

BE=3r.

BP=BE-PE=3r-y.

A(3r-y)2=(2r)2+(y+r)2.

.1

..y=—r.

2

・・・PE=PF=-r.

2

35

PQ=-r,BP=-r.

22

3

BPL5

2

故选：B.

点评：例题3考查切线的性质，正方形的判定定理和性质，相似三角形的判定定理和性质，切线长定理，

勾股定理，解直角三角形，综合应用这些知识点是解题关键.

例题4.（2022•山东德州•九年级期末）如图，AB.AC为。。的切线，5和C是切点，延长03到点O,使

BD=OB,连接AO,若NZMC=78。，则NA。。等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

【答案】B

【详解】解：:AB、AC为。。的切线，

：.ZBAO=ZCAO,OBLAB,

•；BD=OB,

・・・A3垂直平分OO,

：.AO=AD.

•••△AOO为等腰三角形，

：.ZBAO=ZBAD,

：.NCAO=ZBAO=/BAD,

o

・・・ZDAC=ZBAD-^-ZBAO+ZCAO=78f

：.3ZBAD=7S°,

解得N84O=26。，

・•・ZADO=90°-ZBAD=90°-26°=64°.

故选：B.

点评：例题4考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长定理。先根据切线长

定理，由AB、AC为。O的切线得到NBAO=NCAO,根据切线的性质得OBLAB,加上BD=OB,则

可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得NBAO=NBAD,即NCAO=NBAO=

ZBAD,然后利用NDAC=NBAD+NBAO+NCAO=78。可计算出NBAD=26。，再利用NADO=90。-

ZBAD求解.

例题5.（2022•全国•九年级课时练习）如图，PA,PB分别切。。于点A,B,NP=70。，则N430=

【答案】35°

【详解】解：:RI,分别切。。于点4,B,

J.OBLPB,PA=PB,

：.ZPBO=90°,NABP=NBAP

:NP=70°,

ZABO^ZPBO-/ABP=90°-55°=35°,

故答案为:35°.

点评：例题5考查了切线的性质和切线长定理，熟记性质是解题的关键.利用切线的性质和切线长定理可

得OB_LPB,PA=PB,进而得到NPBO=90。，ZABP=ZBAP,结合NP=70。求得NABP的度数，即可

求得NABO

例题6.（2022•全国•九年级课时练习）如图，以为直径作°,在。上取一点C,延长至点。，

连接OC,ZDCB=ZDAC,过点A作AELAD交OC的延长线于点E.

⑴求证：8是。。的切线;

(2)若CO=4,DB=2,求AE的长.

【答案】（1）见解析

(2)AE=6

【详解】(1)证明：连接0C,如图,

为直径，

AZACB=90°,即/BCO+/ACO=90°,

'：OC=OA,

：.ZACO=ZCAD,

又

ZACO=ZDCB,

：.ZDCB+ZBCO=90°,即N£)CO=90°,

:oc是。。的半径，

...CO是。。的切线；

(2)解:-：ZDCO=90°,OC=OB,

:.OC2-\-CD2^OD2,

：.OB2+42=(OB+2)2,

：.OB=3,

：.AB^6,A£)=8,

,：AE±AD,AB是。。的直径，

.•.AE是。。的切线，

是(DO的切线，

C.AE^CE,

'：在RtAADE中，AD2+AE~=DE2,

：.82+AE2=(4+AE)2,

.\AE=6.

点评：例题6考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角

定理的推论、切线长定理和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.

同类题型演练

1.（2022.全国•九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，AD8C,A8,8C,，O是四边形ABCD的内切

圆，C£）,3C分别切：。于尸，E两点，若AD=3,3C=6,则斯的长是（）

16/TC.|A/97

A.|6B.-^-\5D.I质

【答案】A

【详解】连接OC,与EF相交于点M,作DGLBC于点G,连接OE,设A。与圆的切点为“，如图,

AD//BC,AB±BC,DG±BC,

四边形A3GO是矩形，

：.BG=AD=3,CG=BC-BG=6-3=3,

:点E、F、H是切点,

：.DF=DH,CF=CE,OC^-^ZECF,

.二△EC尸是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线,

：.EM=FM,

设圆。半径为R,则BE=R,DG=2R,,

：.CE=CF=6-R,DF=DH=3-R,

DG2+CG2=CD2,

二（2村+32=［（3-R）+（6-R）f

解得:R=2,

：.C£=6-2=4,

OC=VOE2+CE2=>/22+42=2百，

S=-OECE=-OCEM,

■OEFCr22

.e,OECE2x44逐

..EM=-------=-产=----,

OC2755

.4>/5_8>/5

••EF—2EA1=2x-----=------,

55

故选A.

2.（2022・浙江.宁波市兴宁中学一模）如图，A是：。外一点，AB,AC分别与。相切于点6,C,尸是

BC上任意一点，过点尸作，。的切线，交4B于点“，交AC于点N.若:O的半径为4,ZBAC=60°,则

4WN的周长为（）

A.4A/3B.8D.12

【答案】C

【详解】解：QAB,AC分别与。相切于点8,C,

AB=AC,NBAO=ZCAO,NABO=90°,

MN是.。的切线，切点为尸,

:.PM=MB,PN=NC,

AAGV的周长=AM+M7V+4V=4W+MP+PN+4V=M+AC=2AB,

ZBAC=60°,OB=4,

ZBAO=-ABAC=30°,

2

At540中,

tanZBAO=—

AB

.g4

AB

:.AB=^=4y[3,

AMN的周长=8月,

故选：C.

3.（2022・湖北•武汉市崇仁路中学九年级阶段练习）如图，OO与AABC的三边分别相切于点。，E,F,连

接DE,EF.若AO=6,BE=1,CF=8,贝!Itan/OEF的值是（）

B.2

【答案】A

【详解】解：过点8作BM_LAC于点连接。£»、OE、OF、AO.BO、CO,如图所示:

。与△ABC的三边分别相切于点。，E,F,

：.OD±AB,OF±AC,OE±BC,OD=OE=OF,

AF=AD=6,CE=CF=8,BD=BE=J,

设OD=OE=OF=r,

：.AB=AD+BD=13,AC=AF+FC=14,BC=BE+EC=15,

'：BM±AC,

：.ZBMA=NBMC=90°,

，AABM与ACBM为直角三角形，

根据勾股定理可得：BM2=AB2-AM2,BM1=BC--CM',

即AB2-AM2^BC2-CM2,

132-AM2=152-(14-AAf)2,

解得：AM—5,

则BM=4AB?-AM?=12,

=-x14x12=84,

=-ABxr+-ACxr+-BCxr

222

=-x(13+14+15)xr

2'7

=21r

21r=84,解得：r=4,

在RtAAOD和RtAAOF中,

：.RtAAOZ^RtAAOF(HL),

ZAOD=ZAOF=-ZDOF,

DF=DF>

:.ZDEF=-ZDOF,

2

:.ZAOD=NDEF,

：.tanZDEF-tanZAOD=-^-=-,故A正确.

OD42

故选：A.

4.（2022•浙江浙江•一模）如图，AD是。。的直径，B4,尸5分别切。。于点A,B,弦BC〃AD当CQ的

度数为126。时，则NP的度数为（）

A.54°B.55°C.63°D.64°

【答案】A

【详解】如图，连接A3,CO,BO,

A.

CD的度数为126。，

ZCOD=126°.

CO=DO,

ZCDO=-(180°-ZCOD)=27。.

2

BCAD,

ZBCD=ZCDA=27°.

BD=BD，

.•./BAD=/BCD=27°,ZBOD=2ZBAD=54°,

ZAOB=126°.

PA,反是。。的切线，

ZPOA=ZPOB=63°,NB4O=90。，ZAPO=ZBPO,

ZAPS=2ZAPO=2(90°-ZPOA)=2x27。=54°.

故选A.

5.(2021・广东・广州市第二中学南沙天元学校九年级阶段练习)如图，B4,总是。。的切线，CD切。。于

点、E,△PCD的周长为12,ZAOB=120°,则A3=.

【答案】6

【详解】解：•・•外,尸8是。。的切线，CO切。。于点

「・PA=PB,CA=CE,DB=DE,

'••△PC。的周长为12,

尸C+CE+尸。+DE=PC+CA+PD+DB=PA+PB=12，

:.PA=PB=6,

,：PA,PB是。。的切线，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

；ZA(?B=120°,

：.ZP=60°,

：./\PAB是等边三角形，

.,.AB=PA=6,

故答案为：6.

6.(2022.全国•九年级专题练习)如图，42为。。的切线，B为切点，过点8作垂足为点E,交

。。于点C,延长CO与的延长线交于点。.

(1)求证：AC为。。的切线；

(2)若0c=2,OD=5,求线段AD和AC的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵g""；三国

【详解】(1)证明：连接02,则OC=OB,如图所示:

'：OA.LBC,

：.EC=BE,

是CB的垂直平分线,

：.AC=AB,

:在△CA。和△BAO中

AO=AO

<AC=AB,

OC=OB

：./\CAO^/\BAO(SSS),

：.ZOCA^ZOBA.

,.•AB为。。的切线，B为切点,

：.ZABO=90°,

/OC4=90°,EPAC±OC,

；.AC是。。的切线.

(2)解：：OC=2,OD=5,

：.OB=2,CD=OC+OD=1,

'：ZOBD=90°,

BD=yJoD2-OB2=V52-22=V2T，

设AC=x,贝！IAC=AB=x,

'.'CCP+AC^Ab2,

：.X2+72=(X+A/21)2,

解得x⑸

AC=-y/21,

3

25

・•・AO=A3+5O=AC+3O=一回+V21=-V21.

33

7.(2022・湖北武汉•二模)如图，必与。。相切于点A,A8是直径，点。在。。上，连接C8,CP,2ZB+ZP

180°.

(1)求证：PC是。。的切线；

⑵过。作0O〃PC,交AP于点。，若AB=8,/49。=30。.求由线段E4,PC及弧AC所围成阴影部分

的面积.

【答案】(1)见解析

⑵由线段PA,PC及弧AC所围成阴影部分的面积为16方-华万

【详解】(1)证明：连接℃,

•?OB=OC,

：.ZB=ZOCB,

：.ZAOC=2ZB

•/2NB+NP=180。，

ZAOC+ZP=180°,

ZOAP+ZOCP=360°-(ZAOC+ZP)=180°

又以是。的切线，

则/。4P=90。，

，ZOCP=90°

•1.PC是二。的切线

(2)连接OP,

由N。4P=90。，NAO£>=30。知，ZADO=60°

•/OD//PC,则ZAPC=ZADO=60°

又由(1)知RI,PC是。的切线

ZAPO=NCPO=30°,则ZAOP=NCOP=60°

VAB=8,则04=4,AP=4y/3,则以"。=84

同理，SACP°=8C

,•*ZAOC=180°-ZAPC=120°,OA=4,

则无吟。。=翔"号万