高考数学第一轮复习导学案：复数（原卷版+解析）

第38讲复数

知识梳理

1、复数的有关概念

⑴复数的意义：形如z=a+bz(a>b£R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=~la叫做实

部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系

(2)复数的模：z=a+bi，|z|=.

(3)复数相等：zi=〃i+bii，Z2=a2+b2i»zi=Z2，则.

(4)共转复数：z=a+bi，_________互为共钝复数.

2、复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则.

设zi=a+bz5Z2=c+di(a，b，c，d£R)，贝!J

①加法：zi+Z2=(〃+历)+(c+di)=;

②减法：zi—Z2=(〃+历)—(c+di)=；

③乘法：zi•Z2=(a+bi)\c+di)=；

④除法：?=喑=(c+diWO).

3、复数的几何意义

(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚

轴上的点都表示纯虚数.

4、复数的几何表示

复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量应=(a'beR)是一一对应关系.

真题再现

1、【2022年全国甲卷】若z=1+「贝U|iz+32|=()

A.4A/5B.4y/2C.2V5D.2A/2

2、【2022年全国甲卷】若z=—1+V^,则看=()

A.-1+V3jB,-1-V3jc.」+力D.--乌

331331

3、【2022年全国乙卷】设(l+2j)a+b=2j,其中Q,b为实数，则()

A.a=l,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

4、【2022年全国乙卷】已知z=1—2j,且z+a讶+b=0,其中b为实数，则()

A.a=1,b——2B.a=-1,b-2C.a=1,b=2D.a=-1,b=-2

5、【2022年新高考1卷】若41-z)=1,贝Uz+2=()

A.-2B.—1C.1D.2

6、【2022年新高考2卷】(2+2i)(l-2p=()

A.-2+4,B.-2-4jC.6+2jD.6-2j

7、（2021•全国高三专题练习（理））己知i为虚数单位，且复数Z满足12—Zo|=l,则复数Z对

应点的轨迹方程为（）

A.（x-1）2+（y+l）2=4B.（x-1）2+（y-l）2=4

C.(x+l)2+(y+l)2=1D.(x-1)?+(y-丁=1

8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国回卷））

1-i_

已知z=--------,则z—z=（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

9、（2023年全国新高考回卷）在复平面内，（1+31）（3—1）对应的点位于（

）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

热身训练

1、（2022•河北深州市中学高三期末）已知复数z=（2+ai）（l+i）（其中i为虚数单位，aeR）在复平面内对

应的点为（1,3）,则实数。的值为（）

A.1B.2C-1D.0

2、（2022•河北张家口•高三期末）已知z=l-2"则＞=（

)

Z

A.-2+iB2-i

C.10-5iD.-10+5i

3、（2022•山东枣庄.高三期末）已知i为虚数单位，则［2侬=（).

A.1B.-1CID.-i

4、（2022•山东德州•高三期末）已知复数z满足2+-=z(1)，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所

i

对应的点在（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

_2+6i

5、（2022•山东临沂•高三期末）已知复数zi为虚数单位，则z=（）

一l-i'

A.272B.2A/3C.275D.2y/6

典例剖析

考向一复数的有关概念

加2—7加+6

例1、已知复数2=―加2T+（m2—5m—6）i（mR）,试求实数机分别取什么值时，z分别为:

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数.

1_i2

变式1、（1）（2022・广东潮州•高三期末）已知i为虚数单位，复数z=」，则z的虚部为（）

1+i

A.0B.-1C.-iD.1

1+z

（2）（2022•山东淄博•高三期末）已知复数z是纯虚数，是实数，贝匹=（）

1-1

A.—iB.iC.—2iD.2i

（3）（2022•江苏常州.高三期末）i是虚数单位，已知复数z满足等式三+二=0,贝心的模目=.

iz

变式2、（2022・河北唐山•高三期末）（多选题）已知复数z=〃+为（。*£氏且8力0）,讶是z的共扼复数，

则下列命题中的真命题是（）

z-

A.z+zeRB.z-zeRC.zzGRD.-eR

z

方法总结：（1）解决复数问题，首先要看复数是否为a+b/（a，bGR）的形式，以确定实部和虚部.（2）对于

复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和

虚部满足的方程（不等式）组.特别要注意：纯虚数的充要条件是：。=0且bWO.

考向二复数的运算

4

例2、（1）已知复数z满足z（，-i）=2,其中i为虚数单位，若复数z的实部为彳，则实数。二（）

1B.工或2C.+—D.2

A.

22-2

4+z

(2)）

2+i

（3）已知/•是虚数单位，若z=-3+,乙则z2=（）

22

A1V3.1V3.c15

RrD.---------i

22222222

变式1、（1）（2022.河北保定.高三期末）（1一2叶—（1+丁=（

)

A.-3-2iB.-3-6iC.3-2iD.3-6i

（2）（2022.山东省淄博实验中学高三期末）设复数z满足（2-3i）z=3+2i,则忖=（）

A.!B.J2C.1D.正

22

（3）（2022・湖北•恩施土家族苗族高中高三期末）若z=-l+i.设0=zL则。=（）

A.2iB.2C.2+2iD.2-2i

方法总结：（1）要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则.

（2）遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z=a+6i，再通过四则运算，计算出a，b的值.

考向三复数的几何意义

例3、⑴已知复数z=x+yi，且|z—2|=小，贝畛的最大值为

变式1、设复数z=log2（m2—3加-3）+ilog2（加一2）,对应的向量为OZ.

（1）若龙的终点Z在虚轴上，求实数力及|砺的值;

（2）若宓的终点Z在第二象限内，求实数机的取值范围.

变式2、（2021•陕西西安市•西安中学高三月考（文））已知复数马=2-万（，为虚数单位）在复平面内对应的

点为《，复数Z2满足%—，［=1,则下列结论不正确的是（）

A.耳点的坐标为（2,—2）B.）=2+2/

C.以2-4|的最大值为JR+1D.上2-4|的最小值为2a

方法总结：准确理解复数的几何意义

（1）复数Z、复平面上的点Z及向量为方相互联系，即z=a+历（a,6GR）U>Z（a,b）妗0,.

（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

（3）进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；

（4）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数。+历（a,bdR）与复平面上的点（a,6）一—对应.

优化提升

1、（2022・江苏海安・高三期末）已知复数z满足（1—i）z=2+3i（i为虚数单位），贝ljz=（

1,5,

A.一万十丁B-l+l1

15.

C.———1d

22--r?

2、（2022•江苏如东•高三期末）已知复数Z满足力2°21=42°22—年°23,贝Z=（

A.4+3iB.4-3iC.3+4iD.3—4i

3、（2022.江苏苏州.高三期末）设i为虚数单位，若复数（l-i）（l+Qi）是纯虚数，则实数。的值为（)

A.-1B.0C.1D.2

4、（2022•江苏无锡•高三期末）已知^~-（i为虚数单位，aeR）为纯虚数，则。=（）

1+i

A.-1B.1C.-3D.3

5、（2022•广东东莞•高三期末）（多选题）已知复数z”Z2，Z3,4是4的共辗复数，则下列结论正确的是（)

A.若Z]+Z2=°,则㈤=㈤B.若Z?=,则㈤=团

C.若Z3=+2，则%|=|马尼|D.若|马+1|=22+1|,则㈤=闫

6、（2022.江苏苏州.高三期末）（多选题）下列命题正确的是（)

A.若Z”Z2为复数，则|乎2|=%卜%|

B.若莉为向量，则|词书W

C.若40为复数，且一+22|=归—Z/,则乎2=。

D.若为向量，且卜+q=卜-目，则£/=0

7、（2021•福建・莆田二中高三期末）设xeR,记国为不大于x的最大整数，国为不小于x的最小整数.设

集合4=标|24目上3/€。｝,2=卜|24侗卜3/€。｝,则4「3在复平面内对应的点的图形面积是

第38讲复数

知识梳理

1、复数的有关概念

⑴复数的意义：形如z=a+bz(a>b£R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=~la叫做实

部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系

(2)复数的模：z=〃+Z?i，团=1层+庐.

(3)复数相等：zi=a\+b[i»Z2=〃2+历i'zi=Z2»则。1=。2'-=历・

(4)共物复数：z=a+biJz—=a—bi；z与z—互为共物复数.

2、复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则.

设zi=a+bi，Z2—c+dz(a，b，c，d£R)，贝！J

①加法：zi+z2=(〃+bi)+(c+di)=(〃+c)+S+t/)i;

②减法：zi-Z2=(〃+bi)-(c+di)=(〃-c)+(/?—d)i；

③乘法：zi•Z2=(a+bi)­(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

人、小z\a-\-bi(〃+历)(c—Ji)

④除法：♦=』=(c+di)(C—di)

(〃c+/?d)+(be-ad)i,

=---------段---------(c+力川

3、复数的几何意义

(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚

轴上的点都表示纯虚数.

4、复数的几何表示

复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=(a>b)(a,bGR)是--■对应关系.

真题再现

1、【2022年全国甲卷】若z=1+1则|jz+32|=()

A.4V5B.4V2C.2V5D.2a

【答案】D

【解析】因为z=1+p所以jZ+3z=j(l+p+3(1—p=2—2j,所以|jZ+3z|=V4+4=2A/2-

故选：D.

2、【2022年全国甲卷】若z=—1+V3?则丘=()

A.-1+V3；B,-1-V3；C.-工+乌D.一工一鸟

11331331

【答案】C

【解析】z=-1—V3pzz=(-1+V3j)(—1—V3j)=1+3=4.

z-1+V3；1V3

==1-

zz-1------3--------3---31

故选：C

3、【2022年全国乙卷】设(l+2j)a+b=2?其中a,b为实数，则()

A.a=l,b=-1B.a=1,b=1C.a=-1,b=1D.a=-1,b=-1

【答案】A

【解析】因为a,bER,(a+b)+2%=2j,所以a+b=0,2a=2,解得：a=l,b=—1.

故选：A.

4、【2022年全国乙卷】已知z=1—2j,且z+a2+b=0,其中a,b为实数，贝U()

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2C.a=l,b=2D.a=-1,b=-2

【答案】A

【解析】z=1+2pz+ctz+力=1—2j+a(l+2j)+b=(l+a+b)+(2a—2)j

由z+或+6=。,得｛lj匕30,即仁二1

故选:A

5、【2022年新高考1卷】若4I—z)=1,则z+彳=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】由题设有1—z=工=*=一］,故z=故z+N=(1+j)+(1-p=2,

ii

故选：D

6、【2022年新高考2卷】(2+2j)(l—20=()

A.-2+肉B.-2—4jC.6+2jD.6一2j

【答案】D

【解析】(2+2j)(l-2»=2+4-£+2j=6-2-

故选：D.

7、(2021•全国高三专题练习(理))已知i为虚数单位，且复数Z满足|z-Z0|=l,则复数Z对

应点的轨迹方程为()

A.(X-1J+(y+1)~=4B.(x-l)-+(y-I?=4

C.(x+l)2+(y+l)2=lD.(x-l)2+(j-l)2=1

【答案】C

l-3z_(l-3z)(l-2z)

【解析】z0==—1—Z,由题意知|z—Z(J=1,则复数z对应点的轨迹方程为

l+2z5

(x+l)2+(y+l)2=l.

故选：c.

8、（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国回卷））

1-i_

已知Z=——，则z—z=()

2+21

A.B.iC.0D.1

【答案】A

1—i_(l-i)(l-i)-2i1.-1

【解析】因为z--1,所以z=—i即z—z二­i

2+2i2(l+i)(l-i)422

故选：A.

（1+31）（37）对应的点位于

9、（2023年全国新高考国卷）在复平面内,().

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

因为(l+3i)(3—i)=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

热身IB练

1、（2022•河北深州市中学高三期末）已知复数z=（2+oi）（l+i）（其中i为虚数单位，aeR）在复平面内对

应的点为（1,3）,则实数〃的值为（)

A.1B.2C.-1D.0

【答案】A

【解析】因为z=(2+ai)(l+i)=2—a+(a+2)i,

又因为复数在复平面内对应的点为（1,3）,

2—々=1

所以

<1+2=3

解得"=1

故选：A

2、(2022•河北张家口•高三期末)已知z=l—2K则包=(

)

z

A.-2+iB.2-i

C.10-5iD.-10+5i

【答案】A

5i5i(l+2i)

【解析】-==—2+i,

Zl-2i-(l-2i)(l+2i)

故选：A.

3、(2022•山东枣庄•高三期末)已知i为虚数单位,则i20®).

A.1B.-1C.ID.-i

【答案】B

【解析】

12022_14x505+2_12__]

故选：B.

4、(2。22•山东德州•高三期末)已知复数z满足2+，

z(I)，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内所

对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】2+1=2+口=|2一“=百+(-1)=君,7=正=商+i)=旦+旦

111-i(l-i)(l+i)22

则复数z在复平面内所对应的点坐标为坐，坐，在第一象限.

故选：A

5、(2022•山东临沂•高三期末)已知复数2=今包，i为虚数单位，贝ij|z|=()

1—1

A.2后B.2下＞C.2A/5D.276

【答案】C

(2+6i)(l+i)_(2+6i)(l+i)

【解析】z==(l+3i)(l+i)=-2+4i,

(I)(l+i)2

|z|=J4+16=2B

故选：C

剖析

考向一复数的有关概念

—7m+6

例1、已知复数z：-加2T-+(m2—5m—6)i(mR),试求实数机分别取什么值时，z分别为:

(1)实数;

⑵虚数;

⑶纯虚数.

【解析】：(1)当z为实数时,

m2—5m—6=0,-1或，"=6,

则有所以

m2—1^0.»±1,

所以加=6,即机=6时，z为实数.

-7加+6

⑵当z为虚数时，则有序一5加一6邦且J~i有意义，所以*一1且*6且*1.

m—1

根丹1且机#6.所以当相£(—oo,—1)U(―1,1)U(1,6)U(6,+s)时，z为虚数.

加2-5根一6r0,

(3)当z为纯虚数时，贝!J有彳加2—7祖+6

m2—1

根，-1且声?6,

所以,口1故不存在实数相使z为纯虚数.

1_i2

变式1、(1)(2022.广东潮州.高三期末)已知i为虚数单位,复数z=」,则z的虚部为(

1+i

A.0B.-1C.-iD.1

【答案】B

【解析】

1-i222(l-i)

z--------=----------------------=1-i.则z的虚部为一1.

1+i1+i(l+i)(l-i)

故选：B.

(2)(2022•山东淄博•高三期末)已知复数z是纯虚数，产1-1-是7实数，则吃=(

1-1

A.-iB.iC.-2iD.2i

【答案】B

【解析】

由题意设Z=bi(b£&,

,1+z1+M(l+Z?i)(l+i)(l-Z?)+(l+/?)i

贝U-----=--------=----------------=--------------------,

1-i1-i(l-i)(l+i)2

1-1-7

因为一是实数，所以1+》=。，得匕=-1,

1-1

所以z=—i,

所以z=i,

故选：B

(3)(2022・江苏常州•高三期末)i是虚数单位，已知复数z满足等式±+4=0,贝”的模目=

iz

【答案】72

【解析】

由三+a=0,可得三=—①

iziz

则有二=梆，即同x|z|=|i|x卜2i|=2,故有忖=J5

1目

故答案为：拒

变式2、(2022•河北唐山•高三期末)(多选题)已知复数2=a+历(a/eR且6力0),三是z的共扼复数,

则下列命题中的真命题是()

A.z+zeRB.z—zeRC.z-zGRD.—eR

z

【答案】AC

【解析】

解：对于A选项，z=a+bi,z=a-bi，所以z+5=2i£R,故正确;

对于B选项，z=〃+bi,z=a-bi，z-z=2bi^R,故错误；

对于C选项，z=a+Z?i,z=a-bi9z-z=（22+Z?2GR?故正确；

-..za—bi（〃—历）a2-b2-2abi

对于选项，z=a+bi,

Dz=a-bi»—=----7----彳=---------

za+bia+ba+b

z~z

所以当a=0时，一ER,当〃wO时，一eR,故错误.

zz

故选：AC

方法总结：（1）解决复数问题，首先要看复数是否为a+bi（a，bGR）的形式，以确定实部和虚部.（2）对于

复数的分类问题，可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，把复数化为代数形式，列出实部和

虚部满足的方程（不等式）组.特别要注意：纯虚数的充要条件是：。=0且6W0.

考向二复数的运算

4

例2、（1）已知复数z满足z（，—i）=2,其中i为虚数单位，若复数Z的实部为彳，则实数。=（)

1B.工或2c.+逅

A.—D.2

222

【答案】B

22(a+i)2la2.

，L兆名〃牛十折1二】/田rh诬日百口石丁）夕倚日47一-.-一—/、.、//.、一21i,

a-i（6Z-i）（6Z+i）a+1a7+1

rm2。4

则—T解得a=—或2，

47+152

故选：B.

.、4+z

(2)——=()

2+i

92.92.92.92.

A.----1B.—l—iC.------1D.-----\--i

55555555

【答案】A

4+；(4+z)(2-z)8-4z+2z-z292.

【解析】——

2+i(2+0(2-/)555

故选：A.

（3）已知/•是虚数单位，若2=—走+,乙则z2=（）

22"

A1R16.r1V3.

D，回

22222222

【答案】D

【解析】由题可知：z=—昱3

22

1也.

。—乌+=-------------1

42422

故选：D

（1一町_（1+炉=

变式1、（1）（2022•河北保定•高三期末）)

A.-3-2iB.-3-6iC.3-2iD.3-6i

【答案】B

【解析】(l-2i)2-(l+i)2=-3-4i-2i=-3-6i.

故选：B

（2）（2022•山东省淄博实验中学高三期末）设复数z满足（2-3i）z=3+2i,则|z卜（）

A.1B.J2C.1D.正

22

【答案】C

【解析】因复数z满足（2-3i）z=3+2i,则z=累;卜*,

所以忖=1.

故选：C

（3）（2022.湖北・恩施土家族苗族高中高三期末）若z=—l+i.设0=z3，则。=（）

A.2iB.2C.2+2iD.2-2i

【答案】B

【解析】由z=—1+i,得三=一1一i，

所以0=z9=（-1+i）（-l-i）=-（i2-1）=2.

故选:B

方法总结：（1）要熟练掌握复数的乘法、除法的运算法则.

（2）遇到复数的运算与复数概念的综合题，先设z=a+bi，再通过四则运算，计算出a，b的值.

考向三复数的几何意义

例3、（1）已知复数2=*+丫，，且忆一2|=小，贝吟的最大值为

【答案】小

【解阿】,・,|z—2|=

y]（x—2）2+y2=y13，

...（x—2）2+y2=3.由图可知偿）=乎=小.

、入，max1

变式1、设复数z=log2（M2—3徵-3）+ilog2（M—2）,对应的向量为OZ.

（1）若宓的终点Z在虚轴上，求实数小及|物的值；

（2）若龙的终点Z在第二象限内，求实数机的取值范围.

【解析】（1）由题意，得log2（』2—3加-3）=0,

所以加2—3加一3=1,解得加=4或根=—1.

m2—3m—3>0,

所以m=4,此时z=i,OZ=(0,1),|OZ|=1.

rlog2（m2—3m—3）<0,

log2（m—2）>0,

（2）由题意，得R22

m—3m—3>0,

<m—2>0,

3+^21

解得-2―<m<4,

3+^21

所以实数机的取值范围是（二―，4）.

变式2、（2021•陕西西安市•西安中学高三月考（文））已知复数马=2-万。为虚数单位）在复平面内对应的

点为《，复数Z2满足卜-z[=l,则下列结论不正确的是（）

A.<点的坐标为（2,-2）B.Z]=2+2i

C.上2—1|的最大值为JF+lD."—zj的最小值为2a

【答案】D

【解析】A：因为复数Z1=2-2z«为虚数单位）在复平面内对应的点为《，所以《点的坐标为（2,-2）,因

此本选项结论正确;

B：因为4=2-2i,所以a=2+23因此本选项结论正确；

C,D：设22=x+V(x,yeR),在复平面内对应的点为P(x,y),设A(O,1)

因为卜-“]=1,所以点尸(x,y)到点A的距离为1,因此点P(x,y)是在以A(O,1)为圆心，1为半径的圆，

卜-zj表示圆A上的点到《点距离，

因止匕"一马匕=时+1=也2+(—2—1)2+1=而+1,

忤_小=期-1=也2+(-2-1)2_]=而_1,所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确，

故选：D

方法总结：准确理解复数的几何意义

(1)复数Z、复平面上的点Z及向量市相互联系，即2=。+历(a,bGR)U>Z(a,b)^~OZ.

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

(3)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；

(4)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复数a+历(a,bGR)与复平面上的点(a")-----对应.

优化提升

1、(2022•江苏海安•高三期末)已知复数z满足(1—i)z=2+3i(i为虚数单位)，贝|z=(

【答案】A

【解析】V(l-i)z=2+3i,

2+3i(2+3i)(l+i)-l+5i15.

1-i-(l+i)(l-i)-221-

故选：A.

2、(2022•江苏如东.高三期末)已知复数Z满足力2°21=芈2。22_驴°23,贝。Z=()

A.4+3iB.4-3iC.3+4iD.3—4i

【答案】C

【解析】因为r=i,

3

故由力2°21="。22一驴。23可得：zi=4r-3i,即z=4i+3=3+4i,

故选：C.

3、(2022.江苏苏州.高三期末)设i为虚数单位，若复数(1-i)Q+ai)是纯虚数，则实数。的值为(

A.-1B.0