【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）专题08 二次函数的应用之六大考点(原卷版)

专题08二次函数的应用之六大考点【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用二次函数解决拱桥问题】 1【考点二利用二次函数解决销售问题】 9【考点三利用二次函数解决投球问题】 18【考点四利用二次函数解决喷水问题】 26【考点五利用二次函数解决图形问题】 34【考点六利用二次函数解决图形运动问题】 40【典型例题】【考点一利用二次函数解决拱桥问题】例题：如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，桥的跨径为，此时水位在处，在水面以上的桥墩都为，桥拱最高点P离水面．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求此桥拱所在抛物线的表达式．(2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．【变式训练】1．如图．有一座抛物线形拱桥．在正常水位时桥下水面的宽度为．这时拱高(点到的距离)为．

(1)你能求出在图()的坐标系中．抛物线的函数表达式吗？(2)如果将直角坐标系建成如图()所示，抛物线的形状、表达式有变化吗？请求出()中的解析式．2．图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为轴、所在的直线为轴建立平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是桥拱截面上一点距桥墩的水平距离，是桥拱截面上一点距水面的距离．

(1)求此桥拱截面所在抛物线的表达式；(2)若桥拱最高点离水面为警戒水位，求警戒水位处水面的宽度．(3)有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨时，水面到棚顶的高度为，遮阳棚宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．3．悬索桥是特大跨径桥梁的主要形式之一，它是以通过桥塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁，缆索可以近似的看作一条抛物线．如图1是某悬索桥单侧结构图纸．按照设计，需从缆索垂下49个吊杆，把桥面吊住，这些吊杆等距离的分布在两个桥塔之间．为了求出吊杆的长度，小明以悬索桥单侧结构图纸的“桥面”为x轴，以主桥中心线为y轴，建立了如图2所示的坐标系．设缆索形成的抛物线顶点为G，缆索的两个端点A和D分别固定在桥塔、上，根据图1中的数据，得图2中，，．(1)求出抛物线的解析式；(2)求桥塔向左数第5个吊杆的长度是多少米．4．如图1所示的是山西晋城景德桥，是继赵州桥之后我国现存历史悠久的古代珍贵桥梁之一．桥拱截面可以看作抛物线的一部分（如图2），在某一时刻，桥拱内的水面宽约20米，桥拱顶点B到水面的距离为4米．(1)如图2，以该时刻水面为x轴，桥拱与水面的一个交点为原点建立直角坐标系，求桥拱部分抛物线的解析式．(2)直接写出在距离水面2米处的桥拱宽度为______米．(3)现有两宽为4米，高3米的小舟，相向而行，恰好同时接近拱桥，问两小舟能否同时从桥下穿过，并说明理由．5．如图（1）所示，濮阳湿地公园中，金堤河大桥是一座非常有艺术性造型的大桥．桥身是由两条抛物线钢架建造．如图（2）所示，两条抛物线有共同的对称轴，已知，过原点，两抛物线最高点的距离为．

(1)求抛物线的解析式；(2)①求主桥长为多少米？②过点与轴平行的直线为河面的水平线，，若要在与水面的交点、处建造两个桥墩，其中一个桥墩到岸边（轴）的距离是多少米？（说明：题中个单位长为米）【考点二利用二次函数解决销售问题】例题：某商场以元/千克的价格购进一批产品进行销售，经过市场调查，日销售量（千克）是销售价格（元/千克）的一次函数，部分数据如表：销售价格x（元/千克）日销售量（千克）(1)请求出与之间的函数表达式．(2)求日销售利润为元时的销售价格．(3)若商场每售出千克产品需另行支出元的人工费用，求商场日获利润的最大值．【变式训练】1．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．经过市场调研发现，每月销售的数量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其对应关系如表：x/（元/件）22253035…y/件280250200150…在销售过程中销售单价不低于成本价，物价局规定每件商品的利润不得高于成本价的，(1)请求出y关于x的函数关系式．(2)设小明每月获得利润为w（元），求售价定为多少元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是多少？2．第十四届中国长江三峡国际旅游节于2023年9月16日在宜昌开幕，长江的微笑精灵－江豚是宜昌生态文明的“形象代言人”，此次旅游节吉祥物“豚宝”（如图1）成为了大众喜爱的、带得走的文创产品．某商店销售“豚宝”的公仔毛线玩具，进价为30元/件，经市场调查发现：该商品的月销售量（件）与销售价（元/件）之间的关系如图2所示．(1)求关于的函数表达式；(2)由于某种原因，该商品进价提高了元/件，物价部门规定该玩具售价不得超过40元/件，该商品在今后的销售中，月销售量与销售价仍然满足（1）中的函数关系，若该商品的月销售最大利润是2400元，求的值．3．某专卖店专营某产品，根据总部要求市场销售单价在25元到45元之间．专卖店在销售该产品的过程中发现：销售该产品的成本（单位：元）与销售件数（单位：件）成正比例．同时每天的销售件数与销售价格（单位：元件）之间满足一次函数关系．如表记录了该专卖店某4天销售产品的一些数据．销售价格（单位：元件）25303238销售件数（单位：件）35302822销售成本（单位：元）210180168132(1)直接写出与之间的函数关系式；(2)若一天的销售利润为，当销售价格为多少时，最大？最大值是多少？(3)该专卖店以每件返现元的办法促销，发现在销售规律不变的情况下，当元件时，一天可获得的利润为600元，求的值．4．第十九届亚运会在杭州隆重举办，政府鼓励全民加强体育锻炼，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件50元的乒乓球拍．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．(1)设月利润为W（元），求W关于x的函数表达式．(2)销售单价定为每件多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？(3)若物价部门规定这种乒乓球拍的销售单价不得超过75元，李明想使获得的月利润不低于3000元，求销售单价x的取值范围．5．某汽车店销售A，两种型号的轿车，具体信息如下表：每辆进价（万元）每辆售价（万元）每季度销量（辆）AB（注：厂家要求店每季度型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．）根据以上信息解答下列问题：(1)用含的代数式表示；(2)今年第三季度该店销售A，两种型号轿车的利润恰好相同（利润不为0），试求的值；(3)该店第四季度销售这两种轿车能否获得万元的利润？若能，求出；若不能，请说明理由．6.（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）某超市以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系、经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格（元/千克）3035404550日销售量（千克）604530150(1)请直接写出与之间的函数关系式______；(2)超市应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)超市每销售1千克这种农产品需支出元（）的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为243元，求的值．【考点三利用二次函数解决投球问题】例题：（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【变式训练】1．（2023·河南安阳·统考一模）小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．

(1)求抛物线的解析式；(2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴．2．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．

(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：）．测得如下数据：水平距离x/竖直高度y/(1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；

(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274，球网高为15.25．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度的值约为1.27．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．4．（2023·河南信阳·校考三模）实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，则______（填“＞”“＜”“＝”）．【考点四利用二次函数解决喷水问题】例题：（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度【变式训练】1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．

(1)求y关于x的函数表达式；(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米如图，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米．(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；(2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标；(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．3．（2023·江西抚州·校联考三模）如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装置灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点．

(1)的值为______；(2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度；(3)若点B横坐标为18，水柱能超过点B，则a的取值范围为______；(4)若时，到喷水头水平距离为16米的A处有一棵新种的银杏树需要被灌溉，园艺工人将灌溉装置水平向后移动4米，试判断灌溉装置能否灌溉到这棵树，并说明理由．【考点五利用二次函数解决图形问题】例题：（2023·全国·九年级专题练习）2023年南宁市公共资源交易中心明确提出将五象站铁路枢纽接入地铁4号线．目前4号线剩余的东段（五象火车站-龙岗站）已经在建设中，施工方决定对终点站龙岗站施工区域中的一条特殊路段进行围挡施工，先沿着路边砌了一堵长的砖墙，然后打算用长的铁皮围栏靠着墙围成中间隔有一道铁皮围栏（平行于）的长方形施工区域．

(1)设施工区域的一边为，施工区域的面积为．请求出S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)当围成的施工区域面积为时，的长是多少？(3)该特殊路段围挡区域的施工成本为400元/，项目方打算拨款120000元用于施工，请你通过计算判断项目方的拨款能否够用．【变式训练】1．（2023春·浙江宁波·八年级校联考期中）某景区要建一个游乐场（如图所示），其中分别靠现有墙（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成．篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米．设的长为x米．(1)则的长为米（用含x的代数式表达）；(2)当多长时，游乐场的面积为320平方米？(3)直接写出当为多少米时，游乐场的面积达到最大，最大值为多少平方米？2．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以