2022-2024年高考数学试题分类汇编：数列（解析版）

三年真题

io照列

目制鲁港。绢施留

考点三年考情（2022-2024）命题趋势

2023年全国I卷、2024年全国II卷

2023年新课标全国I卷数学真题

2022年高考全国乙卷数学（文）真题

考点1:等差数列基本2023年高考全国甲卷数学（文）真题

量运算2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2024年高考全国甲卷数学（文）真题

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

2023年高考全国乙卷数学（文）真题

2023年全国U卷、2023年天津卷

2023年高考全国甲卷数学（理）真题

考点2：等比数列基本

2022年高考全国乙卷数学（理）真题

量运算

2023年高考全国甲卷数学（文）真题

2023年高考全国乙卷数学（理）真题

2024年北京高考数学真题

考点3：数列的实际应2023年北京高考数学真题

用2022年新高考全国II卷数学真题高考对数列的考查相对稳定，考

2022年高考全国乙卷数学（理）真题查内容、频率、题型、难度均变

化不大.等差数列、等比数列以

考点4：数列的最值问2022年高考全国甲卷数学（理）真题

选填题的形式为主，数列通项问

题2022年新高考北京数学高考真题

题与求和问题以解答题的形式为

2024年高考全国甲卷数学（文）真题主，偶尔出现在选择填空题当中，

考点5：数列的递推问2024年新课标全国II卷数学真题常结合函数、不等式综合考查.

题（蛛网图问题）2022年新高考浙江数学高考真题

2023年北京高考数学真题

2022年新高考浙江数学高考真题

考点6：等差数列与等

2022年新高考全国II卷数学真题

比数列的综合应用

2024年北京高考数学真题

2022年新高考北京数学高考真题

考点7：数列新定义问

2024年上海夏季高考数学真题

题

2023年北京卷、2024年北京卷

2024年高考全国甲卷数学（理）真题

考点8：数列通项与求2024年天津高考数学真题

和问题2023年高考全国甲卷数学（理）真题

2022年新高考天津数学高考真题

2023年天津高考数学真题

考点9：数列不等式

2023年全国II卷、2022年全国I卷

曾窟飨缀。阖滔运温

考点1:等差数列基本量运算

1.（2023年新课标全国I卷数学真题）设等差数列｛。“｝的公差为d,且d>l.令b“=3~,记S,，Z分别

an

为数列｛4｝,｛2｝的前〃项和.

（1）若3a2=3%+/，尾+n=21,求｛。“｝的通项公式；

⑵若低｝为等差数列，且%-%=99,求小

【解析】（1）,/3tz2=3^+6Z3,3d=ax+2d,解得q=d,

/.S3=3a2=3（%+d）=6d,

—=。+导•3

9

/.号+4=6dH—=21,

d

即2屋一7"3=0,解得d=3或d（舍去）,

2

/.an=%+（〃一1）♦d=3〃.

（2）•••{4}为等差数列，

12212

二.2b2—bx+b3,即一=--1----,

即一3%d+2d之=。，解得％=d或%=2d,

•/J>1,「.〃〃>（）,

又“-心9=99,由等差数列性质知，99”99%=99,即％。-怎=1,

255010

「•。50=1,即〃50—〃50-2550=0,解得〃50=51或〃50=—5。（舍去）

〃50

当。i=2d时，%0=4+49d=51d=51,解得［=1,与d>l矛盾，无解;

当q=d时，%0=4+49d=50d=51,解得d=

综上，d丁

2.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若2s3=3星+6,则公差”=

【答案】2

【解析】由2邑=3$2+6可得2（4+%+%）=3（q+%）+6,化简得2/=q+出+6,

即2(%+2d)=2q+d+6,解得d=2.

故答案为：2.

3.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)记S”为等差数列｛%｝的前"项和.若出+%=10，%%=45,则S$=

()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【解析】方法一：设等差数列｛%｝的公差为d,首项为生,依题意可得，

%+。6=4+d+0i+5d=10,即4+3d=5,

又能仆=(4+3d)(q+7d)=45,解得：d=l,a1=2,

Sx4

所以S5=5^+-^-xJ=5x2+10=20.

故选：C.

方法二：出+。6=24=1°，44=45,所以。4=5,%=9,

从而〃="二幺=1,于是-d=5-I=4,

8-4

所以S5=5a3=20.

故选：C.

4.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知等差数列｛4｝的公差为年，集合S=｛cosaJ〃eN*｝,若

S=｛〃,/?｝,则出2=()

A.-1B.--C.0D.工

【答案】B

2兀2it2冗

【解析】依题意，等差数列｛%/中，«„=fl1+(«-l)-y=y»+(fl1-y),

2元2元

显然函数y=cos［《_〃+®-石)］的周期为3,而“eN"即cost?"最多3个不同取值，又

｛cos%|〃£N*｝=｛a,b｝,

贝lj在cosax,cosa2,cosa3中,cosax=cosa2wcosa3或cosaxwcosa2=cosa3,

27r9ITTT

于是有cos0=cos(^+—),即有0+(0+—)=2kjt,keZ,解得6=kji--,keZ,

LLt、r1r-r1/1兀、r/7兀、41T7T717T1

所以《eZ,ab=cos(E--)cos-—)+—J=-cos(E7--)cosk7n=-coskucosy.

故选：B

5.(2024年高考全国甲卷数学(文)真题)已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，若Sg=l,则4+%=()

72

A.-2B.-C.1D.-

39

【答案】D

【解析】方法一：利用等差数列的基本量

QXQ

由$9=1，根据等差数列的求和公式，S9=9q+;一d=l=9%+36d=1,

22

又％+%=q+2d+q+6d—2al+Sd=~（9q+36d）=—.

故选：D

方法二：利用等差数列的性质

根据等差数列的性质，al+a9=a3+a7,由品=1，根据等差数列的求和公式，

品=9（%；%）=9（%；%）=],故生+%=：

故选：D

方法三：特殊值法

一12

不妨取等差数列公差"=。，则品=1=94=>%=§,则。3+%=2。1=§.

故选：D

6.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记S“为等差数列｛氏｝的前〃项和，已知S5=S1°,%=1，则%=

()

77

B.C.D.

3311

【答案】B

【解析】由Ho—Ss=〃6+%+。8+〃9+%0=5%=0,则〃8=0,

则等差数列｛叫的公差〃=青马=一3,故％=%一44=1-4*[£|=：

故选：B.

7.（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记S,,为等差数列｛4｝的前,项和，已知出=11，，。=40.

（1）求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛同｝的前〃项和

【解析】（1）设等差数列的公差为小

%=q+d=ll

at+d=114=13

由题意可得inxQ,解得

S10=10a1+^—d=402al+9d=8d=—2

所以q=13-2(“—1)=15-2”,

叱15-2叽2,

（2）因为S“=

2

令4=15-2〃>0,解得且〃eN*,

当〃07时，则可得＜=闻+|。2卜1■⑷=4+^^----+?=S"=14八一"；

当〃28时，贝ij见＜。，可得7；=闻+|%|+…+,/=（%+/+…+%)一(%+•••+“〃)

222

=S7-(Sn-S7)=2S7-S„=2(14x7-7)-(1477-M)=M-14«+98:

14n—n2,n<7

综上所述：T=

nn2—14n+98,n>8

8.（2024年新课标全国II卷数学真题）记S“为等差数列｛凡｝的前"项和，若4+g=7,34+%=5,则

Ho

【答案】95

ci,+2d+d+3d—7q=-4

【解析】因为数列册为等差数列，则由题意得3(q+d)+q+4d=5,解得

d=3

1f)xQ

贝I]Ho=10%+^—6?=10X(-4)+45X3=95.

故答案为：95.

q

9.（2023年新课标全国I卷数学真题）记S"为数列｛4｝的前〃项和，设甲：｛〃“｝为等差数列；乙：｛、｝为

n

等差数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛4｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

l।-n(n-l)7S”n-1ddS,

贝(JS=/Z]H----------d,=Q]H--------d7——n+a.----n+\

nIn2212n+1n2

因此｛、｝为等差数列，则甲是乙的充分条件;

n

反之，乙：｛&｝为等差数列，即辿-「电「电na,—S

s5+1常日为常数‘设为

nn+1nn(n+l)

na.-S”,

即EMT—则s“=Ff〃(〃+i)，有322,

两式相减得：an=nan+i—(n_l)a〃-2tn,即为+「%=2z,对〃=1也成立,

因此｛%｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛4｝为等差数列，设数列｛。“｝的首项内,公差为d,即S,=叫+W4,

则&=q+12d+因止匕｛邑｝为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222n

反之，乙：｛-4为等差数列，即T—J=o,j=S]+5—1)。，

nn+1nn

即Sn=nS]+n(n-1)D,Sn_r=(n-l)Sl+(n-l)(n-2)D,

当“22时，上两式相减得：Sn-Sn_i=Sl+2(n-l)D,当”=1时，上式成立，

于是%=<71+2(77-1)0,又4+1-。"=%+2"。-皿+2(〃-1)。]=2£)为常数，

因此｛4｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

考点2:等比数列基本量运算

10.(2023年新课标全国II卷数学真题)记S“为等比数列｛4｝的前〃项和，若邑=-5,§6=2电，则Sg=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】方法一：设等比数列｛%｝的公比为9,首项为4,

若q=T,贝”4=。*5,与题意不符，所以--1；

若9=1,则&=6%=3x2%=3S2wO,与题意不符，所以

由邑=一5,$6=21邑可得，%(MJ，止dl=21x&S①，

l-q1-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：q2=4,

所以工:)=)x(l+</)=_5x(+16)=-85.

故选：C.

方法二：设等比数列｛%｝的公比为4,

因为$4=-5,56=21S2,所以qw-l,否则邑=。，

从而，$2,S’-邑,'-S’,$8-$6成等比数列，

5

所以有，(-5-S29)=邑(2电+5),解得：$2=-1或$2=“

当邑=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即为一1,一4,一164+21,

易知，&+21=-64,即\=-85；

当s。=a时，=4+%+%+%=(4+%乂1+q-)=(1+)邑>o,

与$4=-5矛盾，舍去.

故选：C.

11.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列｛%｝的各项均为正数，前w项和S“，若％=1,工=5$3-4,

贝”4=（）

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

【解析】由题知1+4+d+/+炉=5(1+[+/)-4,

即q3+q4=4q+4q?,即/+/_4g_4=0,即(q—2)(q+l)(q+2)=0.

由题知4>0,所以9=2.

所以S4=l+2+4+8=15.

故选:C.

12.(2023年天津高考数学真题)已知数列｛叫的前n项和为S“，若q=2,an+l=2Sn+2(neN*),则%=()

A.16B.32C.54D.162

【答案】C

【解析】当"22,〃wN*时，an=2Sn_｛+2,所以4田-q,=2a“，即%=3a”,

当〃=1时，％=2S〃+2=2ax+2=6=3%,

所以数列｛4｝是首项为2,公比为3的等比数列，

贝!Ja4==54.

故选：C.

13.(2022年高考全国乙卷数学(理)真题)已知等比数列｛。“｝的前3项和为168,a2-a5=^,则6=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】设等比数列｛%｝的公比为4应片0,

若q=l,则0-%=。，与题意矛盾，

所以#1,

[a,=96

〃见+口

则E।1+2d3=----1--------=168,f解得1,

a2-a5=%q-%q=42L2

所以〃6=3.

故选：D.

14.(2023年高考全国甲卷数学(文)真题)记S〃为等比数列｛4｝的前〃项和.若8s6=7$3,则｛〃〃｝的公比

为.

【答案】-1

【解析】若4=1，

则由8s6=7$3得8-6%=7・3%,则%=0,不合题意.

所以#1.

当4W1时，因为8s6=7S3，

所以8Mj6)=7.M1-0,

\-q\-q

即8-(l_q6)=7.0_/),即8.0+q3)(i_q3)=7.0_q3),即8«+q3)=7,

解得4=-；.

故答案为：

15.(2023年高考全国乙卷数学(理)真题)已知｛%｝为等比数列，a2a4a5=。3。6，a9aio=-8＞贝4%=.

【答案】-2

【解析】设｛%｝的公比为q(qH。)，则a2%%=。3a6=%小%4，显然4,片。，

则为=/,即//=q2,贝ljqq=l,因为°9%()=-8,贝IJ弓犬.q'=一8,

贝！Jq15=(^5)3=-8=(-2)3,贝1]]=_2,贝I]%=%q-q5=q5=-1,

故答案为：-2.

考点3：数列的实际应用

16.(2024年北京高考数学真题)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是命、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其

中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直

径依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为—

mm.

57.5/—

【答案】23

【解析】设升量器的高为4,斗量器的高为生(单位都是mm),则

故色=23mm,/&=mm.

故答案为：23mm，坐mm.

17.（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于祛码的、

用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛%｝,该数列

的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且4=1,%=12,%=192,则%=；数列｛0｝所有项的

和为.

【答案】48384

【解析】方法一：设前3项的公差为d,后7项公比为4>0,

/192”

贝M4=-=77=16,且q>0,可得4=2,

a512

贝%=l+2d=,即l+2d=3,可得d=l,

q"

空1：可得%=3,%=%/=48,

出c63(1-27)

仝2：q+%+L+%=l+2+3+3x2+…+3x2,=3+；21=384

方法二：空1：因为{q,},3WaW7为等比数列，则始=生4=12x192=482,

且4＞。，所以%=48；

2

又因为城=。3a7，则%=&=3；

空2：设后7项公比为q>0,则[2=%=4,解得q=2,

a3

r，曰3（%+%）-aq3-192x2,匚0”

r9=O1

可%+/+。3=----------------------=6,%+/+色+&+%+4+%=-----------------------=331,）y\以

21-q1-2

%+%+L+Q9=6+381—生=384.

故答案为:48；384.

18.（2022年新高考全国H卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，A4',BB',CC',DZ>是桁，相邻

桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中耳他是举，

1

OR,DG，CB「BA是相等的步,相邻桁的举步之比分别为加=0.5,—^=k盗=&端=k3.已知3片,片

UD]ZJCqCz?!£>AJ

成公差为0.1的等差数列，且直线Q4的斜率为0.725,则％3=（）

4

A

【解析】设。2=。。1=。旦=%=1,则CG=%,B4=G，AA=%，

—-DD,+CC+BB.+AA八

依题意，有《_0・2=仁,/-01=左2,且小。a

UD]++DA]

所以竺吟为H25,故-0.9,

故选：D

19.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我

国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列也〃｝：

］

]Z?=l+

112=1+3%+一■，…，依此类推，其中4cN*（左=1,2,…）.则（）

47=1+—,2

a

xa?H----

a2

a3

A.bx<b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<by

【答案】D

【解析】［方法一］:常规解法

因为4EN*（左=1,2,…）,

1—1>-----1----

所以％<%+一，/"+1，得到白>打,

a.1al十——

a2

11

cc—>aH--------；__

xb>b

同理«2%+-'-，可得与<4，\3

a3

1111

->----------p-应+py------------

又因为%+p%+—%+p,

%-------03%H-----

%%

故%＜。4，&＞仇；

以此类推，可得4＞4＞々＞为＞…，氏,故A错误;

印＞2＞4，故B错误；

11

%%+—得b2Vb6,故C错误;

a3+----

11

«i+------J—>«i+---------1—

«2+-----「4+…-----厂，得。4<方7，故D正确.

。3---。6---

a4%

［方法二］:特值法

=,

不妨设％,=1，则，=2必=彳，b3=-,b4=-,b5=—,b6=—,b7=—,b8T7

，DJo1J34

&＜伪故D正确.

考点4:数列的最值问题

2q

20.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)记,为数列加“｝的前”项和.已知」%+”=2%+1.

n

(1)证明：｛4｝是等差数列；

(2)若%，四，的成等比数列，求S”的最小值.

2s

【解析】(1)因为一-+n=2a+l,gp2S+n2=2na+n@,

nnnn

当2时，2sl+(〃—l)2=2(〃一I)%7+(n-l)@,

①—②得，2S〃+*—2S〃_］—(〃—1)=+〃一—1),

即2(1fl+2〃­1=2rle1n—2(〃-1)+1,

即2(〃—1)4一2(〃一1)4_1=2(〃-1),所以%且TIGN*,

所以｛%｝是以1为公差的等差数列.

(2)［方法一］:二次函数的性质

由⑴可得。4=%+3,〃7=%+6,%=。1+8,

又〃4，。7，。9成等比数列，所以％2=%，。9，

即(4+6)2=(1+3)«+8),解得％=-12,

所以-一"，所以s-⑵

所以，当〃=12或〃=13时，(5^)^=-78.

［方法二］:【最优解】邻项变号法

由（1）可得。4=%+3,%=q+6,%=。1+8,

又。4，。7,。9成等比数列，所以%2=%・。9，

即（4+6）2=（%+3>（4+8）,解得％=-12,

所以。〃=〃-13,即有<。2<…V%2<°，％3=0.

则当〃=12或〃=13时，（5.）*=—78.

【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出S”的最小值，适用于可以求出S,的表达式；

法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解.

21.（2022年新高考北京数学高考真题）设｛q｝是公差不为0的无穷等差数列，则“｛4｝为递增数列”是“存

在正整数N。，当〃>N0时，%>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d,则1片0,记区为不超过尤的最大整数.

若｛。,｝为单调递增数列，则d>0,

若生20,则当2时，>Gj>0；若％<0,则=卬+（n-l）d,

由1”>。可得〃>1—十，取乂=1一十+1，则当“〉乂时，an>0,

所以，“也｝是递增数列”="存在正整数乂，当时，见>0"；

若存在正整数N。，当“AN。时，a„>0,取上eN*且无>乂，ak>0,

彳段设d<0,令。“=以+（力一女）d<。可得左一号，且k-4〉k,

当w>k4+1时，an<0,与题设矛盾，假设不成立，则d>0,即数列｛%｝是递增数列.

所以，“｛4｝是递增数列”="存在正整数N。，当〃〉N。时，4>0”.

所以，"｛〃“｝是递增数列”是“存在正整数乂，当〃〉N。时，%>0”的充分必要条件.

故选：C.

考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）

22.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列｛4｝的前"项和为S“，且2s“=3q”「3.

⑴求｛4“｝的通项公式；

⑵求数列｛S'｝的前”项和.

【解析】（1）因为2s“=3a”+「3,故2S,T=34-3,

所以2%=3a„+1-3a„（«>2）即5an=3a用故等比数列的公比为q=}

5

故24

（2）由等比数列求和公式得s“二3,5丫3

2{3)~2

所以数列⑸}的前“项和

T„=sl+s2+s3+-+s„

23.（2024年新课标全国H卷数学真题）已知双曲线。：/-9=加（加>。），点爪5,4）在。上，k为常数,

0<k<l.按照如下方式依次构造点月（〃=2,3,...）：过匕―作斜率为％的直线与C的左支交于点,令尸“为

关于y轴的对称点,记P„的坐标为（乙,%）.

⑴若次=—,求/，%；

（2）证明：数歹（］{%-%}是公比为界的等比数列；

（3）设S“为△月上+2的面积，证明：对任意正整数〃，S.=S…

【解析】（1）

由已知有机=52-42=9,故C的方程为尤2一V=%

当次=g时，过耳（5,4）且斜率为g的直线为>=号，与犬-丁=9联立得到/一厂/J=9.

解得x=-3或x=5,所以该直线与C的不同于丹的交点为2（-3,0）,该点显然在C的左支上.

故£（3,0）,从而％=3,j2=0.

（2）由于过匕（x,,%）且斜率为左的直线为了=左口-%）+%,与尤2-9=9联立，得到方程

炉-（3-尤“）+%）2=9.

展开即得（1一公卜2-2左（%-/卜一（＞“一心）2-9=0,由于匕（%,%）已经是直线＞=左口一七）+%和

V-y=9的公共点，故方程必有一根苫=尤”.

从而根据韦达定理，另一根x=2二％一心）_2仔“一斗；Ex”,相应的

i-k21-k2

y=k（x-xrl）+yn=y；产“

所以该直线与C的不同于pn的交点为Q„12机丁；；也,％+?；；2您],而注意到Qn的横坐标亦可通过

\\—K1—k.

一（%一句）_9

韦达定理表示为，故。"一定在C的左支上.

（1-阴匕

%+左2%-2左匕「

所以4"+:'31-k2,

这就得到%+1=x"+Ex/ky“y“+k2y,_2kx“

y

n+1i-k2

%+k2x“2ky”%+Ey“-2日“

所以无用

l-k2l-k2

一X"+k2x"+2kX"笫+3%+2外“l+/+2g、

一\-k2\-k2-\-k2（"%卜]_八%％＞

再由X；-y；=9,就知道玉-y产。，所以数歹!]{%-%}是公比为界的等比数列.

1-K,

（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U,V,W,若讨=（a,b）,UW=（c,d）,贝=g|ad-bc|.

（若。，匕W在同一条直线上，约定£皿=0）

证明：=!|[7v|•|W|sinUV,（7W=||[7v|•|[7w|yjl-cos2UV,UW

、2

=JJ"+力2）卜2+筋）―+万行

=^a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-b2d2-labcd

——2d2+Z7%2-2abcd——J(ad-be)——\ud—6d.

证毕，回到原题.

x“+/%―2@.y“+Ey“-2hc,

由于上一小问已经得到无用，yi=

1-Fn+\-k2

2

*"+入,201y"+k、2”l+k-2k1-k

故x“+i+y,+i=

l-k21一尸l-k21+k

再由x；一才=9,就知道为+y产0,所以数列卜+为｝是公比为詈的等比数歹!J.

所以对任意的正整数机，都有

yn+myn^n+m

=5(%-%)(%+,”+%+,”)—](%.+y“)(x“+,“-yn+m)

而又有Pn+iP„=（一（七+1一%），一（笫+「"））,Pn+lPn+2=（无“+2一%+1，%+2一%+1），

故利用前面已经证明的结论即得

X

S"=SAP,P”、P*=；K%+1-X")(%+2-%+1)+(%+11%)(尤"+2-n+\)|

X

=|(%+1一%)(券+2—券+1)一(yn+l~%)(X"+2—n+1)|

=[5+1%+2-%+1无“+2)+(无“%+1-XA+1)-(%笫+2-笫/+2)|

_19fl-k1+左)9fl-k1+左)911—左)[1+2)]

-22Ll+l-b：lJ+2Ll+l_b：lJ_2[Li+lJ-ll^JJ

这就表明S”的取值是与〃无关的定值，所以S〃=S〃M.

x„=2

方法二：由于上一小问已经得到+1—；2=y.+k%：2kxlt,

，一乂“+丘-2ky,y+k2y-2kx.l+k2-2k,、1-k

故心+y…-rpn+—nrpn

再由x；-y；=9,就知道西+y尸0,所以数歹U｛居+为｝是公比为m的等比数歹l].

所以对任意的正整数优，都有

yn+m-Vn^n+m

XX

~((nn+m~>〃笫)+(%〃/+加一V〃七叶相))一］((％〃％〃+〃？—>〃%+加)一(%〃%+机-V〃/+加))

=XX

~(n~yn)(n+rn+yn+m)一(当+%)(当+加一”+祖)

、、珏/白天19,1—%\+k

这就得到35f+2%=5巾-1Tl=%%+1—%玉+1，

//

,9(1-k

以及加为+3-"“+3=］,1+A.=%%+2一%%+2・

两式相减,即得(x“+2%+3-%+2%+3)—(居+1%+3-%+1%+3)=(招为+1一％%+1)一(先%+2—%%+2).

XXX

移项得到Xn+2yn+3-y„n+2-无“+1%+3+XA+1=y„+2n+3-nyn+2-笫+1当+3+无“%+1.

故(%+3-%)(七+2一%+1)=(%+2-%+J(X"+3一%)•

而匕匕+3=（%+3一%%+3—'£+1匕+2=(%+2-%+1,%+2—%+1)-

所以9+3和2/+2平行，这就得到％MJ"小曲，即S“=S心

24.（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列｛4｝满足q=1,%包=%-3片（附eN*）,贝ij（）

57

A.2<IO。％。。<—B.~<IOC)。］。。<3C.3<IOC)。］。。<—

7

D.-<100a1（）0<4

【答案】B

【解析】・・・1=1,易得出=：£（。，1），依次类推可得见«0,l）

（

由题意‘％二叩一1铲/即Z1TE3TZ1+10，

・J____11）1

an+lan3—4〃3，

1111111——〉」,(〃22)

即1丁3,

^^3(^23〃4/3

1111

累加可得1即丁尸2）32）,

（总，（〃冽，即5（，Woo〈詈3,

1］

<—=+(n>2)

3_33(n+l)

又4+13-4

n+2

・±_J_1--<第+，］,(〃23),

•2a\31nJ

累加可得:-扪+/-+力,（心）,

———1<33+-|-1+-1+•.­+<33+-1|-x4+-x96|<39,

«1003(2231003(26

即；<40，q00>［，即100%)0>：；

%oo4UL

综上：—<lOOc(loo<3.

故选：B.

1,

25.（2023年北京高考数学真题）已知数列｛凡｝满足氏+1=型,-6）3+6（〃=1,2,3,…），则（）

A.当q=3时，｛%｝为递减数列，且存在常数MW0,使得4＞河恒成立

B.当％=5时，｛%｝为递增数列，且存在常数MW6,使得。“＜加恒成立

C.当囚=7时，｛%｝为递减数列，且存在常数V＞6,使得恒成立

D.当q=9时，｛4｝为递增数列，且存在常数M＞0,使得凡＜加恒成立

【答案】B

1O1O

【解析】法1：因为%=a（。“-6）'+6,故%-6=a（a,-6）,

对于A,若4=3,可用数学归纳法证明：。“-6W-3即%W3,

证明：当〃=1时，。1-6=-34-3,此时不等关系%K3成立;

设当〃=左时，4-64—3成立，

则为+i—6=；（以―6）3E1—54,—,故见+i—6W—3成立，

由数学归纳法可得%43成立.

而an+\~an=~(an~6)^--6)=(%-6);(4-6『一1

1295

-(«„-6)"-1>--1=->0,a„-6<0,故见+「％<。,故。用<%,

故｛%｝为减数列，注意,M-6V-3<0

1、a/1Q

故见+i-6=Z(%-6)=(<?„-6)x-(a„-6)'<-(a„-6),结合为+J-6<0,

所以6-4+i](6,故6-%23电，故6+|46-3弓,

若存在常数MWO,使得〃“>加恒成立，贝>M,

<QYi6-M

故2_吃>2，故〃<10g9二一，故q