上海市闵行区七宝中学2021届高三高考数学模拟试卷(2021.05)-含解析

PAGE12021年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷（5月份）一、填空题（第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，满分54分）1．已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为．2．已知集合A＝R，B＝∅，则A∪B＝．3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的左、右焦点，点P在C上1F2的周长为．4．如果x1，x2，x3，x4的方差是，则3x1，3x2，3x3，3x4的方差为．5．计算行列式的值为．6．已知正整数数列{an}满足，则当a1＝8时，a2021＝．7．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，则抽到一等品的概率为．8．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为．9．已知函数f（x）＝sinx﹣2cosx，当x＝α时f（x），则cosα＝．10．在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为．12．已知|1﹣q|≤|1﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|1﹣q5|，q为非零实数，则q的取值范围是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“Sn存在”是“0＜|q|＜1”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件14．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（参考数据ln19≈3）A．60 B．62 C．66 D．6315．对于定义域为R的函数y＝g（x），设关于x的方程g（x）＝t，记根的个数为fg（t），给出下列两个命题：①设h（x）＝|g（x）|，若fh（t）＝fg（t），则g（x）≥0；②若fg（t）＝1，则y＝g（x）为单调函数；则下列说法正确的是（）A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误16．关于x的方程||x+a|+|2x﹣a|﹣a2|＝b有三个不同的实根，则2a+b的最小值为（）A． B．﹣3 C． D．0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD内接于半径为2的圆O，AB为圆O的直径，2DC＝AB，E为AB上一点，ED⊥AB，PE＝EB．求：（1）四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）锐二面角C﹣PB﹣D的余弦值．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，BC＝1，DC＝2．求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积．19．业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（A为常数）元，n年后总投入资金记为f（n），经计算发现当0≤n≤10时，f（n）（n）＝，其中为常数，f（0）（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多．20．（16分）已知点F为抛物线的焦点，点D（0，4），直线l：y＝t（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值．（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点E（0，3），过点A的直线y＝x+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D21．（18分）已知数列{an}（an∈N），记Sn＝a1+a2+⋯+an，首项a1＝n0＞0，若对任意整数k≥2，有0≤ak≤k﹣1，且Sk是k的正整数倍．（Ⅰ）若a1＝21，写出数列{an}的前10项；（Ⅱ）证明：对任意n≥2，数列{an}的第n项an由a1唯一确定；（Ⅲ）证明：对任意正整数n0，数列{Sn}从某一项起为等差数列．

参考答案一、填空题（第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，满分54分）1．已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为﹣．解：∵（1+i）z＝i3，∴（4﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（﹣i），∴2z＝﹣1﹣i，化为：z＝﹣﹣i，∴复数z的虚部为，故答案为：﹣．2．已知集合A＝R，B＝∅，则A∪B＝R．解：∵A＝R，B＝∅，∴A∪B＝R．故答案为：R．3．已知F1，F2是椭圆C：＝1的左、右焦点，点P在C上1F2的周长为10．解：由题意知：椭圆C：＝1中a＝4，c＝2，∴△PF4F2周长＝2a+7c＝6+4＝10．故答案为：10．4．如果x1，x2，x3，x4的方差是，则3x1，3x2，3x3，3x4的方差为3．解：因为x1，x2，x4，x4的方差是，则3x1，3x2，3x8，3x4的方差为＝3．故答案为：3．5．计算行列式的值为﹣3．解：行列式＝1×2×（﹣3）+0×1×2+（﹣1）×0×6﹣（﹣1）×2×4﹣1×1×3﹣（﹣3）×0×5＝﹣3．故答案为：﹣3．6．已知正整数数列{an}满足，则当a1＝8时，a2021＝4．解：∵a1＝8是偶数，∴a7＝＝＝4是偶数，∴a7＝＝＝2是偶数，∴a8＝＝＝1是奇数，∴a4＝3a4+5＝3×1+8＝4是偶数，∴a6＝2是偶数，∴a7＝1是奇数，•••，从第二项开始，正整数数列{an}是以4为周期的周期数列，∵2021＝1+673×3+2，∴a2021＝a2＝4，故答案为：4．7．为迎接2022年北京冬奥会，某工厂生产了一批雪车，这批产品中按质量分为一等品，三等品．从这批雪车中随机抽取一件雪车检测，已知抽到不是三等品的概率为0.93，则抽到一等品的概率为0.78．解：设抽到一等品，二等品，B，C，则，解得，\所以抽到一等品的概率为0.78．故答案为：0.78．8．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为112．解：∵二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为7n＝256，∴n＝8，则展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•27﹣r•x12﹣2r，令12﹣2r＝7，求得r＝6，故常数项为•22＝112，故答案为：112．9．已知函数f（x）＝sinx﹣2cosx，当x＝α时f（x），则cosα＝﹣．解：f（x）＝sinx﹣2cosx＝（sinx﹣sin（x﹣θ）∵x＝α时，函数f（x）取得最大值，∴sin（α﹣θ）＝8，即sinα﹣2cosα＝，又sin5α+cos2α＝1，联立得（4cosα+）2+cos8α＝1，解得cosα＝﹣．故答案为：﹣．10．在正方形ABCD中，O为对角线的交点，E为边BC上的动点，若，则．解：如图所示，以点A为原点，AD分别为x，设正方形ABCD的边长为2，则A（0，B（7，C（2，D（0，O（2，因为点E是边BC上的动点，所以设点E的坐标为（2，则由可得：（2，7）+μ（1，所以2λ+μ＝8，即＝1，所以＝（）＝2+，当且仅当时取等号的最小值为，故答案为：．11．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N，Q，P分别为棱A1B1，B1C1，BB1，CC1的中点，三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为8π．解：三棱锥M﹣PQN的顶点在同一个球面上，由点P为棱CC1的中点，可得底面△PQN是等腰直角三角形，那么底面△PQN的外接圆半径r＝1，设球心到△PQN的外接圆的圆心的距离为d，球半径R，则，①d2+r6＝R2，②联立①②解得R＝．∴该球的表面积S＝5πR2＝8π．故答案为：3π．12．已知|1﹣q|≤|1﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|1﹣q5|，q为非零实数，则q的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．解：根据题意，分情况讨论：①当0＜q＜1时，有4＞q＞q2＞q3＞q2＞q5＞0，此时有2＜1﹣q＜1﹣q7＜1﹣q3＜4﹣q4＜1﹣q8＜1，满足|1﹣q|≤|5﹣q2|≤|1﹣q3|≤|1﹣q4|≤|2﹣q5|，符合题意，②当q＝1时，也能满足|5﹣q|≤|1﹣q2|≤|5﹣q3|≤|1﹣q7|≤|1﹣q5|，符合题意，③当q＞5时，1＜q＜q2＜q5＜q4＜q5，此时有3＞1﹣q＞1﹣q5＞1﹣q3＞5﹣q4＞1﹣q3，满足|1﹣q|≤|1﹣q6|≤|1﹣q3|≤|2﹣q4|≤|1﹣q2|，符合题意，④当﹣1≤q＜0时，|4﹣q|＞|1﹣qn|，不满足|1﹣q|≤|5﹣q2|≤|1﹣q5|≤|1﹣q4|≤|5﹣q5|，⑤当﹣2＜q＜﹣8时，|1﹣q|＞|1﹣qn|，不满足|4﹣q|≤|1﹣q2|，⑥当q≤﹣3时，q2﹣1﹣（8﹣q3）＝q2（7+q）﹣2＜0 恒成立3﹣1＜1﹣q2，同理可证得1﹣q3＜q6﹣1＜1﹣q4，符合题意，综上所述，q的取值范围为（﹣∞，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2]∪（0．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则“Sn存在”是“0＜|q|＜1”成立的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件解：①当q＝1时，则Sn＝na1，∴Sn＝na2不存在，②当|q|＞1时，则Sn＝，∵qn不存在，∴Sn不存在，③当0＜|q|＜2时，则Sn＝，∵qn＝0，∴Sn＝，∴必要性成立，反之当Sn存在时，则qn＝0，∴0＜|q|＜2，∴Sn存在是0＜|q|＜1的充要条件．故选：C．14．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（参考数据ln19≈3）A．60 B．62 C．66 D．63解：由已知可得＝6.95K﹣0.23（t*﹣50）＝，两边取对数有﹣5.23（t*﹣50）＝﹣ln19，解得t*≈63，故选：D．15．对于定义域为R的函数y＝g（x），设关于x的方程g（x）＝t，记根的个数为fg（t），给出下列两个命题：①设h（x）＝|g（x）|，若fh（t）＝fg（t），则g（x）≥0；②若fg（t）＝1，则y＝g（x）为单调函数；则下列说法正确的是（）A．①正确②正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①错误②错误解：∵h（x）＝|g（x）|≥0，对任意的t＞0h（t）＝5，则fg（t）＝fh（t）＝0，则g（x）≥0；取，则fg（t）＝1，但g（x）不是单调函数；故选：B．16．关于x的方程||x+a|+|2x﹣a|﹣a2|＝b有三个不同的实根，则2a+b的最小值为（）A． B．﹣3 C． D．0解：由条件知b≥0，方程可化为|x+a|+|2x﹣a|＝a7+b或|x+a|+|2x﹣a|＝a2﹣b，当a＜7时，|x+a|+|2x﹣a|＝，如图所示，若方程有三个不同的实数根2+b和直线y＝a2﹣b共有6个交点，当x＝时，y＝，可得或a≥0（舍），则2a+b＝，当a＝时，2a+b取得最小值为．又当a＞0，b＞3时．综上所述，2a+b的最小值为．故选：A．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．17．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD内接于半径为2的圆O，AB为圆O的直径，2DC＝AB，E为AB上一点，ED⊥AB，PE＝EB．求：（1）四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）锐二面角C﹣PB﹣D的余弦值．解：（1）连接OD，OC，∵AB∥CD，∴∠AOD＝∠ODC＝60°，∵ED⊥AB，∴，EO＝1，∴，∴，∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．（2）如图建立空间直角坐标系E﹣xyz，则B（0，3，7），，，0，3），∴，，，设平面PBD的法向量为，由，即，取y1＝6，则x1＝，z4＝1，得，设平面PBC的法向量为，由，即，取y2＝2，则x2＝，z2＝1，得，设锐二面角C﹣PB﹣D的大小为θ，则，∴锐二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．18．如图，在四边形ABCD中，∠ABD＝45°，BC＝1，DC＝2．求：（1）BD的长度；（2）三角形ABD的面积．解：（1）在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝BC2+CD8﹣2BC⋅CD⋅cos∠BCD＝，则BD＝4．（2）在△ABD中，∠BAD＝180°﹣30°﹣45°＝105°，sin105°＝sin（45°+60°）＝，由正弦定理可得，则＝．19．业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（A为常数）元，n年后总投入资金记为f（n），经计算发现当0≤n≤10时，f（n）（n）＝，其中为常数，f（0）（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多．解：（1）由题意知f（0）＝A，f（3）＝3A．所以解得．令f（n）＝7A，得，解得an＝64，即，所以n＝9．所以研发启动4年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．（2）由（1）知第n年的投入资金＝f（n）﹣f（n﹣1）＝＝，当且仅当，即等号．所以研发启动后第6年的投入资金增长的最多．20．（16分）已知点F为抛物线的焦点，点D（0，4），直线l：y＝t（t为常数）截以AD为直径的圆所得的弦长为定值．（1）求焦点F的坐标；（2）求实数t的值；（3）若点E（0，3），过点A的直线y＝x+m交抛物线于另一点B，AB的中垂线过点D解：（1）∵抛物线，即x2＝4y，∴F（2．（2）设点，AD的中点为，设截得得弦为GH，圆心C到弦的距离为d，则＝，得与x6无关，所以t＝3．（3）设A（x1，y5），B（x2，y2），线段AB的中点为G，联立，∵△＞4∴16+16m＞0∴m＞﹣1，∵x7+x2＝4，x5x2＝﹣4m，y4+y2＝4+8m，∴G（2，2+m），∴符合m＞﹣1，∵＝，点E到AB的距离