2024-2025学年高中数学模块综合测评B课后巩固提升含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:若θ=150°,则sinθ=,则在命题p的逆命题、否命题、逆否命题中,正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析原命题正确,所以逆否命题为真,逆命题和否命题都是假命题,故只有1个为真命题.答案B2.若抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),则a的值为()A. B. C.8 D.4解析抛物线的标准方程为x2=y,因为抛物线y=ax2的焦点坐标为(0,2),所以=2,所以a=,故选A.答案A3.a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于()A. B.- C.± D.1解析∵a⊥b,∴a·b=0.∵(3a+2b)⊥(λa-b),∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,∴12λ-18=0,解得λ=.故选A.答案A4.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是()A. B. C. D.3解析由题意,设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),其中m∈R,则该点到直线4x+3y-8=0的距离d=,所以当m=时,取得最小值.故选A.答案A5.若命题s:∃x0>2,-3x0+2>0,则()A.s:∃x0>2,-3x0+2≤0B.s:∀x>2,x2-3x+2≤0C.s:∃x0≤2,-3x0+2≤0D.s:∀x≤2,x2-3x+2≤0解析原命题s是特称命题,其否定应为全称命题.答案B6.已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为边AB,OC的中点,P是MN上的点,满意=2,设=a,=b,=c,则等于()A.a+b-c B.a+b+cC.a+b+c D.a+b+c解析∵),,∴).∴a+b+c,故选D.答案D7.双曲线=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为A1,A2,直线x=2a与一条渐近线交于点P,若|A1A2|=|PA2|,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析A1(-a,0),A2(a,0),不妨设点P在渐近线y=x上,则P(2a,2b),由|A1A2|=|PA2|可得4a2=a2+4b2,又b2=c2-a2,所以7a2=4c2,e=.答案C8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为1的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为()A. B.2 C. D.解析因为,所以||2=()2=||2+||2+||2+2()=1+1+9+2(0+1×3×cos120°+1×3×cos120°)=5,故A1C的长为.答案A9.若点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则的取值范围是()A. B.C.[-1,0] D.解析以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),设P(x,y,1)(0≤x≤1,0≤y≤1).则=(1-x,-y,-1),=(-x,1-y,0),于是=x2-x+y2-y=.因为0≤x≤1,0≤y≤1,所以0≤,0≤,故-≤0.答案D10.已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为()A.9 B.10 C.11 D.12解析由题意,画出图象(见下图),F(1,0),|AF|==5,过A点作准线l的垂线AD交直线l于D,设P到准线的距离为d,则|PF|=d,则△PAF周长=|PF|+|PA|+|AF|=d+|PA|+5,当P、A、D三点共线时,d+|PA|取得最小值,△PAF周长最小为5-(-1)+5=11.故答案为C.答案C11.已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在其次象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A.=1 B.+y2=1C.+y2=1 D.=1解析直线3x-y+6=0与x轴、y轴分别交于点(-2,0),(0,6),因此F1(-2,0),N(0,6),于是c=2.又因为2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF1|=|NF1|==2,于是a=,从而b2=10-4=6,故椭圆方程为=1.答案D12.如图,四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,异面直线AD与BE所成角的余弦值为,则直线BE与平面ACD所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析以B为原点,BC,BD,BA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则A(0,0,a),E(1,1,0),B(0,0,0),C(2,0,0),D(0,2,0),于是=(0,2,-a),=(1,1,0),则|cos<>|=,于是,解得a=4或a=-4(舍).这时=(2,0,-4),=(0,2,-4),设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则取n=(2,2,1),于是sinθ=|cos<,n>|=.答案C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知点M,N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点,P为线段MN的中点,若=λ+μ+γ,则实数λ+μ+γ=.

解析如图,连接ON,在△OMN中,点P是MN中点,则由平行四边形法则得)=)=,∴λ+μ+γ=.答案14.在正四面体P-ABC中,棱长为2,且E是棱AB中点,则的值为.

解析由题意,设=a,=b,=c,建立空间的一个基底{a,b,c},在正四面体中(a+b),=c-b,所以(a+b)·(c-b)=(a·c-a·b+b·c-b2)=×(2×2cos60°-2×2cos60°+2×2cos60°-2×2)=-1.答案-115.已知p:<0(m>0),q:x(x-4)<0,若p是q的既不充分也不必要条件,则实数m的取值范围是.

解析由<0(m>0),解得-m<x<2m,由x(x-4)<0,解得0<x<4.若p是q的充分不必要条件,则有解得m无解;若p是q的必要不充分条件,则有解得m≥2或m>2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时,实数m的取值范围是(0,2).答案(0,2)16.椭圆=1的离心率e=,则m=.

解析若0<m<5,则e2=,∴m=2,若m>5,则e2=,∴m=.∴m的值为2或.答案2或三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知命题p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数m的取值范围.解∵方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴m>2.∵关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根,∴4m2-4(2m+3)<0,解得-1<m<3.“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题⇔p,q恰有一真一假.①若“p真q假”,则即m≥3;②若“p假q真”,则即-1<m≤2.综上,实数m的取值范围是(-1,2]∪[3,+∞).18.(本小题满分12分)如图所示的多面体中,四边形ABCD为菱形,AB=2,∠DAB=60°,ED⊥面ABCD,EF∥DB,EF=1,异面直线AF,CD所成角的余弦值为.(1)求证:面ACF⊥面EDB;(2)求二面角B-AF-E的余弦值.(1)证明∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵ED⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,∴ED⊥AC,∵BD∩ED=D,∴AC⊥面EBD,∵AC⊂面ACF,∴面ACF⊥面EDB.(2)解∵四边形ABCD是菱形,AB=2,∠DAB=60°,∴DB=2,DO=1,∵EF∥DB,EF=1,∴EF∥DO,EF=DO,∴四边形EFOD是平行四边形,∴ED∥FO,∵ED⊥面ABCD,∴FO⊥面ABCD,以O为原点,OA,OB,OF分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(,0,0),D(0,-1,0),C(-,0,0),设F(0,0,t),则=(-,0,t),=(-,1,0),cos<>=(t>0),解得t=,则F(0,0,),=(0,1,0),∵B(0,1,0),E(0,-1,),∴=(-,1,0),=(-,0,),设平面AFB的法向量m=(x,y,z),则取x=1,得m=(1,,1),设平面AFE的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,0,1),设二面角B-AF-E的平面角为θ,由图形得θ为钝角,则cosθ=-=-=-.∴二面角B-AF-E的余弦值为-.19.(本小题满分12分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+λ,求λ的值.解(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4.从而抛物线的方程是y2=8x.(2)因为p=4,所以4x2-5px+p2=0可简化为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2).又=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PAD,AD∥BC,AB=BC=AP=AD,∠ADP=30°,∠BAD=90°,E是PD的中点.(1)证明:PD⊥PB;(2)设AD=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为,求二面角M-AB-P的余弦值.(1)证明∵平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,∠BAD=90°,所以AB⊥AD.由面面垂直的性质定理得AB⊥平面PAD,∴AB⊥PD,在△PAD中,∵AP=AD,∠ADP=30°,∴∠APD=90°,即PD⊥AP,∴PD⊥平面PAB,∴PD⊥PB.(2)解以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,1,1),C,1,E,0,0,设Ma,a,a(0≤a≤1),则=a,a-1,a-1,=0,-,-1,∴cos<>=,得a=,∴,而=(0,0,1),设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),由可得令x=2,则n=(2,,0),取平面PAB的法向量m=(1,0,0),则cos<m,n>=,故二面角M-AB-P的余弦值为.21.(本小题满分12分)已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论.解(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC,DA分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A,B,C,E,F,设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),则取n=(3,-,3).又因为,于是cos<,n>==-,因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于.(2)存在.假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,令=λ,即=λ,则P,于是.因为AP⊥DE,所以=0,即=0,则λa2-a2=0,解得λ=.故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.22.(本小题满分12分)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且=0,过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:x-y-3=0相切.(1)求椭圆C的方程;(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M,N两点,问在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形?假如存在,求出m的取值范围;假如不存在,说明理由.解(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),则点F1的坐标为(-c,0),点F2的坐标为(c,0),设点Q的坐标为(x0,0),且x0<0,如下图所示,=(x0+c,0),=(2c,0),因为=0,则x0+c+2c=0,所以,x0=-3c,则点Q的坐标为(-3c,0),因为直线AF2与直线AQ垂直,且点A(0,b),所以,=(c,-b),=(-3c,-b),由=b2-3c2=0,得b2=3c2,则b=c,a==2c.△AQF2为直角三角形,且F2Q为斜边,线段F2Q的中点为F1(-c,0),△AQF2的外接圆半径为2c.由题意可知,点F1到直线x-y-3=0的距离为=2c,所以,c=1,a=2c=2,b=c=,因此,椭圆C的方程为=1.(2)存在.由题意知,直线l的斜率k≠