2025届吉林省辽源五中高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届吉林省辽源五中高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A B.C. D.2．已知抛物线的方程为，则此抛物线的准线方程为（）A. B.C. D.3．直线的倾斜角为（）A.150° B.120°C.60° D.30°4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A.63.6万元 B.65.5万元C.67.7万元 D.72.0万元5．过点（-2，1）的直线中，被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是（）A.x+y+1=0 B.x+y-1=0C.x-y+1=0 D.x-y-1=06．有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（）A.平均数 B.众数C.中位数 D.方差7．已知正实数满足，则的最小值为（）A. B.9C. D.8．从装有2个红球和2个白球的袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A.取出的球至少有1个红球；取出的球都是红球B.取出的球恰有1个红球；取出的球恰有1个白球C.取出的球至少有1个红球；取出的球都是白球D.取出的球恰有1个白球；取出的球恰有2个白球9．执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A. B.C. D.10．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．已知，，，则最小值是（）A.10 B.9C.8 D.712．实数且，，则连接，两点的直线与圆C：的位置关系是（）A.相离 B.相切C.相交 D.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则___________.14．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________15．已知椭圆交轴于A，两点，点是椭圆上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交轴于A，两点，点是双曲线上异于A，的任意一点，直线，分别交轴于点，，则为定值___16．已知点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，若，则的面积为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，若函数处取得极值（1）求，的值；（2）求函数在上的最大值和最小值18．（12分）如图，在三棱柱中，，D为BC的中点，平面平面ABC（1）证明：；（2）已知四边形是边长为2的菱形，且，问在线段上是否存在点E，使得平面EAD与平面EAC的夹角的余弦值为，若存在，求出CE的长度，若不存在，请说明理由19．（12分）已知数列中，，（）.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和为.20．（12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，成等比数列，且.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.21．（12分）如图，在三棱柱中，面ABC，，，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若F为中点，求与平面所成角的正弦值22．（10分）已知椭圆E：的离心率，且右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，过原点，若，证明：四边形的面积为定值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.2、A【解析】由抛物线的方程直接写出其准线方程即可.【详解】由抛物线的方程为，则其准线方程为：故选：A3、D【解析】由斜率得倾斜角【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选：D4、B【解析】，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5考点：线性回归方程5、A【解析】当直线被圆截得的最弦长最大时，直线要经过圆心，即圆心在直线上，然后根据两点式方程可得所求【详解】由题意得，圆的方程为，∴圆心坐标为∵直线被圆截得的弦长最大，∴直线过圆心，又直线过点（-2，1），所以所求直线的方程为，即故选：A6、C【解析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.【详解】由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.故选：C.7、A【解析】根据，将式子化为，进而化简，然后结合基本不等式求得答案.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A.8、D【解析】利用互斥事件、对立事件的定义逐一判断即可.【详解】A答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件B答案中的两个事件可以同时发生，不是互斥事件C答案中的两个事件不能同时发生，但必有一个发生，既是互斥事件又是对立事件D答案中的两个事件不能同时发生，也可以都不发生，故是互斥而不对立事件故选：D【点睛】本题考查的是互斥事件和对立事件的概念，较简单.9、C【解析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.【详解】运行程序，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，满足，利用裂项求和可得：.故选：C.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证10、B【解析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.所以是的必要不充分条件.故选：B11、B【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】∵，，，∴＝，当且仅当，即时等号成立故选：B12、B【解析】由题意知，m，n是方程的根,再根据两点式求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解.【详解】由题意知，m，n是方程的根，，，过，两点的直线方程为：，圆心到直线的距离为：，故直线和圆相切，故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得△的内心坐标，根据△内心以及关于的对称点三点共线，即可求得点的坐标，则问题得解.【详解】根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，如下所示：则，不妨设，则直线的方程为，设点坐标为，则，且，整理得，解得，即点，又；设△的内切圆圆心为，则由等面积法可得，解得；故其内心坐标为，由及△的内心三点共线，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案为：.14、或.【解析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.故答案为：或.【点睛】方法点睛：处理直线与圆位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.15、－【解析】由双曲线的方程可得，的坐标，设的坐标，代入双曲线的方程可得的横纵坐标的关系，求出直线，的方程，令，分别求出，的纵坐标，求出的表达式，整理可得为定值【详解】由双曲线的方程可得，，设，则，可得，直线的方程为：，令，则，可得，直线的方程为，令，可得，即，∴，，，故答案为：－另解：双曲线方程化为，只是将的替换为－，故答案也是只需将中的替换为－即可.故答案为：－.16、42【解析】由焦半径公式求得参数，得抛物线方程，从而可求得两点纵坐标，再求得直线与轴的交点坐标后可得面积【详解】因为，所以，抛物线的方程为，把代入方程，得（舍去），即.同理，直线方程为，即．所以直线与轴交于点，所以.故答案为：42三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）最大值为，最小值为【解析】（1）求出导函数，由即可解得；（2）求出函数的单调区间，进而可以求出函数的最值.【详解】解：（1）由题意，可得，得.（2），令，得或（舍去）当变化时，与变化如下递增递减所以函数在上的最大值为，最小值为.18、（1）证明见解析（2）存在，1【解析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【小问1详解】∵，且D为BC的中点，∴，因为平面平面ABC，交线为BC，AD⊥BC，AD面ABC，所以AD⊥面，因为面，所以.【小问2详解】假设存在点E，满足题设要求连接，，∵四边形为边长为2的菱形，且，∴为等边三角形，∵D为BC的中点∴，∵平面平面ABC，交线为BC，面，所以面ABC，故以D为原点，DC，DA，分别为x，y，z轴的空间直角坐标系则，，，，设，，设面AED的一个法向量为，则，令，则设面AEC的一个法向量为，则，令，则设平面EAD与平面EAC的夹角为，则解得：，故点E为中点，所以19、（1）（2）【解析】由已知式子变形可得是以为首项，为公比的等比数列，由等比数列的通项公式易得利用错位相减法，得到数列的前项和为解析：（1）由，（）知，又，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴（2），，两式相减得，∴点睛：本题主要考查数列的证明，错位相减法等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力，转化能力和计算能力．第一问中将已知的递推公式进行变形，转化为的形式来证明，还可以根据等比数列的定义来证明；第二问，将第一问中得到的结论代入，先得到的表达式，利用错位相减法，即可得到数列的前项和为20、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项，可得，再根据等差数列的前项和公式，即可求出，，进而求出结果；（2）由（1）得，结合等比数列前项和公式和对数运算性质，利用分组求和，即可求出结果.【小问1详解】解：设的公差为，由，，成等比数列可知，即，化简得.由可得，所以.将代入，得，，所以.小问2详解】解：由（1）得，所以.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）连接交于点O，连接OD，通过三角形中位线证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】解法1：如图，连接交于点O，连接OD，因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以O是的中点，因为D为BC的中点，所以在中，，因为平面，平面，所以平面平面解法2：因为在三棱柱中，面ABC，，所以BA，BC，两两垂直，故以