山西省山西大学附属中学2025届高一上数学期末质量检测模拟试题含解析

山西省山西大学附属中学2025届高一上数学期末质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知全集，集合，，它们的关系如图（Venn图）所示，则阴影部分表示的集合为（）A. B.C. D.2．已知函数（，，，）的图象（部分）如图所示，则的解析式是A. B.C. D.3．下列函数中与函数相等的是A. B.C. D.4．设非零向量、、满足，，则向量、的夹角（）A. B.C. D.5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是A. B.C. D.6．根据表格中的数据，可以判定函数的一个零点所在的区间为．A. B.C. D.7．函数的图象大致为（）A. B.C. D.8．已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数是单调增函数B.函数的值域为C.函数为偶函数D.函数的定义域为9．若，，则角的终边在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数若方程恰有三个实数根，则实数的取值范围是_______.12．设A为圆上一动点，则A到直线的最大距离为________13．已知，，则_________.14．函数，则__________.15．函数(且)恒过的定点坐标为_____，若直线经过点且，则的最小值为___________.16．当时，函数的最大值为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，，且与的夹角为，.（1）求的值；（2）若，，求的值.18．如图，平行四边形ABCD中，CD=1，∠BCD=60°，BD⊥CD，正方形ADEF，且面ADEF⊥面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ECD；（2）求D点到面CEB的距离．19．在平面直角坐标系中，已知角α的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（-，）（Ⅰ）求cos（α-π）的值；（Ⅱ）若tanβ=2，求的值20．一次函数是上的增函数，，已知.（1）求；（2）当时，有最大值13，求实数的值.21．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P=3-6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q=a+2，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司的总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大?

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】根据所给关系图（Venn图），可知是求,由此可求得答案.【详解】根据题意可知，阴影部分表示的是，故，故选:C.2、C【解析】根据图象可知，利用正弦型函数可求得；根据最大值和最小值可确定，利用及可求得，从而得到函数解析式.【详解】由图象可知，的最小正周期：又又，且，，即，本题正确选项：【点睛】本题考查根据图象求解三角函数解析式的问题，关键是能够明确由最大值和最小值确定；由周期确定；通常通过最值点来进行求解，属于常考题型.3、C【解析】对于选项A,D对应的函数与函数的对应法则不同，对于选项B对应的函数与函数的定义域不同，对于选项C对应的函数与函数的定义域、对应法则相同，得解.【详解】解：对于选项A，等价于，即A不符合题意，对于选项B，等价于，即B不符合题意，对于选项C，等价于，即C符合题意，对于选项D，，显然不符合题意，即D不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了同一函数的判断、函数的对应法则及定义域，属基础题.4、B【解析】根据已知条件，应用向量数量积的运算律可得，由得，即可求出向量、的夹角.【详解】由题意，，即，∵，∴，则，又，∴.故选：B5、A【解析】汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A考点：函数图像的特征6、D【解析】函数，满足.由零点存在定理可知函数的一个零点所在的区间为.故选D.点睛：函数的零点问题，常根据零点存在性定理来判断，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,

这个c也就是方程f(x)＝0的根．由此可判断根所在区间.7、A【解析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B，D，当时，，故排除C，得A为正确选项.故选：A8、D【解析】应用换元法求的解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.【详解】由题意，由，则，即.令，则∴，其定义域为不是偶函数，又故不单调增函数，易得，则，∴.故选：D9、D【解析】本题考查三角函数的性质由知角可能在第一、四象限；由知角可能在第三、四象限；综上得角的终边在箱四象限故正确答案为10、A【解析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可.【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为，则2名同学中至少有一名男同学的概率是.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】令f（t）＝2，解出t，则f（x）＝t，讨论k的符号，根据f（x）的函数图象得出t的范围即可【详解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）（1）当k＝0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；（2）当k＞0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1无解，f（x）无解，即f（f（x））﹣2＝0无解，不符合题意；（3）当k＜0时，做出f（x）的函数图象如图所示：由图象可知f（x）＝﹣1有1解，∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，∴1，解得﹣1＜k综上，k的取值范围是（﹣1，]故答案为（﹣1，]【点睛】本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，数形结合思想，属于中档题12、【解析】求出圆心到直线的距离，进而可得结果.【详解】依题意可知圆心为，半径为1.则圆心到直线距离，则点直线的最大距离为.故答案：.13、【解析】利用两角差的正切公式可计算出的值.【详解】由两角差的正切公式得.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】先求的值，再求的值.【详解】由题得，所以.故答案为【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15、①.②.【解析】根据对数函数过定点得过定点，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：函数(且)由函数(且)向上平移1个单位得到，函数(且)过定点，所以函数过定点，即，所以，因为，所以所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：；16、【解析】分子分母同除以，再利用基本不等式求解即可．【详解】，，当且仅当时取等号，即函数的最大值为，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）选取向量为基底，根据平面向量基本定理得，又，然后根据向量的数量积的运算量可得结果；（2）结合向量的线性运算可得，然后与对照后可得【详解】选取向量为基底（1）由已知得，，∴（2）由（1）得，又，∴【点睛】求向量数量积的方法（1）根据数量积的定义求解，解题时需要选择平面的基底，将向量统一用同一基底表示，然后根据数量积的运算量求解（2）建立平面直角坐标系，将向量用坐标表示，将数量积的问题转化为数的运算的问题求解18、（1）见解析；（2）点到平面的距离为【解析】（1）根据题意选择，只需证明，根据线面垂直的判定定理，即可证明平面；（2）把点到面的距离，转化为三棱锥的高，利用等体积法，即可求解高试题解析：（1）证明：∵四边形为正方形∴又∵平面平面，平面平面=，∴平面∴又∵,∴平面（2）解：，，，又∵矩形中，DE=1∴，，∴过B做CE的垂线交CE与M，CM=∴的面积等于由得（1）平面∴点到平面的距离∴∴∴即点到平面的距离为.考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的应用．19、（I）；（II）.【解析】由任意角三角函数的定义可得，，（Ⅰ）可求（Ⅱ）有，，利用诱导公式及同角基本关系即可化简求解【详解】解：由题意可得cosα=，sin，（Ⅰ）cos（α-π）=-cosα=，（Ⅱ）∵tanβ=2，tanα=，∴====【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．20、（1）（2）或.【解析】(1)根据题意设，利用求出值即可；(2)根据为二次函数，讨论对称轴与的关系，可得函数最大值，即可求出m.【详解】（1）∵一次函数是上的增函数，∴设，，∴，解得或（不合题意舍去），∴.（2）由（1）得，①当，即时，，解得，符合题意；②当，即时，，解得，符合题意.由①②可得或.【点睛】本题主要考查了函数解析式的应用以及二次函数的图象与性质的应用问题，属于中档题.21、（1）43.5(万元)；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元.【解析】（1）直接代入收益公式进行计算即可.（2）由收益公式写出f(x)=-x+3+26，令t=，将函数转为关于t的二次函数求最值即可.【详解】（1）当x=50时，此时甲城市投资50万元，乙城市投资70万元，所以公司的总收益为3-6+×70+2=43.5