考点01 实数的概念（原卷版）VIP

考点一实数知识点整合1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则a+b=0.3．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.4．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作|a|.5．（1）按照定义分类（2）按照正负分类注意：0既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如，等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60°等.6．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.7．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.8．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（3）表示：a的平方根表示为，a的算术平方根表示为.（4）9．立方根：（1）定义：若x3＝a，则x叫做a的立方根.（2）表示：a的立方根表示为.（3）.10．数的乘方：求QUOTEn个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指数.11．实数的运算：（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.12．指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则.13．数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比较法等等.重点考向考向一实数的有关概念此类问题一般以填空题、选择题的形式出现，熟练掌握实数的有关概念，如相反数、倒数、绝对值、算术平方根等是解决这类问题的关键.典例引领1．的相反数为（

）A． B．5 C． D．－52．下列各组数中，互为相反数的是（）A．与 B．与 C．与 D．与33．的倒数是（

）A． B． C． D．4．下列说法正确的是（

）A．一定没有平方根 B．立方根等于它本身的数是，C．的平方根是 D．的算数平方根是5．已知、互为相反数，p、互为倒数，且a为最大的负整数，则代数式的值为．6．的相反数是，的倒数是，的绝对值是．7．若a为的算数平方根，且，则．8．的立方是，2的算数平方根是，的平方根是．9．如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是3，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，(1)填空：______；______；______．(2)求代数式的值．10．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为，根据以上知识解题：(1)若数轴上两点A、B表示的数为x、．①A、B之间的距离可用含x的式子表示为_______；②若该两点之间的距离为3，那么x值为______；(2)的最小值为______，此时x的取值是______；(3)已知，求的最大值和最小值．11．对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：；；；．观察上述式子的特征，解答下列问题：(1)把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①______；②______；(2)当时，______；(3)计算：．12．已知的算数平方根为的立方根是3，求的平方根与立方根．变式拓展1．表示（

）A．的倒数 B．的相反数 C．的绝对值 D．的算术平方根2．设A是的相反数与的绝对值的差，B是比大5的数，则的值为．3．已知，，，，都是不等于的有理数，若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于．4．若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值是2，则．5．实数，，，，，中，与互为倒数，与互为相反数，是的绝对值，的算术平方根是8，求：的值．6．如果是实数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值是，的算术平方根是8，求．7．已知实数，，，，，其中，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的平方根．8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．10．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求．考向二实数的分类实数的分类典例引领1．表示（

）A．的倒数 B．的相反数 C．的绝对值 D．的算术平方根2．设A是的相反数与的绝对值的差，B是比大5的数，则的值为．3．已知，，，，都是不等于的有理数，若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于．4．若有理数a，b互为倒数，c，d互为相反数，m的绝对值是2，则．5．实数，，，，，中，与互为倒数，与互为相反数，是的绝对值，的算术平方根是8，求：的值．6．如果是实数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值是，的算术平方根是8，求．7．已知实数，，，，，其中，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是，求的平方根．8．已知的立方根是2，是的整数部分，是9的平方根，求的算术平方根．9．（1）已知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：．10．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求．变式拓展1．下列各数是无理数的是（

）A． B． C． D．2．下列各数中：，，，，，，负数一共有（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．在实数，，，，（相邻两个之间的个数逐次增加）中，无理数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个4．下列说法正确的是（

）A．所有无限小数都是无理数 B．实数分为正实数、负实数、0C．是分数 D．无理数与无理数的和仍是无理数5．在实数、0、、、、中，无理数的个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．下列说法正确的是（

）A．实数分为正实数和负实数 B．是分数C．数轴上的点表示的数都是有理数 D．是5的平方根7．下列说法正确的是（

）A．实数和数轴上的点是一一对应的 B．实数可以分为有理数、零和无理数C．带根号的数都是无理数 D．不带根号的数都是有理数8．在单元复习课上，老师要求写出几个与实数有关的结论，小明同学写了以下5个：①任何无理数都是无限不循环小数；②立方根等于它本身的数是和；③在和之间的无理数有且只有、、、这个；④是分数，是有理数；⑤由四舍五入得到的近似数表示大于或等于，而小于的数．其中正确的有（填序号）．9．下列各数，，……（相邻两个1之间2的个数逐次加1），，，，中，有理数有个．10．在，，，，（相邻两个之间依次增加个）中，有理数有个．11．在，，，中，无理数是．12．将下列各数进行分类（填序号即可）①1，②，③0，④，⑤，⑥，⑦（每个“2”之间依次多一个“0“．正整数：；分数：；无理数：．13．将下列各数填入相应的集合内．，0.32，，0，，，，π，0.1010010001…①有理数集合{…}②无理数集合{…}③负实数集合{…}．14．把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，0，，，，，，，．负有理数集合：{}；分数集合：{}；无理数集合：{}；非负整数集合：{}．考向三近似数和科学记数法在用科学记数法表示数时，一定要正确确定的值.典例引领1．华为手机搭载了海思麒麟八核处理器，预装华为自主研发的操作系统，为全球首款支持卫星通话的智能手机．预计至2024年底，这款手机的出货量将达到70000000台．将70000000用科学记数法表示应为（）A． B． C． D．2．2023年9月23日晚，以“潮起亚细亚”为主题的杭州亚运会盛大开幕，本次亚运会观众预计达到570万人次（）A． B． C． D．3．长城的总长用科学记数法表示约为米，则它的原数为（

）A．670000米 B．6700000米 C．67000000米 D．670000000米4．今年8月3日晚出现了超级天文奇观“土星合月”，使众多天文爱好者一饱眼福．土星的直径约为，关于下列说法正确的是（

）A．是一个5位数 B．C． D．5．下列用四舍五入法得到的近似数，说法不正确的是（

）A．3.25万精确到百分位 B．精确到十分位C．精确到千位 D．精确到万分位6．下列说法正确的是(

)．A．有4个有效数字 B．万精确到C．精确到千分位 D．有个有效数字7．某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把用科学记数法表示应是8．国家航天局正式宣布，探月工程嫦娥六号任务计划于2024年前后实施，月球与地球的平均距离约38.4万千米，将数字384000用科学记数法表示．9．一个数用科学记数法可写成，则这个数是．10．用四舍五入法对取近似数（精确到百分位）为．11．2023年10月16日是第43个世界粮食日，由于俄乌冲突引发的全球粮食危机导致超过3.45亿人正遭受或面临严重粮食不足的风险；近似数3.45亿精确到位．变式拓展1．地球的海洋面积约为平方米，其中数用科学记数法表示为（）A． B． C． D．2．国家提倡“低碳减排”，盐城某公司计划在海边建风能发电站，电站年均发电量约为213000000度，若将数据213000000用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．下列近似数中，说法正确的是（

）A．与精确度相同 B．精确到了十万位C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位4．3970000用科学记数法表示为．5．据相关机构统计，去年我国智能网联汽车规模近亿元，比年增长近4倍，预计到年将突破亿元．在庞大的规模效应背景下，业内普遍认为，标准制定是智能网联汽车未来发展的关键，要为更高阶自动驾驶大规模量产持续铺路．亿用科学记数法表示为．6．近似数精确到百分位约等于．7．近似数万的精确到位．8．用四舍五入法对2.0156取近似数为：（精确到百分位）．9．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位的结果是．10．一个高为，宽为的长方形的面积是多少．（精确到）考向四实数与数轴1．数轴形象地反映了数与点之间的关系，数轴上的点与实数之间是一一对应的，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.在中考中通常借助于数轴这一数与形的相互转化的特点来呈现或解决数学问题；2.利用数轴可以形象直观地理解相反数、绝对值的意义（代数意义、几何意义）.典例引领1．一个点在数轴上表示，该点在数轴上移动3个单位长度后所表示的数是（）A． B． C．或 D．或2．数轴上，点M和P的距离记为，点A和P的距离记为．给出如下定义：若不小于，且不大于，则称点A是点P关于点M的捕获点．已知：如图，点O为原点，点N表示的数是2，点B表示的数是4，点C表示的数是5．例如：若点A表示3，则，，不小于，不大于．故点A是点O关于点N的捕获点．（1）若点A是点O关于点N的捕获点，则点A所表示数的最大值为：．（2）若点A表示的数为a，点A既是点O关于点N的捕获点，还是点C关于点B的捕获点，写出a的取值范围：．4．已知：点A，B，C在数轴上的位置如图所示，请观察数轴并解答下列问题：(1)表示有理数的点是______，点B表示的有理数是______；A，C两点之间的距离为______个单位长度；(2)在数轴上画出点，分别表示有理数和；这两个数之间所有的负整数是______；(3)将，，，这四个数用“”连接的结果是：______．5．我们规定：在数轴上，若点M到点A的距离是2，则称点M为点A的“青春点”；若点N到点A、B的距离之和是5，则称点N为点A、B的“奋斗中心”．(1)若点A表示最大的负整数，则点A的“青春点”M表示的数是；(2)如图1，点A表示的数是，点B表示的数是2，若点N为点A、B的“奋斗中心”，求满足条件的点N所表示的整数的和；(3)如图2，点A、B、N在数轴上表示的数分别是、1、4，点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，求经过几秒点N是点P、Q的“奋斗中心”．6．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且满足．(1)______，______；(2)如图，一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点重合，右端与点重合．若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端与点重合：若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，则它的左端与点重合．若数轴上一个单位长度表示．则①由此可得到木棒长为______；②图中点表示的数是______，点表示的数是______；(3)由题（1）（2）的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要39年才出生，你若是我现在这么大，我已经117岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在多少岁．7．【阅读材料】若数轴上点、点表示的数分别为，（），则、两点间的距离可表示为，记作．【解决问题】一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动10个单位长度到达点．(1)请画出数轴，并在数轴上标出、两点的位置；(2)若动点，分别从点，同时出发，沿数轴向左运动．已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，设移动时间为秒（）．①用含的代数式表示：秒时，点表示的数为______，点表示的数为______；②为何值时，点表示的数与点表示的数互为相反数？③为何值时，，两点之间的距离为4？8．点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点．(1)点表示的数是_______；(2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值；(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由．变式拓展1．实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，化简的结果是（

）

A． B． C． D．2．如图，在数轴上点A表示的实数是（）A． B． C． D．3．如图，数轴上点表示的实数是．

4．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．，0，，，

用“”连接：5．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，则A，B两点之间的距离表示为．回答下列问题：(1)数轴上表示和的两点之间的距离是_________．(2)数轴上表示x与的两点之间的距离表示为__________．(3)若x表示数轴上的一个实数，且，则___________．(4)若x表示数轴上的一个实数，求最小值．6．阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且；回答下列问题：

(1)①数轴上表示和3的两点和之间的距离是；②在①的情况下，如果，那么为；(2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是．(3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且，点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．7．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．8．若，化简，某同学的解答过程如图．解：原式第一步第二步第三步(1)该同学的解答从第______步开始出现错误，错误的原因是用错了性质：当时，______；当时，______；(2)写出原题正确的解答过程；(3)若实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简：．

考向五实数的大小比较比较实数的大小时，选择正确的方法比较大小是解题的关键.常用的有：典例引领1．比较大小：4（填“>”，“<”或“=”）．2．比较大小：4．3．已知下列各数：，的相反数，，，．(1)将上述各数表示在数轴上．(2)将上述各数按从小到大的顺序用“<”连接．4．在数轴上表示下列各数，再用“”号把它们连接起来．，，，，5．把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“<”号把这些数连接起来．6．一年一度的招生工作开始了，某学校招生老师计划给新生邮寄录取通知书，已知录取通知书是面积为的正方形纸片，现向后勤部门了解到，只有一种长与宽之比为，面积为的长方形信封，若录取通知书不能折叠或弯曲，问能否把录取通知书放入此种长方形信封中？并说明理由．变式拓展1．实数，，0，四个数中，最小的是（

）A． B． C． D．02．如图，数轴上点M表示的数可能是（）A． B．3 C．2 D．3．下列比较大小正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A4．如图，有一个半径为个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数(用含π的式子表示)；若点B表示的数是，则点B在点的(填“左边”、

“右边”)5．比较大小：（1）；（2）