新教材高中数学第1章空间向量与立体几何单元质量测评新人教B版选择性必修第一册

第一章单元质量测评时间：120分钟满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确答案C解析因为eq\f(－3,2)≠eq\f(1,－3)≠eq\f(－4,5)，且u·v≠0，所以α，β相交但不垂直．2．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))－neq\o(AA1,\s\up6(→))，则m，n的值分别为()A.eq\f(1,2)，－eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)答案A解析由题意知，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，所以m＝eq\f(1,2)，n＝－eq\f(1,2).3．一束光线自点P(－1,1,1)发出，被yOz平面反射后到达点Q(－6,3,3)被汲取，则光线所走的路程是()A.eq\r(37) B．eq\r(47)C．eq\r(57) D．3eq\r(5)答案C解析因为点Q(－6,3,3)关于yOz平面的对称点为Q′(6,3,3)，所以光线所走的路程为|PQ′|＝eq\r(6＋12＋3－12＋3－12)＝eq\r(57).故选C.4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值为()A．a2 B．eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2答案C解析如右图，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a2cos60°＋a2cos60°)＝eq\f(1,4)a2.5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，且A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．斜交 B．平行C．垂直 D．不能确定答案B解析设eq\o(A1A,\s\up6(→))＝a，eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝b，eq\o(A1D1,\s\up6(→))＝c.由题意，知A1B＝AC＝eq\r(2)a.又A1M＝AN＝eq\f(\r(2),3)a，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(b＋c)，则eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(A1M,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,3)(b＋c)－eq\f(1,3)(a＋b)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)c，因此，eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(A1A,\s\up6(→))，eq\o(A1D1,\s\up6(→))共面，∴MN∥平面AA1D1D，从而MN∥平面BB1C1C.6．如右图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45° B．60°C．90° D．120°答案B解析令eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|.∵eq\o(BC1,\s\up6(→))＝b＋c，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(c－a)，再令|a|＝2.则|eq\o(BC1,\s\up6(→))|＝2eq\r(2)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\r(2).又eq\o(BC1,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)·(c－a)＝eq\f(1,2)(b·c－b·a＋|c|2－c·a)＝eq\f(1,2)(0－0＋4－0)＝2，∴cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(2,2\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2)，∴EF与BC1所成的角为60°.7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，B1C的中点，则直线EF和平面ABCD所成角的正切值为()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(1,2) D．2答案B解析如图所示，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则点A1(1，0,1)，C(0,1,0)，D1(0，0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(1,2)))，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0,1)为底面的一个法向量，cos〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(EF,\s\up6(→))·\o(DD1,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))||\o(DD1,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).设直线EF和平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝eq\f(\r(3),3)，∴tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(\r(2),2).故选B.8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为6，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为()A.eq\f(\r(3),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)答案B解析由题意知，当E，F分别为AB，BC的中点时，A1，E，F，C1四点共面．以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A1(6，0,6)，C1(0,6,6)，E(6，3,0)，F(3,6,0)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(6,3,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(6,0,6)，eq\o(DF,\s\up6(→))＝(3,6,0)，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,6,6)．设平面A1DE的一个法向量为n1＝(a，b，c)，依题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DE,\s\up6(→))＝6a＋3b＝0，,n1·\o(DA1,\s\up6(→))＝6a＋6c＝0，))令a＝－1，则c＝1，b＝2，所以n1＝(－1,2,1)为平面A1DE的一个法向量．同理得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)．所以平面A1DE与平面C1DF夹角的余弦值为|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．在以下命题中，不正确的为()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λbC．对空间随意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面D．|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|答案ABCD解析A错误，应为充分不必要条件；B错误，应强调b≠0；C错误，∵2－2－1≠1；D错误，依据数量积公式可知．10．在四面体P－ABC中，下列说法正确的有()A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q为△ABC的重心，则eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1答案ABC解析对于A，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，故B正确；对于C，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故C正确；对于D，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|，∵|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))2－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))＋2\o(PB,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\r(22＋22＋22－2×2×2×\f(1,2)－2×2×2×\f(1,2)＋2×2×2×\f(1,2))＝2eq\r(2)，∴|Meq\o(N,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，故D错误．故选ABC.11．如图，一个结晶体的形态为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A．(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→)))2＝2Aeq\o(C,\s\up6(→))2B.eq\o(AC1,\s\up6(→))·(Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(D,\s\up6(→)))＝0C．向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°D．BD1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),3)答案AB解析以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2)，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋Aeq\o(B,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋3×2×eq\f(1,2)＝6，而2eq\o(AC,\s\up6(→))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))2＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AD,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋2×\f(1,2)))＝2×3＝6，所以A正确；eq\o(AC1,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋Aeq\o(D,\s\up6(→))·Aeq\o(B,\s\up6(→))－Aeq\o(D,\s\up6(→))2＝0，所以B正确；向量eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1D,\s\up6(→))，明显△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.所以向量eq\o(A1D,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，向量eq\o(B1C,\s\up6(→))与eq\o(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，则C不正确；又eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则|eq\o(BD1,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AD,\s\up6(→))＋\o(AA1,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→))2))＝eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))2))＝eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝1，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BD1,\s\up6(→))||A\o(C,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,\r(2)×\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以D不正确．故选AB.12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的是()A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为eq\f(2\r(2),3)B．|eq\o(D1P,\s\up6(→))|的最大值为2eq\r(3)C．cos∠A1D1P的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为eq\f(2\r(5),5)答案ABCD解析如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,2,0)，M(0,0,1)，C(2,2,0)，B(2,0,0)，D1(0,2,2)．对于A，eq\o(CM,\s\up6(→))＝(－2，－2,1)，eq\o(DD1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，易知eq\o(DD1,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，设直线CM与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈eq\o(CM,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))〉|＝eq\f(|\o(CM,\s\up6(→))·\o(DD1,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\o(CM,\s\up6(→))|)|\a\vs4\al(\o(DD1,\s\up6(→)))|)＝eq\f(2,3×2)＝eq\f(1,3)，∴cosθ＝eq\f(2\r(2),3)，A正确；对于B，∵点P在侧面ABB1A1内，∴设P(a,0，b)，a，b∈[0,2]，则eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(a，－2，b－2)，∴|eq\o(D1P,\s\up6(→))|＝eq\r(a2＋4＋b－22)∈[2,2eq\r(3)]，即|eq\o(D1P,\s\up6(→))|的最大值为2eq\r(3)，B正确；对于C，cos∠A1D1P＝eq\f(A1D1,D1P)＝eq\f(2,\r(a2＋4＋b－22))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))，C正确；对于D，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝(－2，－2，1)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2－a,0，－b)，D1P⊥CM，∴eq\o(D1P,\s\up6(→))·eq\o(CM,\s\up6(→))＝－2a＋4＋b－2＝0，即b＝2a－2，∴a∈[1,2]．∵BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥PB，∴S△PBC＝eq\f(1,2)BC·PB＝eq\f(1,2)×2×PB＝eq\r(2－a2＋b2).将b＝2a－2代入，可得S△PBC＝eq\r(5a2－12a＋8)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(6,5)))2＋\f(4,5))，a∈[1，2]，∴当a＝eq\f(6,5)时，S△PBC取得最小值，最小值为eq\f(2\r(5),5)，D正确．故选ABCD.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________.答案(0，－1,0)解析因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．14．已知三棱锥S－ABC的三条侧棱长都等于a，且两两垂直，则二面角S－BC－A的正切值为________.答案eq\r(2)解析取BC的中点D，连接SD，AD，易证∠SDA为S－BC－A的平面角，在Rt△SDA中有tan∠SDA＝eq\f(SA,SD)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).15．给出下列命题：①若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；②若a·b<0，则〈a，b〉是钝角；③若a为直线l的方向向量，则λa(λ∈R)也是l的方向向量；④非零向量a，b，c满意a与b，b与c，c与a都是共面对量，则a，b，c必共面．其中不正确的命题为________(填序号)．答案①②③④解析①错误，如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A1B1,\s\up6(→))，但线段AB与A1B1不重合；②错误，a·b<0，即cos〈a，b〉<0⇒eq\f(π,2)<〈a，b〉≤π，而钝角的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))；③错误，当λ＝0时，λa＝0不能作为直线l的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，令eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，则它们两两共面，但明显eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))是不共面的．16．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是________，截面AB1D1与底面ABCD的夹角的余弦值为________.答案eq\f(4,3)eq\f(1,3)解析如图建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(2，0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－2，0,4)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0,2,4)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,4)．设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AD1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AB1,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4z＝0，,2y＋4z＝0，))解得x＝2z且y＝－2z，不妨设n＝(2，－2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d＝eq\f(|\o(AA1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(4,3).由题意知，底面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，设截面AB1D1与底面ABCD的夹角为θ，则|cosθ|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)＝eq\f(1,3).四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b以及a与b所成角的余弦值，并确定λ，μ应满意的条件，使λa＋μb与z轴垂直．解2a＋3b＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)．a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21.∵|a|＝eq\r(32＋52＋－42)＝5eq\r(2)，|b|＝eq\r(22＋12＋82)＝eq\r(69)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－21,5\r(2)×\r(69))＝－eq\f(7\r(138),230).∵λa＋μb与z轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，∴当λ，μ满意λ＝2μ时，可使λa＋μb与z轴垂直．18．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．解(1)证明：eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).∵BB1⊥平面ABC，∴eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又△ABC为正三角形，∴〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))·(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)结合(1)知eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＋eq\o(BB1,\s\up6(→))2＝eq\o(BB1,\s\up6(→))2－1.又|eq\o(AB1,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BB1,\s\up6(→))2))＝eq\r(\a\vs4\al(2＋\o(BB1,\s\up6(→))2))＝|eq\o(BC1,\s\up6(→))|，∴cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BB1,\s\up6(→))2－1,2＋\o(BB1,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(BB1,\s\up6(→))|＝2，即侧棱长为2.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.证明：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.证明如图所示，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DP,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设DC＝a.(1)连接AC，交BD于点G，连接EG.依题意得A(a,0,0)，P(0，0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2))).∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心．故点G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,2)，0))，且Peq\o(A,\s\up6(→))＝(a,0，－a)，Eeq\o(G,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，－\f(a,2)))，∴Peq\o(A,\s\up6(→))＝2eq\o(EG,\s\up6(→))，则PA∥EG.又EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB.(2)依题意得B(a，a,0)，Peq\o(B,\s\up6(→))＝(a，a，－a)，Deq\o(E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)，\f(a,2)))，故Peq\o(B,\s\up6(→))·Deq\o(E,\s\up6(→))＝0＋eq\f(a2,2)－eq\f(a2,2)＝0.∴PB⊥DE，又EF⊥PB，且EF∩DE＝E，∴PB⊥平面EFD.20．(本小题满分12分)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP.(1)求直线AP与平面BCC1B1所成角的正弦值；(2)求点P到平面ABD1的距离．解(1)如图所示，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，∵棱长为4，∴A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，P(0,4,1)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－4,4,1)，明显eq\o(DC,\s\up6(→))＝(0,4,0)为平面BCC1B1的一个法向量，∴直线AP与平面BCC1B1所成的角θ的正弦值sinθ＝|cos〈eq\o(AP,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉|＝eq\f(16,\r(42＋42＋1)·\r(42))＝eq\f(4\r(33),33).(2)设平面ABD1的一个法向量为n＝(x，y,1)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,4,0)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(－4,0,4)，由n⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，n⊥eq\o(AD1,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,－4x＋4＝0，))∴n＝(1,0,1)，∴点P到平面ABD1的距离d＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(3\r(2),2).21．(本小题满分12分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO.解如图所示，以D为坐标原点，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz