三角函数的概念与三角公式应用（含答案）-2025年高考数学一轮复习

专题06三角函数的概念与三角公式应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

维构建・耀蓿陈绐

K角的概念）--（象限角]

L（终边相同的角）

—（。知识点一任意角与弧度看辘10耘

凝02梯纪知角凝舞的范圉

>型03豌逋

型04扇拗矶I长与面陲用

/aTtrfrttnt

弧长公式）

L（扇七公式）

三角函数的定义

—±IE.二1E^、

三角函数在各象限符号

。知识点二任意角的三角函数三正切、四舞锂01三角函统定义及应用

辘02判虻角函数的符号

1E^避03三角函数残的应用

三角函数的概念三角函数线余弦线

与三角公式应用

二平方关一：si-a+co^Gl）j

SSJ01sina、8Sa、tan却一求二

「同角三角函数基本关系式,一

,知识点三同角三角函数基本关系式^sinWcosGtana辘02sina、8由次式（圆彻

一*关碇SSjQ3sina=CQ5a.sinacosafi

—与诱导公式型04利用诱导公式化简求值

一三角函数的语~'奇变偶不变、符号看象限

锂01两翩I雯的三角公式正麻晦用

两角和与差的正弦、余弦、正切公式超02二-

辘埔助角公式的简隼应用

。知识点四三角恒等变换公式03

型04三角恒级螃值求值

埔助角近型05三角恒基按给值求角

型06三角恒基靖含化茴

口识盘点・查福讣与

知识点1任意角与弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为无轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，

构成的角的集合是S=｛用乃=4-36（r+a,kRZ].

2、弧度制

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

|。|=:(弧长用1表示)

角a的弧度数公式

①。—；②（兀）

角度与弧度的换算1180radIrad—

弧长公式弧长l=\a\r

2

扇形面积公式S=^lr=^a\r

知识点2任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点Pa，y),那么

定义

》叫做a的正弦，记作sinax叫做a的余弦，记作cosa士叫做a的正切，记作tana

I+++

II+一一

各象限符号

III一一+

IV一+一

由入

八认冰L0)一4力'斗(1，0)_

三角函数线

有向线段反尸为正弦线有向线段为余弦线有向线段AT为正切线

知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式

1、同角三角函数基本关系式

(1)平方关系：sin2a+cos2a=l.

(3)商数关系：黑：=tan/+E,左GZ).

(3)基本关系式的几种变形

①sin20=1—cos2a=(1+cosa)(l一cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sino(±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacos祈+],左£Z).

2、三角函数的诱导公式

公式―-二三四五六

71

角兀+。匹+_Lot

2E+a(%£Z)~a7i—a2~a2

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa—cosasina-sina

正切tanatana—tana—tana

口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限

奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指n/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

知识点4三角恒等变换公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a-B)cos(a-j8)=cosacos』+sinasin£

C(a+£)cos(a+4)=cosacosjS-sinasin^S

S(a-»)sin(a一4)=sinacos夕—cosasin^

S(a+j8)sin(a+4)=sinacos夕+cosasin夕

tan——tan0

tan(aB)I_ptanatan〃

T(a-£)

变形：tana—tanyS=tan(a—)5)(1+tanoctan0)

tanoc+tanP

tan(a+0—i—tanatan/

T(a+#

变形：tana+tanP=tan(a+£)(1—tanatan0)

.TT

【注意】在公式T（a±s）中a,0,a土我都不等于far+］（%£Z）,即保证tana,tan",tan（a土夫）者B有意义.

2、二倍角公式

sin2a=2sinacosa；

S2a

变形：1+sin2a=(sina+cosa)2,1—sin2a=(sina—cosa)2

cos2a=cos2a-sin2ot=2cos2a_1=1—2sin2oc；

C2a61+cos2a.1—cos2a

：cos9a2，siii9ex2

2tana

T2atan2a—o

1I-tana

3、辅助角公式

一般地，函数/（a）=4sina+bcosa（a,b为常数）可以化为加）="层+必皿0+0）（其中tan9=\

a\

tan(p=%).

X重点突破・看分■必拓

重难点01sina,cosa齐次式中“切弦互化”的技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值.常见的结构有：

（1）sina,cosa的二次齐次式（如«sin2a+/?sinotcosa+ccos?。）的问题常采用“切”代换法求解；

（zjeinn/7COS

（2）sina,cosa的齐次分式如公力“上耳劭”的问题常采用分式的基本性质进行变形♦

2、切化弦：利用公式tana=f^,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切的时候，采用此技巧.

【典例1］（23-24高三下.河南洛阳•模拟预测）已知tana=2,则对…侬J（）

2smcr—coscr

A.—B.—C.—D.2

333

【典例2］（23-24高三下•四川•模拟预测）已知tana=2,则sin2q+cos2a=（）

A.--B.-C.-D.-

2345

【典例3］（23-24高三下•广东・月考）若tana=2,则5皿2。+'吆=（）

tana

重难点02sina土cosa与sinacosa关系的应用

对于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa这三个式子，矢口一可求二，

f-—\____

若令sinot+cosa=t（t^［一/，地］）,则sinacosa——2-，sina—cosa—心7（注意根据a的范围选取正、

负号），体现了方程思想的应用.

已知ac（0,兀），且sina+cosi=[,则sin2a

【典例1］（23-24高三下.吉林长春.三模）

sin6-cose=^^,贝Utan〃=（）

【典例2］（23-24高三上•山东・开学考试）若8e（03,

5

A—B.2cD.3

A，2-I

rm、则（）

【典例3］（23-24高三下•湖南岳阳•二模）已知HGZ,sinI—+6Z+COS--6Z

g

A.cos。+sina△C.sin2a=-9

B.cosa+sina=--D.sin2a=一

3399

重难点03三角函数式的化简要遵循“三看”原则

一看通过看三角函数式中各角之间的差别与联系,

式中各角把角进行合理的拆分，从而正确使用公式

二看!看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式,

函数名称「常见的有“切化弦”

0

分析结构特征，找到变形的方向，常见的有

三看

“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次

结构特征

式配方”等

【注意】化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降塞与升塞等.

【典例1］（23-24高三下•广东•二模）tan7.5°-tan82.5°+2tanl5°=（）

A.-2B.-4C.一2班D.-473

2cos65°cosl5°

【典例21（23-24局三下•重庆・模拟预测）的值为（）

tanl50cosl0°+sin10°

A.22+A/31+A/3

B.RD.

2244

【典例3］（23-24高三下•河南焦作・月考）sin80°+c°s50°一"=（）

sin25°2tan25°

A."B.好C.3D.克

2222

法技巧・逆境学霸

一、确定角上（〃£"+）终边所在象限的方法

n

ry

法1分类讨论法：利用已知条件写出a的范围（用女表示），由此确定土的范围，在对左进行分类讨论，从

n

而确定里所在象限。

n

法2几何法：先把各象限分为〃等份，再从工轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、

四……则a原来是第几象限的角，标号为几的区域即角区终边所在的区域。

n

【典例1］（23-24高三下•四川绵阳•三模）已知sin0・tan0〈0,且cosHsinevO,则万为（）

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四象限角

Cf

【典例2］（23-24高三上.广东广州.二调）己知sina>0,cosa<0,则l的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【典例3］（23-24高三上・甘肃天水・月考）设4角属于第二象限，且cos,=-cosw，则|■角属于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

二、扇形的弧长与面积应用

1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

7T

【典例1］（23-24高三上.黑龙江哈尔滨•月考）已知扇形弧长为耳，圆心角为2,则该扇形面积为（）

【典例2］（23-24高三上.江苏徐州・月考）已知某扇形的面积为3,则该扇形的周长最小值为（）

A.2B.4C.273D.

【典例3］（23-24高三下.湖南•一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻

勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外楼空雕饰“S”型双龙，造型精美.现要计算璜身面积（厚度忽略不计），

3

测得各项数据（图2）：ABq8cm,AD«2cm,A。25cm,若sin37、丁na3.14,则璜身（即曲边四边形ABCD）

面积近似为（）

图1

A.6.8cm2B.D.22.4cm2

三、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法

1、已知角a的终边上一点P的坐标，求角a的三角函数值

方法：先求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。

2、已知角e的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未

知数，从而求解问题。

3、已知角的终边所在的直线方程（,=依/。0）,求角的三角函数值

方法：先设出终边上一点P（a,Aa）,awO,求出点尸到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，注意a

的符号，对”进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角a的三角函数值。

【典例1］（23-24高三下.江西•二模）己知角a的终边经过点贝!jcosa=（）

A.逅B.追C.应D.正

332

【典例2］（23-24高三下•北京朝阳•二模）在平面直角坐标系xOy中，锐角a以。为顶点，。尤为始边.将a的

终边绕。逆时针旋转：后与单位圆交于点尸（x,y）,若cosa=走，则'=（）

410

A.--B.--C.-D.-

5555

【典例3］（23-24高三下•河南•一模）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角a,其终边落在直线>=*

上，则有（）

A.sina=B.cos«=^-C.sina+cosa=+>/2D.tana=±1

四、对sina,cosa,tana的知一求二问题

1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系si/a+cos2a=1求解

2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sina±cosa,sina・cosa建立联系，注意tan:的灵活应用

cosa

cinCL

3、知切求弦：先利用商数关系得出sina=tana-cosa或cosa=£署，然后利用平方关系求解

Ldll（A

【典例1］（23-24高三上•河北邢台・期末）若sina=-且，且。为第三象限角，贝!jtana=（）

4

AV39Q后「屈

13134

3

【典例2］（23-24高三上•上海松江•期中）已知cos6=y,且singvO,则tan。的值为（）

44「3D.二

A.——B.—C.-

3344

3兀口।.

【典例3】（23-24高三上•内蒙古赤峰•期中）已知tana=3,n<a<一,则cosa—sma=.

2

五、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

0〜2兀的I

任意负角利用诱导公式任意正角利用诱导公式一利用诱导公式二

的三角函1I锐角三I

的三角函角的三角I角函数I

三或一1数1函数1~或四或五~

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”.

【典例1】（23-24高三下.河北.三模）已知点P.in20*,cos”型］在角&的终边上，则产吗=

)

I46）2l+cos（9

A.逅B.也C.—逅D.—逅

3232

.（兀）（3K）

1sinccH——cos-----cc

【典例2］（23-24高三下•辽宁•三模）已知tana=2,则I2）【2（）

-COS（-6Z）-sin（7l-6Z）

A.-1B.1C.-3D.3

sin（兀一a）cos（2兀一a）cos（龙一a

【典例3］（23-24高三下•全国•专题练习）已知〃a）=------------

COS

（1）化简〃a）；

（2）若a是第三象限角，且sin（a-7i）=g,求〃£）的值.

六、给值求值问题的求解策略

1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：

a=(a+B)一氏a=a);~+a

a=2%,o=g[(a+/)+(a_,)];,=；[(o+/)_(a_尸)]等.

【典例1］（23-24高三上•全国・专题练习）已知sina=g,cos（a+夕）=-1,贝ljsin（2a+分）=（）

【典例2］（23-24高三下•山西•三模）若sin2a=立,sin（4-a）="，且。£9,兀，尸£兀，孚，则

3▽）614」L2J

cos（a+0=（）

AA/5+A/2Ran275-72

6636

【典例3】（23-24高三下•贵州贵阳二模）已知3夕-3夕=4^11。-$也夕=-：，则13119+0的值为（）

A.-46B.4人C.-275D.2小

七、给值求角问题的求解策略

“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是:

（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.

（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.

（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.

【典例1］（23-24高三上海南•月考）已知tan（夕-a）=；,tana=-；，a,77e（0,兀），则2尸-a的值是（）

【典例2］（23-24高三上.河北廊坊•期中）设tze］，匹,且sina+cosa=V5cos/?,则（）

c兀

A.a+,=1B.oc—/3=-^

TT

C.a+/?=5D.a-/3=~~

【典例3］（23-24高三上•河北石家庄.月考）若",匹［呜］，cosL-^=^,sin^-^=4,则

a+p=.

参考答案与试题解析

专题06三角函数的概念与三角恒等变换

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧）

思维构建•建精向绐

「［角的概念），象限角；

X终边相同的角）

耀01^9醴的痂

o知识点一任意角与弧度制耀02根环知角般舞的范圉

>逊03nfSgn5^］轴j诵

型04

K副送）

三角函数的定义

一三教在.跟脸一蠢

。知识点二任意角的三角函数

1E^

三角函数的概念三角函数线

与三角公式应用线

T平方关系：sinb+/a=1

^^01sim.cosa.tan却~~求二

厂:同备三备函数8*3^^［）：BS«S£jina/cosa=tana）

整02sina,co访EH鲍j切

知识点三同角三角函数基本关系式U基本关系式的几种变形^^03sina=cosa.sna-cosaftj?^

与诱导公式峨04利用法导公式化简求值

匚三角函数的诱导近7）~~■,谈黑不变、醋者象眼

辘oi两脑］"虻角公式正序n逆用

两角和与差的正芟、余变、正电公m超02二倍角公式的简单应用

型靖助角公式的简单应用

。知识点四三角恒等变换公式二联近03

型04三角恒登螃值求值

埔助角融型05三角恒基按给值求角

型06三角恒级屐合化简

口识盘点・查福讣与

知识点1任意角与弧度制

1、角的概念

（1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②

分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

（2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系.这样，角的终边（除

端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个

象限.

（3）终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，

构成的角的集合是S={用乃=k36（T+a,kGZ}.

2、弧度制

定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad

|a|=:（弧长用1表示）

角a的弧度数公式

①广一出山②（兀）

角度与弧度的换算1801rad—

弧长公式弧长l—\a\r

S=^lr=^\a\r2

扇形面积公式

知识点2任意角的三角函数

三角函数正弦余弦正切

设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点尸（无，y）,那么

定义

y叫做a的正弦，记作sinax叫做。的余弦，记作cosa初做a的正切，记作tana

I+++

II+一一

各象限符号

III一一+

IV一+一

小

斗（助小人冰1,0）一

三角函数线

有向线段MP为正弦线有向线段为余弦线有向线段AT为正切线

知识点3同角三角函数基本关系式与诱导公式

1、同角三角函数基本关系式

(1)平方关系:sin2a+cos2a=l.

(3)商数关系：‘in、=tan岩+E,AGZ).

(3)基本关系式的几种变形

①sin2a=1—cos2a=(1+cosa)(l—cosa)；cos2a=1—sin2a=(1+sina)(1—sina).

②(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

③sina=tanacoso{a^kn+.%£Z

2、三角函数的诱导公式

公式—*二三四五六

712E1

角兀+Q+ct

2E+a/£Z)~a7i—a2-ot2

正弦sina—sina-sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sina

正切tanatana-tana—tana

口诀函数名改变，符号看象限函数名不变，符号看象限

“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指兀/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。

知识点4三角恒等变换公式

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a-汽)cos(a-yff)=cosacos夕+sinasinp

C(a+£)cos(a+夕)=cosacos夕一sinasin夕

S(a-.)sin(a—/J)=sinacos夕—cosasin4

S(a+为sin(a+夕)=sinacos夕+cosasin夕

tana—tan§

tan(a夕)】_ptanatan代

T(a-.)

变形：tana—tanP=tan(a一£)Q+tanatanp)

tana+tan

tan(a+夕)-1++万

T(a+0l1—tanatanp

变形：tana+tan/3=tan(ot+£)(1—tanatan0)

.TT

【注意】在公式T®±#中a,B，a±在都不等于析+/(%£Z),即保证1211。，12114，1211(0(±我)者|5有意义.

2、二倍角公式

sin2a=