新疆部分学校2024届高三4月（二模）大联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1新疆部分学校2024届高三4月（二模）大联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.{-1,1} B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得或，所以，由，得，因为，所以，或，或，所以，所以，故选：B．2.已知抛物线，点在抛物线上，则（）A.1或2 B.2 C.2或 D.〖答案〗C〖解析〗因为点在抛物线上，所以，整理得，解得或．故选：C．3.已知非零向量的夹角为，且，，则（）A.2π3 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得；由，得，所以，所以，因为，所以．故选：A．4.若数据的平均数为，方差为，则数据的方差为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为数据的平均数为，方差为，所以，，所以数据的平均数为，方差为．故选：C．5.已知等差数列的前项和为，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以．因，所以．另解：设等差数列an的公差为，由，得，所以，即，得，所以，因为，，，，所以故选：A．6.已知函数的部分图象如图所示，图象的一个最高点为，图象与轴的一个交点为，且点M，N之间的距离为5，则（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗函数的最大值为4．设的最小正周期为，依题意，得，解得，所以，解得，所以，又点在函数的图象上，所以，结合图象，知，解得，所以，所以．故选：D．7.过双曲线的右焦点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，线段FD与双曲线交于点，过点向另一条渐近线作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，知双曲线的渐近线方程为．设双曲线的半焦距为，则右焦点F(c,0)到渐近线的距离．设点，则，即．又，所以，解得．故选：A．8.已知函数满足且，当时，，则函数在区间上的零点个数为（）A.0 B.1 C.5 D.10〖答案〗B〖解析〗由题意，知4为函数的一个周期且函数的图象关于直线对称．当时，由函数的〖解析〗式，两出函数的大致图象如图所示．当时，函数的图象与函数的图象有且仅有一个交点；当时，总有．而函数在区间上单调递增且，，所以函数的图象与函数的图象在区间上没有交点．综上，函数在区间上的零点个数为1．故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设为复数，则下列命题正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则与互为共轭复数是的充要条件D.若，，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A，，故A正确；对于B，虚数不能比较大小，当时，不满足题意，故B错误；对于C，若，则，充分性成立．若，则，即．又，所以，必要性成立．综上，当时，与互为共轭复数是的充要条件，故C正确；对于D，由，，知在复平面内，与对应的向量的夹角为，所以，故D正确．故选：ACD．10.如图，在平行四边形中，，且，为的中线，将沿BF折起，使点到点的位置，连接AE，DE，CE，且，则（）A.平面 B.AE与平面所成角的正切值是C.BC与DE所成的角为 D.点到平面的距离为〖答案〗AB〖解析〗因为，且，所以，．又为的中线，所以，．因为，所以．由题意，知，所以EF⊥BF．又，且，BF⊂平面，所以平面，故A正确；因为，，，所以平面．又，所以平面．所以与平面所成的角为．在中，，．所以，故B正确；因为，所以或其补角即为与所成的角，连接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推论，得，所以，所以与所成的角为，故C错误；因为，且，所以．又，所以．因为点到平面的距离为，所以由等体积法，得点到平面的距离为，故D错误．故选：AB．11.设函数，则（）A.在上单调递减 B.在上的最大值为C.方程只有一个实根 D.，都有成立〖答案〗BCD〖解析〗由题可得，令，则，当时，，所以，在上单调递减．又，所以当时，，即f'x≥0，当时，，即f'x<0所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上，．当时，，所以在上的最大值为，故A错误，B正确；，即，由图象知，与的图象只有一个交点，故C正确；令，则，当时，，单调递增，当时，，当时，，所以在上先增后减，又，，所以成立，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为__________．〖答案〗〖解析〗设该圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得．因为半径为的球的表面积为，即，解得，则圆锥的高．所以该圆锥的体积．13.的展开式中项的系数是_________．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗因为展开式的通项为，，展开式的通项为，，所以，令，因为，，所以时，可配凑出项，此时项的系数为．14.已知函数满足其导函数为偶函数，f'0=1，，在如下三个函数：①；②；③中，共有6个参数a，b，c，d，k，m．请在集合中，取出合适的数赋予上面6个参数．使其满足题目要求，则a，b，c，d，k，m的值分别是__________（按对应的参数顺序写）；此时，在函数③中，的极小值是__________．〖答案〗，1，，0，，〖解析〗对于①，因为，所以，显然f'x为偶函数，因为，所以．又，所以．对于②，因为，所以．因为f'x为偶函数，所以，显然．又，所以．对于③，因为，所以，易知f'x为偶函数．又，所以．又，所以．所以a，b，c，d，k，m的值分别为，1，，0，，．此时，③中，．方法一：由，得，令，画出两函数的图象，如图所示，由图可知当时，，所以当时，f'x>0，则在单调递增，当或时，f'x<0，在和单调递减，所以函数的极小值为．方法二：令，则，令，得．令，则，所以在上单调递减，即g'(x)在上单调递减，所以当时，，则在单调递增，即f'x在单调递增，当时，，则在单调递煘，即f'x在单调递煘，所以．又，所以当时，f'x则在单调递增，当或时，f'x<0，在和单调递减，所以函数的极小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的最大值．解：（1）当时，，求导，得．令，解得（舍去）或，当时，，即在0,1单调递增；当时，f'x<0，即在单调递减，所以的单调递增区间为0,1，单调递减区间为．（2）当时，恒成立，即当时，恒成立，令，则，令hx=2x-1所以当时，h'x<0，当时，h所以当时，hx单调递减，当时，hx单调递增，所以hx的最小值为h所以hx≥h1这意味着在时单调递增，所以的最小值为.16.目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第1天的直播中有超过100万次的观看．（1）已知小李第1天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播的直播的概率为，求小李第2天与第3天至少有一天观看虚拟主播的直播的概率；（2）若未来10天内虚拟主播的直播每天有超过100万次观看的概率均为，记这10天中每天有超过100万次观看的天数为．①判断为何值时，最大；②记，求．解：（1）由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为，所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为.（2）①由已知服从二项分布，所以，由，当时，，所以，即，当时，，所以，即，综上，当时，最大.②因为，所以或，当时，，，当时，，，.17.如图，三棱锥的所有棱长都是，为的中点，且为FG的中点．（1）求证：平面平面；（2）若，平面与平面夹角的余弦值为，求FG的长．（1）证明：连结，因为，，且点是的中点，所以，，，且平面，所以平面，因为，所以共面，所以平面和平面是同一平面，所以平面，且平面，所以平面平面；（2）解；由（1）可知，平面，且平面，所以平面平面，且平面平面，设点是底面上的射影为，点在上，因为三棱锥的棱长都是，所以，，以点为坐标原点，过点作与平行的直线为轴，所在直线为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则O0,0,0，，，，，，,所以，，，，设平面的法向量为，则，即，令，得，，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，整理为，解得：或(舍去)，所以的长度为8.18.已知直线与平面所成的角为，动点在平面内，如果点到直线的距离总是，则点的轨迹为椭圆，如图所示．以该椭圆的中心为坐标原点，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，动点在直线上，直线QA交椭圆于另一点，直线QB交椭圆于另一点，探究：直线MN是否经过一定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（1）在空间中，到直线的距离为的点的轨迹是以直线为轴，底面半径为的圆柱形曲面，平面截该圆柱形曲面形成椭圆，设椭圆的方程为，由题意知，椭圆的短半轴长为，由直线与平面所成的角为，知椭圆的长半轴长为，所以椭圆的方程为；（2）由图形的对称性，知若直线经过顶点，则定点必在轴上，假设直线经过轴上一定点，当直线的倾斜角不为0时，设直线的方程为，由，得，设Mx1,则，，直线的方程为y=y1x1+2x+2由题意知，直线与直线相交于点，且点在直线上，所以，即，所以，所以，所以，由，得，代入，得，即，（*）当时，（*）式恒成立，所以，当直线的倾斜角为0时，经检验，也过点，所以直线经过轴上一定点，定点的坐标为1,0.19.我们把满足下列条件的数列称为数列：①数列的每一项都是正偶数；②存在正奇数m，使得数列的每一项除以m所得的商都不是正偶数．（1）若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是数列；（2）若数列满足对任意正整数p，q，恒有，且，判断数列是否是数列，并证明你的结论；（3）已知各项均为正数的数列共有100项，且对任意，恒有，若数列为数列，求满足条件的所有两位数k值的和．（1）证明：若a,b,c是数列,则a,b,c都是正偶数,设，则若,则除以3为,是正偶数,与题中条件(2)矛盾,若,则除以3为,是正偶数,与题中条件(2)矛盾,若,则除以3为,是正偶数,与题中条件(2)矛盾,所以a,b,c不是数列.（2）解：在中,令,得,所以数列是首项为8,公比为8的等比数列,所以,因为是正偶数,所以数列的每一项都满足题中条件(1),因为,