2025届高考数学一轮复习讲义：集合与常用逻辑用语

2025届高考数学一轮复习讲义一一集合与常用逻辑用语

【高考考情分析】

集合是高考的必考内容，一般试题较为简单，属于送分题，集合主要考查集合的基本运算，

常结合不等式进行考查.

常用逻辑用语的考查涉及的知识点较广，主要以其他知识为背景考查充分条件、必要条件

的判断，全（特）称命题的否定，难度中等偏易，以选择题和填空题为主.

【基础知识复习】

1.集合中元素的三个特征：

（1）确定性：对于给定的集合，元素必须是确定的.

（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，相同的对象归入同一个集合时，只能算

作集合的一个元素.

（3）无序性：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.

2.元素与集合的关系：如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作aeA；如果a不是

集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作

3.子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合3中的元素，就

称集合A为集合3的子集.记作：AqB或3卫A.读作：“A包含于5”（或“8包含A”）.

4.集合的相等：如果集合A的任何一个元素都是集合3的元素，同时集合3的任何一个元素都

是集合A的元素，那么集合A与集合5相等，记作A=B.

也就是说，若AQB，且8口4，则A=B.

5.空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0,并规定：空集是任何集合的

子集.

6.并集的运算性质：

（1）AUA=A,即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；

（2）AU0=A,即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.

7.交集的运算性质：

（1）AnA=A,即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；

(2)AC\0=0^即任何集合与空集的交集等于空集.

8.充分条件与必要条件的定义：

一般地，“若P，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到3由p可以推出q,记

作‘nq.并且说，2是q的充分条件，q是p的必要条件.如果“若p,则q”为假命题，那

么由条件"不能推出结论q,记作p力此时，p不是q的充分条件，q不是Q的必要条件.

9.充要条件的定义:如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则〃”均是真命题，即既有夕nq,

又有qnp，就记作p=q.如果p=q,那么p与q互为充要条件.

10.全称量词命题的真假判断：全真为真，一假为假.

存在量词命题的真假判断：一真为真，全假为假.

n.全称量词的否定：VxeM，p(x)的否定：*GM，」P(X).也就是说，全称量词命题的否

定是存在量词命题.

12.存在量词的否定：*eM，p(x)的否定：VXGM-.也就是说，存在量词命题的否

定是全称量词命题.

【重点难点复习】

1.集合的运算性质及重要结论

(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.

(2)集合与集合之间的关系：A^B,BcC=>AcC.

(3)空集是任何集合的子集.

(4)含有〃个元素的集合的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空真子集有2"-2个.

(5)a.A\jA=A,A\J0=A,A\JB=B\JA；

b.AC\A=A,AQ0=0,AC\B=BC\A；

c.An@A)=。，AU(V9=。；

d.A[}B=A<^A^B,A\jB=Ac^B^A.

2.集合运算中的常用方法

(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解.

（2）图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.

（3）Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解.

3.全（特）称命题及其否定

⑴全称命题p：VxeM,.它的否定-jp：3XQ^M,-ip（x0）；

（2）特称命题p：3x0eM,/?（%）.它的否定力：

4.充分与必要条件的判断：若小q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合

分别记为A,B,那么有以下结论：

〃与q的关系集合关系结论

p=q,qKpA\jBp是q的充分不必要条件

p/q,qnpB\jAp是q的必要不充分条件

p=q,q=pA=Bp是4的充要条件

p/q,q衣pA刎&3A?是q的既不充分也不必要条件

【基本方法与技能复习】

1.根据两集合的关系求参数的方法

（1）若集合中元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时注意

集合中元素的互异性；

（2）若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点

值能否取到.

2.判断集合之间关系的方法

（1）列举法：根据题中限定条件把集合中元素表示出来，然后比较集合中元素的异同，从而

找出集合之间的关系.

（2）结构法：从集合中元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上

找差异进行判断.

（3）数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点值之间的大小关系，从而确定集合

之间的关系.

3.求解集合的基本运算问题的步骤

（1）确定元素：确定集合中的元素及其满足的条件.

（2）化简集合：根据元素满足的条件解方程或不等式，得出元素满足的最简条件，将集合清

晰表示出来.

（3）运算求解：利用交集、并集、补集的定义求解，必要时可应用数轴或Venn图直观求解.

4.判断充分条件和必要条件的方法

（1）定义法：直接判断“若Q则/与“若q,则2”的真假，并注意和图示相结合.

（2）等价法：利用pnq与qnp与-pn「q,p=q与=的等价关系，

对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.

（3）集合法：若则A是3的充分条件或3是A的必要条件；若A=B,则A是3的

充要条件.

5.全（特）称命题的否定步骤

（1）改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量

词进行改写；

（2）否定结论：对原命题的结论进行否定.

【典型例题复习】

1.【2023年新课标I卷】已知集合/={—2,—1,0,1,2},N={。620},贝!]A/nN=()

A.{-2,-1,0,1}B.[0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.【2023年新课标I卷】记S“为数列{4}的前〃项和，设甲：{%}为等差数列；乙：，}，为

等差数列.则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.【2023年新课标H卷】设集合A={0,—a},B={l,a-2,2a-2},若4口3,则a=（）

A.2B.lC.-D.-l

3

4.【2022年新高考I卷】若集合M={x[&<4},N={x|3xNl},则MAN=（）

B.卜4x<2,

A.{x|0<x<2}

D.jx|j<x<16

C.{x|3<x<16}

5.【2022年新高考H卷】已知集合4={-1,1,2,4},B={xl|x-l|<l},则4口3=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为N={为M—X—620}={RXN3或所以MC|N={—2},故选C.

2.答案：C

解析：若{%}为等差数列，设其公差为力则为=4+(〃-l)d,所以s,=〃4+Wd,所以

+=G+(〃—1)弓，所以，}=q+5+l—1)!—[囚+5—1)q]=弓，为常数，所以为

等差数列，即甲n乙；若[鸟]为等差数列，设其公差为/,则2=县+(“-)=弓+5-»,

[〃Jn1

所以S〃+〃(〃一1»,所以当2时，an=Sn-Sn_1

=na1+n(nV)ax+(n-l)(n-2)t]=a1+2(〃一1)彳,当〃=1时，5=q也满足上式，所以

a“=q+2(“_l)f(“eN*),所以—4=%+2(九+1_1"—[%+2("_1)4=27,为常数，所以{4}

为等差数列，即甲U乙.所以甲是乙的充要条件，故选C.

3.答案：B

解析：依题意，有a—2=0或2。一2=0.当a—2=0时，解得a=2,止匕时A={0,—2},§={1,0,2},

不满足AqB；当2a—2=0时，解得a=l,此时A={0,—1},3={—1,0,1},满足所以a=l,

故选B.

4.答案：D

解析：通解(直接法)因为A/={x|《＜4},所以M={x|0Wx＜16};因为N={x|3xNl},所以

N=,无2；}.所以MnN={g4尤＜16卜故选D.

光速解(特取法)观察选项进行特取，取x=4,则4e〃，