2025年高考数学一轮复习：课时作业七十 随机事件的概率与古典概型

七十随机事件的概率与古典概型

（时间：45分钟分值:85分）

【基础落实练】

1.（5分）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件4“向上的点数是

1或5”为事件民则（）

A.AUB表示向上的点数是1或3或5

B/=B

C.AUB表示向上的点数是1或3

D.AHB表示向上的点数是1或5

【解析】选A.设4={1,3},5={1,5},则/门5={1}4口5={1,3,5},

所以力用表示向上的点数是1/U5表示向上的点数为1或3或5.

2.（5分）抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具.设

事件/为“向上一面点数为偶数”，事件5为“向上一面点数为6的约数”，则

PG+B）=（）

【解析】选D.由题意得，抛掷结果有6种等可能的结果，事件4即为向上一面的

点数为2或4或6,事件B即为向上一面的点数为1或2或3或6,事件A+B即为

向上一面的点数为1或2或3或4或6,所以P(A+B)^.

3.(5分X2022•新高考/卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数厕这2个

数互质的概率为()

1112

A.—B—C.—D.—

6323

【解析】选D.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的

取法，若两数不互质,不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种，故

所求概率

4.(5分X2024•厦门模拟)厦门山海健康步道云海线全长约23千米,起于东渡邮轮

广场，终于观音山沙滩，沿线串联瓮筲湖、狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎

头山、金山、湖边水库、五缘湾、虎仔山、观音山等“八山三水”市民甲计划从

“八山三水这11个景点中随机选取相邻的3个游览，则选取的景点中有“水”的

概率为()

A1-4-5_109

A-3B,9D-165

【解析】选c.11个景点随机选取相邻的3个游览，共有9种情况，选取景点中有

“水”的对立事件是在狐尾山、仙岳山、园山、薛岭山、虎头山、金山中选取3

个相邻的，共有4种情况，则其概率尸则11个景点中随机选取相邻的3个游览,

则选取的景点中有“水”的概率尸=1-11

5.(5分X多选题X2024・佛山模拟)甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名

额不限，设事件力为“甲中奖”，事件5为“乙中奖”，事件。为“甲、乙中至少有一人

中奖”，则（）

A.A与B为互斥事件

B.B与C为对立事件

C.AHB与仁为互斥事件

D.zna与c为对立事件

【解析】选CD.因为事件力为“甲中奖”，事件5为“乙中奖”，事件。为“甲、乙中

至少有一人中奖”，

对于A中，事件4与B可能同时发生，所以A错误；

对于B中,由事件C的对立事件为甲、乙都不中奖，所以B错误；

对于C中,由事件表示甲、乙都中奖，事件。表示甲、乙都不中奖，所以不可

能同时发生，所以4n3与。为互斥事件，所以C正确；

对于D中,由事件zna表示甲、乙都不中奖，事件。表示甲、乙至少有一人中奖,

所以zna与c为对立事件，所以D正确.

6.（5分）（多选题X2024•长春模拟）有两批种子，甲批种子15粒，能发芽的占80%,乙

批种子10粒，能发芽的占70%厕下列说法正确的有（）

A.从甲批种子中任取2粒，至少1粒能发芽的概率是If

B.从乙批种子中任取2粒，至多1粒能发芽的概率是得7

C.从甲、乙两批中各任取1粒，至少1粒能发芽的概率是弓

D.如果将两批种子混合后，随机抽出1粒，能发芽的概率为fl

【解析】选ACD.甲批种子15粒，能发芽的占80%,乙批种子10粒，能发芽的占

70%,

则甲批有15X80%=12粒发芽，乙批有10'70%=7粒发芽.

C；34

A:从甲批种子任取2粒，至少1粒能发芽的概率为。=1-告郎,故A正确；

r乙33

C15

211

B:从乙批种子任取2粒，至多1粒能发芽的概率为尸=4+?4,故B错误；

「乙「乙1D

^10^10

C:从甲、乙两批种子中各取1粒，至少1粒能发芽的概率为P=1-:故C正

rrDU

^15^10

确；

c1

D:将两批种子混合后，随机抽取1粒能发芽的概率为，故D正确.

^25

7.（5分X2022•全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平

面的概率为.

【解析】根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有4=70种取法，

若这4个点在同一个平面,有侧面6个、对棱面6个,一共有6+6=12种情况，

则这4个点在同一个平面的概率尸噂屋.

口木.35

8.（5分）某城市2023年的空气质量状况如表所示:

污染指数T3060100

111

概率

1063

污染指数T110130140

721

概率

301530

其中污染指数r＜50时,空气质量状况为优;50＜走100时，空气质量状况为

良;100＜在150时，空气质量状况为轻微污染.该城市2023年空气质量状况达到良

或优的概率为.

【解析】从题表中可以看出，空气质量为优的概率为右，空气质量为良的概率为%

所以空气质量状况达到良或优的概率为

1=1木为

9.（10分）经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如表：

排队人数012344人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

求：（1）至多2人排队等候的概率;

⑵至少3人排队等候的概率.

【解析】记“无人排队等候”为事件4、人排队等候”为事件民“2人排队等候”为

事件。,“3人排队等候”为事件Q,“4人排队等候”为事件瓦“4人以上排队等候”为

事件E则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥.

⑴记“至多2人排队等候”为事件G,则G3+5+C,所以尸(G)=P(/+5+O=

。⑷+。(5)+。©=0.1+0.16+0.3=0.56.

(2)方法一:记“至少3人排队等候”为事件4则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)

=。(。)+。(£)+尸(司=0.3+0.1+0.04=0.44.

方法二:记“至少3人排队等候”为事件私则其对立事件为事件G,所以尸(功=1-

P(G尸0.44.

【能力提升练】

10.(5分)如果事件A,B互斥，记4后分别为事件A,B的对立事件，那么()

A.4U5是必然事件

BNUB是必然事件

C.Z与后一定互斥

D.Z与否一定不互斥

【解析】选B.如图①所示HUB不是必然事件％UB是必然事件方与言不互斥;如

图②所示MUB是必然事件4U月是必然事件力与耳互斥.

图①图②

11.（5分）（多选题X2024•长春模拟）设{-2,-1,0,1,2,3},曲线+盯2=1厕下

列说法正确的为（）

A.曲线。表示双曲线的概率为:

B.曲线。表示椭圆的概率为:

6

1

c.曲线。表示圆的概率为需

D.曲线C表示两条直线的概率为:

【解析】选BD.对于A,当mn<0时，曲线。表示双曲线，

则当m>Q,n<0时有C；C；=6种，当m<0,n>0时有C；，C；=6种，

121

所以曲线C表示双曲线的概率为万寸^,故A不正确；

对于B,当加>0,“>0,且m^n时，曲线C表示椭圆，所以有A；=6种，

曲线C表示椭圆的概率为品故B正确；

C6c6

对于C,当m=n>0时，曲线C表示圆，有3种情况，

21

曲线C表示圆的概率为万丁行,故C不正确；

CC12

对于D,当加=0,”>0或加>0,片0时，曲线C表示两条直线，

当加=0,”>0时有3种情况，当相>0,片0时有3种情况，共6种情况,

曲线C表示两条直线的概率为品故D正确.

C6c6

12.（5分）（2024・厦门模拟）17世纪中叶，人们认为同时掷两枚骰子时,若不给两枚骰

子标记号,两枚骰子的点数和为6或7的可能结果数相同,则出现的概率就应该

相同.然而有人发现，多次的试验结果和人们的预想不一致,这个问题最终被伽利

略解决.则（）

A.当不给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有5种

B.当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的结果有3种

C.当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的概率为上

D.当给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的概率比出现点数和为7的概率更大

【解析】选C.对A,当不给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有（1,5）,

（2,4）,（3,3）共三种情况故A错误；

对B,当给两枚骰子标记号时,出现点数和为7的结果有（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,

（5,2）,（6,1）共6种情况故B错误；

对C,由B,出现点数和为7的情况共6种，投掷两枚骰子所有可能的情况有

6x6=36种，故出现点数和为7的概率为相，故C正确；

对D,当给两枚骰子标记号时,出现点数和为6的结果有（1,5）,（2,4）,⑶3）,（4,2）,

（5,1）共5种情况，故出现点数和为7的概率为《三,故D错误

13.（10分）近年来，我国科技成果斐然，北斗三号全球卫星导航系统已开通多年，北

斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和

3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成.现从地球静止轨道卫星和倾斜地

球同步轨道卫星中任选两颗进行信号分析.

(1)求恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗的概率；

(2)求至少选择了一颗倾斜地球同步轨道卫星的概率.

【解析】(1)记地球静止轨道卫星为1,2,3,记倾斜地球同步轨道卫星为a也c,则所

有的选择为(1,2),(1,3),(1,*(1,6),(1,c),(2,3),(2,a),(2,6),(2,c),(3,a),(3,6),(3,c),

(a,b),(a,c),(b,c).

记恰好选择了地球静止轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星各一颗为事件4

93

则A包含(1,*(1,6),(1,c),(2,0,(2功,(2,c),(3,0,(3⑼,(3,c),所以尸⑷=^；

(2)记至少选