高考数学一轮复习：平面向量基本定理及坐标表示讲义

高考数学一轮复习讲义平面向量、复数之平面

向量基本定理及坐标表示

一'知识点讲解及规律方法结论总结

1.平面向量基本定理

（1）定理：如果ei，e?是同一平面内的两个①不共线向量,那么对于这一平面内的任

一向量a,②有且只有一对实数一,%2，使a=4iei+%e2.

（2）基底：若ei，e?③不共线，我们把｛ei，e?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个

基底.

注意（1）基底向量ei,e2必须是同一平面内的两个不共线的向量，零向量不能作为基

底向量；（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一.

2.平面向量的坐标表示

（1）把一个向量分解为两个④互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.

（2）平面向量运算的坐标表示

坐标表示

已知a=（xi，yi）,b=（%2，"），则a+4=⑤（即十元2,yi+y2），a-

和（差）

办二⑥（即一％2，乃一V2）•

数乘已知a=（X1，刀），则Aa=（An，2%）,其中丸是实数.

任一向量

已知A（xi，%）,B（冗2，）2），则彳月二⑦（检―xi，m―yi）.

的坐标

说明（1）相等向量的坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无

关，只与其相对位置有关.

（3）平面向量共线的坐标表示

如果a=（xi，yi）,b=（%2，＞2），那么a〃♦的充要条件为⑧尤/2——丫1=0.

注意的充要条件不能表示成包=左的形式，因为尬，?有可能等于0.

x2y?.

二'基础题练习

1.下列说法正确的是（B）

A.平面内的任意两个向量都可以作为一个基底

B.设｛a,6｝是平面内的一个基底，若实数九,fii,B，仅满足力a+位5=22。+〃25,则刈=

义2，林\=林2

（2.若a=（xi，y\）,b—（%2，,2），则〃〃力的充要条件可以表示成包

x2y?

D.平面向量经过平移后其坐标改变

解析对于A,共线向量不可以作为基底，故A错误；对于B,同一向量在给定基底下的

分解是唯一的，B正确；对于C,若b=(0,0),则卫=及无意义，故C错误；对于D,

X2V2

平面向量不论经过怎样的平移，其坐标都不变，故D错误.

2.［教材改编］已知M(—2,7),N(10,—2),点尸是线段上的点，且两=

-2PM,则点P的坐标为(A)

A.(2,4)B.(-14,16)

C.(6,1)D.(2,-11)

解析设P(x,y),则两=(10—尤，一2—y),PM=(一2—x,7—y),又丽=

-2PM,所以0°久-2(2%)，解得2,所以点尸的坐标为⑵4),故选A.

1―2—y=—2(7—y),ly=4,

3.已知ei，e2不共线，a=ei+2e2,占=2ei+初2，要使｛a，6｝能作为平面内所有向量的一个

基底，则实数力的取值范围是(一8,4)U(4,+、).

三'知识点例题讲解及方法技巧总结

命题点1平面向量基本定理的应用

例1(1)［全国卷I］在△A8C中，为边上的中线，E为AD的中点，则丽=

(A)

A.-AB--ACB.-AB--AC

4444

C^-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

解析解法一根据向量的运算法则可得，在AABE1中，丽=丽+乐.因为E为的中

点，所以瓦反，在△A3。中，瓦?=丽+瓦彳=砺一刀.因为。为8c的中点，所以砺

三亩在AABC中，荏=屈一元逐步代入，可得而=瓦?+屈咛病+荏三(DB-

AB)+AB=-(iCB-AB)+AB=-CB+-AB=-(AB-XC)+工通=三屈一三前.故选A.

22424244

解法二由。为8C的中点，得诟=三(荏+左)，由E为的中点，得荏=工通=工

224

(X5+4C).在AABE中，^B=AB-AE=AB--(荏+左)=三荏一工前.故选A.

444

(2)如图，在直角梯形ABC。中，DC^AB,BE^IEC,且荏=Dc

rAB+sAD,则2r+3s=(C)/

A.lB.2

C.3D.4B

解析根据题图，由题意可得荏=前+南=荏+|阮=南+|(.BA+AD+DC^=|Z5

+|(Z5+0C)=|Zfi+|(.AD+^AB)=1而+|而.因为族=而+5万，所以厂=as

=|,所以2r+3s=1+2=3.故选C.

方法技巧

1.应用平面向量基本定理表示向量，实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

加、减或数乘运算.

2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将相关向量

表示出来，再通过向量的运算来解决.

注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.

训练1(1)［2024昆明市模拟］在平行四边形ABC。中，点T为C£)的中点，贝U(A)

A^AT=-AB+ADBJf=AB+-AD

22

CAT=-AB+-ADDAT=-AB+-AD

3333

解析因为四边形ABC。是平行四边形，所以瓦=荏.因为T为。。的中点，所以罚=

|PC,则方=砺+词=而+［反=|荏+而，故选A.

(2)［2024广东省模拟］己知△048中，OC^CA,0D^2DB,与BC相交于点M,0M

=x0A+y0B,则有序数对(尤，y)=(D)

解析如图，依题意A,M,。三点共线，故前=瓶了，所以而=方

O

+AM^0A+XAD^0A+^(0D-0X)=次+2C-OB-OA')^—0B

33

+(1-/)0A,又C,M,8三点共线，故两="而，则。羽=反+

•^―-------

CM=0C+/zCB=0C+/z(0B-0C)=(1一〃)~0C+/nOB^^0A+/nOB,所以

3(1

:‘所以丽=三赤+工07,又丽=x01+y而，所以|:‘所

724(『，

以有序数对(尤，j)=3.故选D.

42

命题点2平面向量的坐标运算

例2(1)［全国卷I］已知点A(0,1),B(3,2),向量方=(-4,-3),则向量前

=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析因为屈=(3,2)-(0,1)=(3,1),所以说=万一通=(-4,-3)-

(3,1)=(-7,-4).故选A.

(2)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，以a,为基底，则(C)

A.c=-2a-\-3bB.c=-3〃+2)

C.c=3a-2bD.c=2a—3b

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(1,1),b=

(—2,3),c=(7,—3).设c=xa+y方，贝'解得

1%+3y=—3,

x=3,,L

故。=3。一2无故选C.

?=-2,

方法技巧

1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，根据“两个向量相等

当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.

2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解

答转化为我们熟知的数量运算.

训练2(1)如图，在直角梯形A5CD中，AB//DC,ADLDC,AD=DC=2AB,E为AD

的中点，若而+〃砺(九〃£R),则2+〃的值为(B)

A.-B.-

55

p

C.2D.-

3

解析建立如图所示的平面直角坐标系，则。(0,0).不妨设AB=1,则

CD=AD=2,：.C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),：.CA=

(-2,2),CE=(-2,1),DB=(1,2),VG4=2CE+/zOB,

(-2,2)=/(-2,1)+〃(1,2),2'+"—―2'解得ff

+2〃=2,(4=屋

故2+//=|,

(2)已知平面上的三个点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),若A,B,C,。四

点能构成平行四边形，则点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(一6,0).

解析由四边形A3。为平行四边形，得近=虎，可解得。(2,2).

由四边形ABOC为平行四边形，得荏=而，可解得。(4,6).

由四边形AZJ8C为平行四边形，得同=方，可解得。(-6,0).

因此，使A,B,C,。四点构成平行四边形的点。的坐标为(2,2)或(4,6)或

(―6,0).

命题点3向量共线的坐标表示

例3(1)[2021全国卷乙]已知向量。=(2,5),b=(九4),若则2=[.

解析因为a〃b,所以2x4—52=0,解得4=1.

(2)已知点。(0,0),A(0,5),B(4,3),OC=-OA,OD=-OB,4。与8C交于

42

点、M,则点M的坐标为(苫，2).

解析由已知可得点C(0,9)，点。(2,-).因为A,M,。三点共线，所以前与丽共

42

---->>77

线，设M的坐标为(x,y),则4M=G,厂5),又(2,一；),所以一夕一2。

-5)=0,即7x+4y=20.因为C,M,8三点共线，所以两与方共线，又两=(无，y—

-),CB=(4,-),所以4—4(y--)=0,即7x—16y=—20.由+-2°'得

444-4(7x—16y=—20,

_12

X=--，1O

7所以点M的坐标为(工，2).

)=2，

方法技巧

平面向量共线问题的解题策略

(1)若a=(尤1,ji),b—(尤2,>2),则。〃5—1"一％2以=0.

(2)若a//b(屏0),则a=Xb.

1

训练3(1)[2023贵州省联考]已知尸(3,2),P2(9,11),P(5,y),可=4呢,

则y与2的值分别为(D)

131

A.y=8,丸=2Bj=y,2三

C.Jy=—4,A=2-D.yJ=5,A=-2

解析因为尸i(3,2),尸2(9,11),P(5,y),所以9=(2,y—2),PP^=(4,

11—y),由9=%配，得(2,y—2)=A(4,11—y)=(4九112一心)，所以

P=4A，解得P"故选D.

ly—2=11A—Ay,(y=5.

(2)设0Ve<]向量Q=(sin2acos9),b=(cos0,1),若allb,则tan<9=_

1

2—•

解析\*a//b,Asin23=cos23,

2sin8cos0=cos2ft

(0,-),

2

..1

••2sin0=cos0,tan0=~.

2

提升思维快速解题

奔驰定理

例4[2023江苏南京三模]如图，。是AABC内一点，且耐+加+2击=0,

则S"BC=4.

SAAOC-%

解析解法一取A8的中点。，连接。。，则彷4(0^4+05),又瓦?+赤+2•=

0,所以而=一。乙即。为CQ的中点.

又。为AB的中点，所以品AOC=；SAADC=^S^ABC,故受匹=4.

N4、RAOC

解法二OA+OB+2OC=0,则由奔驰定理得义理=上里=4.

S^AOC1

方法技巧

奔驰定理：尸为△ABC内一点，贝[Sr园+SB•丽+Sc・无=0,其中St,SB,Sc分别是

△BPC,ACPA,AAPB的面积.

证明过程如下.

延长AP交边8c于点。，如图所示.

用S表示△ABC的面积，则S=SA+SB+SC,用历表示△8PC的边3C

上的高，用Zz表示△A5C的边3。上的高.M-,r-

贝]jPQ_九I_[BC♦1i_s。4P_AQ_PQ_]_PQ_]_S[_SB+SC所以

、」AQh^BC-hS'AQAQAQSS'S

用后表示△CPA的边AP上的高，用力3表示△APB的边AP上的高.

则*=『=泻所以而=占海+/丁次，则存=*与+占前，

BQ九3ScSB-TSCSB十SC5'

即S•而=SB•(丽一丽)+Sc-(PC-PA),所以St•西+SB・丽+Sc•丽=0.

训练4[2023江苏苏州市第六中学三模]已知0是^ABC内一点，满足布+2而+=

0,且包g=3,则小=(C)

S&ABC7

A.2B.3C.4D.5

解析解法一由瓦?+2砺+优瓦=0,得一g反=]瓦5+|砺，令丽=—段反，则说

^-0A+-0B,所以A,B,M三点共线，所以①磔=31=』-==解得加=4.

33S&ABCI0CI771+37

解法二由奔驰定理得SABOC,0A~\~S^AOC'0B~\~S^AOB,OC=0,又②？+2赤+相击=0,所

以SABOC:SAAOC:S"OB=1：2：m,所以学=招上=：,解得m=4.

S^ABC1+2+m7

四'命题点习题讲解

1.［命题点1］如图是由等边三角形A/E和等边三角形KGC构成的六角星，

图中的8,D,F,H,J,L均为对应线段的三等分点，两个等边三角形的''一

中心均为O.若成=〃而？+:而，贝产=(B)

A.iB.-

23

C.-D.l

4

解析因为等边三角形A/E和等边三角形KGC的中心均为。，所以“，

yk

O,8三点共线，J,0,。三点共线.如图，连接H8,OD,则四边形、../,

AJHB,80DC都是平行四边形，且点、。为HB,的中点.瓦?=加+笈=

一一一一——，

OJ+1TB^OJ+2OB,又方=反=丽+反=次+反，所以切+2而=司

+2(.OC+OJ')^2OC+3OJ,即Ul=2瓦+3次，又近=i麻+丽,所以根=2,”=3,

七乙，、？7712

所kZ—=-.

n3

2.［命题点2/多选］已知向量ei=(-1,2),62—(2,1),若向量。=；1通1+2202，则使

刈彳2<0成立的。可能是(AC)

A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)

解析因为ei=(―1,2),ei—(.2,1),所以向量a=/Uei+?l2e2=(一九，2加)+

(2%,石)=(2^2—九，221+^2).当a=(1,0)时，2九+九2=。，满足题意；当a=

(0,1)时，2七一/U=0,不满足题意；当a=(-1,0)时，2/U+/l2=0,满足题意；当,

=(0,-1)时，242—21=0,不满足题意.

3.［命题点2］在矩形ABC。中，48=3,AD=4,尸是以点C为圆心，2为半径的圆上的动

点.设点=几屈+〃而，则什〃的最小值为(B)

7

A.lB二

6

p

C.2D.-

3

解析如图，以点A为原点，以A3和AZ)所在直线分别为x轴

和y轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0),B(3,0),

D(0,4),圆。的方程为(x—3)2+(y—4)2=4.

n.11

因为点P在圆。上，所以可设点尸的坐标为(2cos8+3,2sin0+

4),又而=2荏+〃而，所以(2cos0+3,2sin0+4)=4(3,「：

、।(2cos。+3=3A,“,

0)+〃(0,4)=(3/1,4〃x)，m所以/+〃=

(2sin6+4=4/1,

-cos0+-sin^+2=-sin(6+9)+2>-(其中tan,=2).故选B.

32663

4.［命题点3］已知向量。=(1,x),b=(y,1),尤>0,y>0.^a//b,则等的最大值为

A)

A.|B.lC.V2D.2

解析a//b^>xy=\,所以y==又x>0,y>0,所以丹-=一一^=工，当且仅当

，

Xx+yx+yx+-2\i2

qx

x=-,即％=1时取等号，所以丹-的最大值为士

xx+y2

五'习题实战演练

“2024山东荷泽模拟］设｛ei，ez｝为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的

是(C)

A.ei+e2和ei——€2B.4ei+2e2和2改——4幻

C.2ei+e2和D.ei—2c2和4e2+2^1

解析平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，选项C中，20+/=2(ci+

/2),即2ei+e2和ei+*2为共线向量，所以它们不能作为基底，故选C.

2.［2024河南商丘期末］已知点A(8,-1),B(1,—3),若点C(2机一1,加+2)与

A,3共线，则实数根=(C)

A.-12B.13C.-13D.12

解析因为点C与A,2共线，且屈=(一7,一2)，左=(2加一9,根+3)，故”=

—,所以根=一13.故选C.

3.[2023山东省实验中学开学考试]已知向量.=(2,-3),b=(m,1),若Ia+2Z>I

=Ia~2bI,则m=(A)

AA-3CD

2-1--l

解析由a=(2,—3),b—(机，1),可得a+2Z>=(2+2%,—1),a—2b=(2—

2m,-5),又Ia+2b\=Ia~2bI,所以Ia+2bI2=Ia~2bI2,(2+2m)2+l

=(2—2m)2+25,解得m=|,故选A.

4.[2023河北石家庄质检]AABC中，点M是BC的中点，点、N为AB上一点,AM与CN交

于点。，且而=：前，AN=AAB,贝iU=(A)

Ac.-4D

-i5i

解析如图，因为点M是2C的中点，所以而=：前=沔(ZB+ZC)

=|(.AB+AC).因为N,D,C三点共线，所以而=〃而+(1—〃)

AN,又丽=/1屈，所以|(XB+ZC)=〃前+(1—〃)AAB,由平面向

_2

~=4，〃=工，

量基本定理可知・1解得4/故选A.

-=(1一〃)A,A=-

、5,3f

5.在平面直角坐标系xOy中，己知A(1,0),B(0,1),点C在第二象限内，NAOC=

”，且IOCI=2,若灰=而1+〃而，则九〃的值分别是(D)

A.V3,1B.l,V3C.-l,V3D.-V3,1

解析设C(x,y),：点C在第二象限，且/AOC=巴，IOCI=2,

=|OCI-cos—=—V3,y=IOCI-sin—=1,

：.C(-V3,1),.\0C=(-V3,1).

又：泥=拓1+〃瓯；.(-V3,1)=2(1,0)+〃(0,1),

即(一V3,1)—(.A,/z),—y/3,—

6.［多选］已知等边三角形ABC内接于。。，。为线段。4的中点，E为BC的中点，则丽=

(AC)

A.-BA+-JCB.-BA--BC

3636

C1A+-AED.-BA+-AE

333

解析BD=BA+AD=BA+^AE=BA^(布+而)=雨甘雨+/前=|0+［就.

33236

故选AC.

7.［多选］已知向量02=(1,-3),0B=(2,-1),0C=(m,m—2),若连接AB,

BC,AC能构成三角形，则实数小的值可以是(ACD)

A.-2B.3

D.-l

解析由题知，AB=OB—0A=(2,—1)—(1,-3)=(1,2),AC=OC~OA=

(m,m-2)—(1,13)=(m-1,m+1).假设A,B,C三点共线，则lx(m+1)-

2(771-1)=0,即机=3.所以若连接A8,BC,AC能构成三角形，贝U机力3.故选ACD.

8.［2024河南信阳模拟］已知两点A(3,-2)和8(—5,—1),点尸满足而三荏，则点

P的坐标为(一1,一1.

解析解法一设点尸的坐标为(尤，y),由布三荏，得(无一3,y+2)=|(—8,

1).

%-3=~4,x=一］

所以1解得•3’所以点尸的坐标为(-1,--).

b+2=7,——2

2,

解法二由布=/南，得尸为45的中点，则由中点坐标公式得，点尸的坐标为(”,

二F),即(-1,-1)-

9.在△ABC中，点、M,N满足前=2疵，前=祝.若丽=x^+y前，则尤=1,j=_

_1

-6—•

解析由题意得标=流+而=工前+工荏=三前+乙(Zfi-Ic)^-AB--AC^XAB+

323226

y^c,所以尤=?,y=~l-

10.如图，在平行四边形ABC。中，E,尸分别为边A8,8c的中点，连接CE,DF,交于点

G.若德=标+〃而(九蚱R),贝哈

------f.

/

解析由题图可设出=屋(尤>0),则方=x(CB+BE)=x(CB+|C5)=:而+

n5.因为德=2而+〃方，而与荏不共线，所以4a〃=%,所以q=|.

11J2023陕西安康一模］已知。是△ABC内一点，2方+3丽+山泥=0,若AAOB与

△ABC的面积的比值为:则实数机的值为(D)

A.--B.-C.--D.-

3333

解析解法一由26<+3标=—机而得|瓦砺=—£反，设一三反

=彷，则丽=|瓦1+|赤，则A,B,。三点共线，如图所示，：灰与

而反向共线,,IODIm.IODIm•S^AOB\OP\

'9\OC\5'**ICDIm+5JSxABCICDI

去W，解得片拿故选D.

解法二u：2dA+3OB+mOC=0,工由奔驰定理(。为△ABC内一点，则&BOC•画+

SAAOC'OB+SAAOB,OC-O)

可知SABOC:SAAOC:SAAOB=2：3：...SAAOB：SAABC=^I:(2+3+m),———=

2+3+m

:,解得机=g,故选D.

12.［与基本不等式交汇］在正方形ABC。中，。为