2024-2025学年北京市房山区高三（上）入学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市房山区高三（上）入学数学试卷

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合a={x|-3<x<1],B={x\-l<久<2},则4UB=()

A.{x|-3<x<2]B.{x|-l<%<1}C.{-2-1,0,1}D.{-1,0}

2.若复数z满足不\=贝ijz=（）

A.1—iB.-1—iC.-1+iD.1+i

2

3.双曲线久2-7=1的渐近线方程为()

1

A.y=-%B.y=±2xC.y=2xD.y=-2x

4.已知圆(%—1)2+(y+3)2=r2(r>0)与直线％—y+2=0相切,则r=()

A.2B.mC.2^/3D.3^/2

5.(2%-§4的展开式中的常数项为()

A.-24B.-6C.6D.24

6.设向量Z=(%-1,%)工=-2),则“％=3”是“213”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知函数/（%）=^sinajx-^-cosajx（a）>0）的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于兀，则3=

（）

A.4B.2C.1D.1

8.已知正四棱锥P-4BCD的八条棱长均为4,Q是底面上一个动点，PO<3,则点Q所形成区域的面积为

A.1B.nC.4D.471

9.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Penkert于1898年提

出蓄电池的容量C（单位：X/i）,放电时间t（单位：九）与放电电流/（单位：Z）之间关系的经验公式：C=严・

t,其中几为常数.为测算某蓄电池的Pe迎ert常数九，在电池容量不变的条件下，当放电电流

I=304时，放电时间1=15/1；当放电电流/=404时，放电时间七=8瓦若计算时取国2k0.3,

国3、0.477,则该蓄电池的常数几大约为（）

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A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

1i

10.已知集合/={(%,y)|(%-<0}^={(x,y)\-<x<2,-<y<2},S是集合/nB表示的平面图

形的面积，贝US=()

9Q

A.1B-oC.2Dq-

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.抛物线N=4y的准线方程为.

一2

12.在平面直角坐标系％。y中，角a与角0均以。％为始边，它们的终边关于y轴对称.若s讥a=耳，则si印=

13.己知函数/(%)={](：■温“Lx耳:若a=°，则八1)=:若f。)在R上单调递增，贝必的一

个值为.

14.如图1,一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛

有小升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好经过点P(图2),设正四棱柱的

局为九1，正四棱锥的高为八2,

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15.古希腊毕达开拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数

分成许多类.如图，第一行图形中黑色小点个数：1,3,6,10,…称为三角形数，第二行图形中黑色小点

个数：1,4,9,16,…称为正方形数，记三角形数构成数列｛即｝，正方形数构成数列｛%｝，给出下列四个

结论：

①数列｛即｝的一个通项公式是即=迹/；

②2025既是三角形数，又是正方形数；.△A

③*+*+*+…+*<*

(4)VmeN,m之2,总存在p,qEN.使得=即+与成立.

其中所有证确结论的序号是.

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题13分)

在锐角aaBC中，角a,B,C的对边分别为a,b,c,且避a—26sM4=0.

(I)求角B的大小；

(II)再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求△ABC的面积.

条件①：c=2,C=p

条件②：b=也c=2.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

17.(本小题13分)

已知四棱锥P—2BCD中，PA，平面ABC。，四边形48CD为菱形，PA=4。=2,E为2。的中点.

①若F为PC的中点，求证：EF〃平面P4B；

(II)若BD=2也.求平面P4B与平面PEC夹角的余弦值.

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18.(本小题14分)

某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、

50元、50元.为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测、检测结果

如下表：

产品等级一等品二等品三等品

样本数量(件)503020

①从流水线上随机抽取1件产品，估计这件产品是一等品的概率；

(II)若从流水线上随机抽取3件产品，这3件产品的利润总额为X.求X的分布列和数学期望；

(III)为了使每件产品的平均利润不低于80元，产品中的一等品率至少是多少？

19.(本小题15分)

己知椭圆E：g+^=l(a>b>0)的一个顶点为(2,0)樵距为2M.过点(ni,0)(7n>2)且斜率不为零的直线

与椭圆E交于不同的两点4B,过点力和C(l,0)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

①求椭圆E的方程及离心率；

(II)若直线BD与％轴垂直，求加的值.

20.(本小题15分)

X

已知函数f(x)=彘，直线2为曲线y=/(久)在点(t/(t))处的切线.

(I)当t=0时，求出直线/的方程；

(II)若g(x)=/'(x),求g(x)的最小值;

(in)若直线/与曲线y=/(%)相交于点(s,/(s)),且s<t,求实数t的取值范围.

21.(本小题15分)

已知数列4：%,a2,a3,an(n23)的各项均为正整数，设集合T={x\x=a;,l<i<j<n],记T

的元素个数为P(T).

(I)若数列41,3,5,6,求集合7,并写出P(T)的值;

(n)若a是递减数列，求证：“a为等差数列”的充要条件是“p(r)=n-1”；

(in)已知数列42,22,23,2n,求证:p(r)=硬严.

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参考答案

1.A

2.C

3.5

4.D

5.D

6.A

7.B

8.B

9.C

10.B

ll.y=-1

12-

13.01(答案不唯一)

14(

15.①③④

16懈：(I)因为诲-26si九4=0,由正弦定理可得避sinA—2s出BsinA=0,

在锐角△ABC中，sinA>0,可得sinB=半，

77

可得B=]

(II)若选条件①：c=2,C=^,由正弦定理可得=公?，

b2厂

即理=否，解得b=76,

22

因为sinA=sin(F+C)=sin。+今=sin^cos^+cos^sin^=号乂浮+三义号=",

所以S△丽=^bcsinA=义xmx2x於："=1+产；

若选条件②：b=也c=2,

在锐角三角形中，由正弦定理可得心=肃，

SLTLDoL/ic«

即噜=森3可得sinC=<可得C=1

SITIC2看

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因为sinA=sin(B+C)=sine+今=sin^cos^+cos£sig=岑义孝+"'¥="；■,

所以$4ABC=^bcsinA=2xmx2X%也=

乙乙4Z

17.解：(1)证：设PB的中点M,连接MF,AM,如图所示：

1

••・四边形2BCD为菱形，E为力。的中点，BC//AE,AE=^BC,

又F为PC的中点，•••MF//BC,且MF=|BC,

MF//AE,MF=AE,四边形MFEA为平行四边形，

EF//AM,又EF呈面PAB,AMu面P4B,

£T〃面248；

(2)当BD=2的时，AB2+AD2=BD2,四边形4BCD为正方形，

又241面4BCD,以48,AD,4P所在直线为x轴，y轴，z轴，建立坐标系，如图所示:

贝必(0,0,0),P(0,0,2),£(0,1,0),C(2,2,0),丽=(0,-1,2),fT=(2,1,0),

设面PEC的法向量为元=(久,y,z),贝|{,毛=；，即匕0°，令y=2,贝!Jx=-1,z=1,•'.n

=(T,2,l),

又AE1AB,AE1PA,且力BCAP=A,AE1面P4B,

故荏=(0,1,0)可以作为面248的一个法向量，

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Icos<n,版>|=夜彳=坐.

即平面P4B与平面PEC夹角的余弦值.

18.解：①设概率为P,由题意得P=50+3°+20=|；

(II)首先，我们把二等品和三等品视为一个整体，

则单次抽到一等品的概率为《抽到二等品和三等品这个整体的概率为今

当X=150时，抽到的产品一定在二等品和三等品这个整体里，

所以P(X=150)=或(5。6)3=*

当X=200时，P(X=200)=6弓)16)2=1

当X=250时,PQX=250)=C转产即=|,

当X=300时,P(X=300)=C|(1)3(1)0=I，

故分布列见下表：

X150200250300

P1331

8888

所以数学期望为E(X)=150+200XI+250X|+300X5=225；

OOOO

(in)设产品中的一等品率为刈故非一等品率为1-久，

所以100久+50(1—久)280,解得*20.6,

所以产品中的一*等品率至少是60%.

19.解：(I)因为椭圆的一个顶点为(2,0),焦距为2#，

所以a=2,c=y/2,所以力=福，故椭圆的方程为¥+[=1,

4Z

故离心率为e=?=乎；

a2

(II)如图，设的方程为丫=左。一771),「(久切)，「(久222)，

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"x2,y2_1

联立方程组佟=，加)，可得曲韵―"+喈一』,

而/=TH2k4呼+1-m2fe4+2k2=（2—苧）M+1>0,

2m2M

mk4mk2-----1_2m2V2—4

所以打+%2=I।=X1X=

4+21+2H'21+2k2

因为过点4和C(l,0)的直线ac与椭圆E的另一个交点为D,

所以4C,。三点共线，所以灰，而共线,

因为BO与X轴垂直,所以、2)，故4C=(1—久1，一%)，CD=(^2~1,—y2)>

故得—yi（%2—1）+丫2（1-％1）=0，所以——1）+女（％2-血）（11％1）=

化简得k［Qi+比2)(瓶+1)-2X1久2-2利=0,所以k［含赣x(m+1)-2x华雪段~2利=0,

而吃。，所以受'(6+1)-2><^^-2爪=°,一26+8=°,解得加=4,故m的值为4.

20.解：(I)因为(。)=三，则斜率k=r(0)=1,

又/(。)=0,

则函数y=/(久)在点(0,0)处的切线［的方程为久-y=0；

(II)g(x)=/。)=衰,》eR,

则g'Q)=整，

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令"(%)=0，得％=2，

则当%G(一8,2)时,g'(%)<0,函数单调递减,

当久G(2,+8)时，/(%)>0,函数单调递增，

1

所以9(X)的最小值为g(2)=-葭；

(in)由八%)=会，得=宁，则r(t)=宁，

可得曲线y=八町在(叮(0)处的切线方程为了—捺=詈0-1),

即y=^rx+|-

令八(X)=£—

显然h(t)=o,H(x)=M—9，

令m(x)=爰-V'

y_?

则7n'(%)=-^r=0,得X=2,

所以1(%)在(-8,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

若t<2,%e(一8,1)时，

所以"(%)>0,

则廿(%)在(一8,t)上单调递增，且h(t)=0,

所以以%)在(-8©上无零点，舍去；

若力>2,

因为>一《，

elez

所以％e(一8由时，h'(x)min=T(2)=<°，

则h(x)在(-8,久0)上单调递增，在(Xo,t)上单调递减，

而无趋于-8久时，h(久)趋于-8,

所以无(无)在(0,t)上存在零点.

故t的取值范围是(2,+8).

21.解:(1)由题意,数列41,3,5,6,

可得3-1=2,5-1=4,6-1=5,5-3=2,6-3=3,6-5=1,

所以集合T={123,4,5},所以P(T)=5.

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(2)证明：必要性：若/为等差数列，且/是递减数列，设/的公差为d(d<0),