2025年高考数学一轮复习：导数的概念及其意义、导数的运算（十二大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算

目录

01考情透视•目标导航...........................................................2

02知识导图•思维引航...........................................................3

03考点突破•题型探究...........................................................4

知识点1:导数的概念和几何意义................................................................4

知识点2：导数的运算...........................................................................4

解题方法总结...................................................................................6

题型一：导数的定义及变化率问题................................................................6

题型二：导数的运算.............................................................................8

题型三：在点尸处的切线........................................................................9

题型四：过点P的切线.........................................................................10

题型五：公切线问题............................................................................10

题型六：已知切线或切点求参数问题.............................................................12

题型七：切线的条数问题.......................................................................13

题型八：利用导数的几何意义求最值问题.........................................................14

题型九：牛顿迭代法............................................................................16

题型十：切线平行、垂直、重合问题.............................................................18

题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题.........................................................19

题型十二：切线斜率的取值范围问题.............................................................19

04真题练习•命题洞见...........................................................20

05课本典例•高考素材...........................................................21

06易错分析•答题模板...........................................................22

易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置.......................................................22

答题模板：求曲线过点P的切线方程.............................................................22

考情透视.目标导航

考点要求考题统计考情分析

2023年甲卷第8题，5分高考对本节内容的考查相对稳定，考查内

(1)导数的定义

2022年1卷第15题，5分容、频率、题型、难度均变化不大.重点考查导

(2)导数的运算

2021年甲卷第13题，5分数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为

(3)导数的几何意义

2021年1卷第7题，5分主.

复习目标：

(1)了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.

(2)通过函数图象，理解导数的几何意义.

(3)能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数.

//二知识导图•思维引航\\

函数/（1）归=M处瞬时变彳七率lim在=lim/（•%+：”•/（小）,

Ax-4）AXAx-4ZLV

我们称它为函数尸/（X）在mXo处的导数，记作/'（项）或/|EJ

厂m数的概今和J1同章义,=同=辿、，函数＞,=/（2fe=.&处的导数/'（.&）的几何意义、

、P数日9微心和几何〜,乂/Y几何忌乂）（即为函数j，=/（；）在点二城处的切线的斜率.）

X------=7^（函数s=s（/）在点4处的导数s'（，o）是物体在，0时刻的瞬时速度「，即xs'O

乂物理意义）-I”电在点,。的导数一（Q是物体而。时刻的瞬时加速度4即a="Q.

/^7cx)=c(c为常数)，/'")=0-

/(x)=v*(ae0,f(x)=axtl

f(x)=ax(a>01LA*1),f'(x)=axlna

f(x)=log^:(a>Q且"1)，/'代)=

基本初等函数的导数公式,,*

/(-v)=e\/'(x)=^

f(x)=lrixt/'(.v)=1

f(x)=shix,f'(x)=cosx/

、'、\^f(x)=cosx,f'(x)=-sinx

T函数和差求导法则:[/(2坨(2]'=/'(.、)坛'(2)

导数的运算法则函数积的求导法则：'=/'(2g(x)+/(Mg'(2)

1函数商的求导法她其30,则[悬]'=/'")飘；?[4'加'(2；

复合函数求导数r复合函数丁=/ko］的导数和函数）'=/（"），〃=/•）的导数间关系为机/可“〃；；

老占突曲・题理探密

-----H-H-c

知识JJ

知识点1:导数的概念和几何意义

1、概念

函数/（%）在x=%处瞬时变化率是lim"=lim"尤。+—）-"飞）,我们称它为函数y=/⑴在X=%

心.°Ax以―。Ax

处的导数，记作八龙。）或.

知识点诠释：

①增量V可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.-0的意义：Ax与。之间距离要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当—0时，Ay在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

包="Xo+Ar）-"%）无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即是位移在这一时

刻的瞬间变化率，即尸（%）=lim"=lim/^o+Ax-）-/（xo）.

-Ax"一。Ax

2、几何意义

函数y=/（X）在x=x0处的导数/（与）的几何意义即为函数y=/（X）在点P（x。，%）处的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s⑺在点质处的导数S&）是物体在时刻的瞬时速度V,即丫=5&）；v=v⑺在点r。的导数

M%）是物体在％时刻的瞬时加速度。，即a=v'G））.

【诊断自测】设/（X）为R上的可导函数，且/'（1）=1，则蜘/⑴一2A=（）

A.2B.-2C.1D.-1

知识点2：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)=c(c为常数)rw=o

y(x)=x"(aeg)fr(x)=axa~l

f(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=ax\na

f(x)=log。x(a>0,aw1)

rw=-x^ln—a

/(x)=d/'*)=/

/(x)=lnxr«=-

/(x)=sinx/'(%)=cos%

f(x)=cosx/'(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："(x)±g(x)]'=/'(x)±g'(x);

(2)函数积的求导法则："(x)g(x)]=f(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(3)函数商的求导法则：g(x)NO,则[效]=尸(x)g(x)j/(x)g'(x)

g(x)g(%)

3、复合函数求导数

复合函数丁=yig(])]的导数和函数)=/(〃)，K=g(x)的导数间关系为=”'〃；：

【诊断自测】求下列函数的导数:

(1)y=xcosx-(lnx)sinx；

小、Vxcosx+x

⑵y--1--------

x+1Inx

解题方法总结

1、在点的切线方程

r

切线方程y-f(x0)=/(x0)(x-x0)的计算：函数y=/(尤)在点AO。,/(x0))处的切线方程为

y-/(九0)=/'(%())(%-%)，抓住关键

2、过点的切线方程

设切点为尸(七,%),则斜率左=((工0),过切点的切线方程为：丁-%=/(%0)(%-%)，

又因为切线方程过点A(m,ri),所以〃-%=/(%0)(根-九。)然后解出/的值.(%有几个值，就有几条

切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

3、高考常考的切线方程

(1)y=尤是y=ln(x+l)的切线，同时)=X—1是y=lnx的切线，也是y=1—工和y=xlnx的切线.

(2)、=尤是,=sinx的切线，、=%是丁=1211%的切线.

(3)y="是y="的切线，)=%+1是y="的切线.

题型一：导数的定义及变化率问题

【典例1-1］若函数y=/(x)在区间(“㈤内可导，且与€(.向，则+的值为()

A./'(尤0)B.2仆)

C.-2/(%)

【典例1-2］如图1,现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器，以2cm3/s的速度向该容器内注入

溶液，随着时间f（单位：S）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度,

则当/=兀时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（）

V150

D.cm/s

2冗

【方法技巧】

利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解

【变式1-1］（多选题）已知/（X）,g（x）在R上连续且可导，且y'伍》0,下列关于导数与极限的说法

中正确的是（）

"1-Ar)-

A.lim=广（尤0）B.lim=于'3

Ax->0A/zfO2A/z

limg(Xo+Ax)-g(Xo)=g1%)

C.lim=/'(%)D./%〃/+©)-/(尤0)f'M

Ax->03Ax

【变式1-2］（2024•上海闵行•二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期

整改、设企业的污水排放量W与时间f的关系为W=/«）,用㈤一〃"）的大小评价在［a,可这段时间

b-a

内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列

正确的命题是（）

污

水

达

标

排

放

量

A.在［。，以这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

B.在弓时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；

C.在4时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；

D.甲企业在［0,3，,小］,上2闻这三段时间中，在的污水治理能力最强

题型二：导数的运算

【典例2-1】求下列函数的导数.

(1)j=xe

/、Inx

⑵y=E

(3)^=2sin(l-3x)

(4)尸-：

【典例2-2】已知函数,3满足满足/(x)=/")ei-f(O)x+g，；求“好的解析式

【方法技巧】

(1)对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求

导问题.

(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

【变式2-1】已知/(x)=:/+2#，(2022)-20221nx,贝1］/(2022)=_.

【变式2-2］设函数〃X)=X(X+D(X+2)(x+10),则广(0)的值为()

A.10B.59C.10x9x—x2xlD.0

【变式2-3］在等比数列｛%｝中，4012=2,若函数“元)=3尤(》-%)(彳-出)」红-023)，则/［。)=()

A.-22022B.22022C.-22023D.22023

【变式2-4］若定义域都为R的函数/(力及其导函数/'(x),满足对任意实数x都有

2024

/(x)-/(2025-x)=2x-2025,则工/(%)=

k=l

【变式2・5】求下列函数的导数：

(Xx\

(l)y=2e2+xe；

\7

(2)y=a2x+x2；

(3)y=sin43x•cos34x；

(4)y=^^-ln(x+l).

x+1

题型三：在点尸处的切线

【典例3-1】(湖南省2024届高三数学模拟试题)曲线y=ln2x在点处的切线方程为()

A.2x—y+1=0B.2x—y—1=0C.2x—y+2=0D.2x—y—2=0

【典例3-2】(2024•全国•模拟预测)已知曲线/(x)=xlnx在点。，/⑴)处的切线为/,贝U在V轴上的截

距为()

A.-2B.-1C.1D.2

【方法技巧】

函数V=/(%)在点A5,/(/))处的切线方程为y-/(%)=/(犬o)(x-Xo),抓住关键

3=/(%)

【变式3-1】曲线/(x)=2e=sinx-2在点(0,/(0))处的切线方程为()

A.y=3xB.y=2xC.V=xD.y=f

【变式3-2](2024•山东济宁•三模)已知函数/(x)为偶函数，当xvO时，/(x)=ln(-x)+x2,则曲线

y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程是()

A.3x—y—2=0B.3x+y-2=oc.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【变式3-3](2024•四川•三模)已知函数/(x)=<2x+a+cosx(aeR),则曲线y=/(x)上一点(0,-2)处

的切线方程为()

A.2x+y+2=0B.x+y+2=0

C.3%+y+2=0D.3x+y-2=0

题型四：过点尸的切线

【典例4-1】已知函数/(耳=9一6犬+9彳一7,直线/过点(0,1)且与曲线y=〃x)相切，则直线/的斜率为

()

A.24B.24或—3C.45D.0或45

【典例4-2】过点(0,昉可作〃力=6'7的斜率为1的切线，则实数加=.

【方法技巧】

设切点为尸(不，%),则斜率左=/(刀0),过切点的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0),

又因为切线方程过点A(a,6),所以6-%=/00)(。-彳0)然后解出.%的值.

【变式4-1］曲线G"(x)=x+g过点A(|,o］的切线方程为

【变式4-2】过点(0,-2)作曲线/(x)=lnx-2的切线，则切线方程为一.

【变式4-3］(2024•山西吕梁•一模)若曲线/(x)=lnx在点月(4,九)处的切线过原点。(0,0),则

%0=.

【变式4-4］(2024•高三•海南省直辖县级单位•开学考试)已知函数/(x)=alnx(a/0),过原点作曲线

y=/(x)的切线/,则切线/的斜率为—.

题型五：公切线问题

【典例5-1］若直线>=履+〃与曲线C：y=3+e，和曲线G：y=e"2同时相切，则6=()

B.2-ln2D.3-ln3

22

【典例5・2】(2024•湖南长沙•一模)若直线y=%(x+l)—l与曲线y=e'相切，直线y=%(x+l)—l与曲

线y=lnx相切，则人色的值为()

A.1B.ec.72D.e-1

【方法技巧】

公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关

切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解.

【变式5-1](2024•广东茂名•一模)曲线y=与曲线y=/+2ax有公切线，则实数。的取值范围是

()

C11「1)(1-1

A.1-00,--B.--,+ooIC.1-00,—D.—,+oo

2

【变式5-2](2024•辽宁大连•一模)斜率为1的直线/与曲线y=ln(x+a)和圆V+y2=g都相切，则实数

。的值为()

A.0或2B.—2或0C.-1或0D.0或1

【变式5-3]若存在直线>=丘+〃，使得函数/(x)和G(x)对其公共定义域上的任意实数x都满足

F(x)>kx+b>G(x),则称此直线y=>+6为尸(x)和G(x)的“隔离直线”.已知函数〃x)=f,

g(x)=olnx(«>0),若/(x)和g(x)存在唯一的“隔离直线”，则4=()

A.VeB.2A/CC.eD.2e

【变式5-4](2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=eTg(x)=；ex2,若直线/是曲线y=与曲线

y=g(x)的公切线，贝”的方程为()

A.ex—y=0B.ex-y-e=0

C.x-y=0D.x-y-l=0

题型六：已知切线或切点求参数问题

【典例6-1】若直线丁=质与曲线y=log3%相切，则实数上=()

A.eln3B.elog3e

C.—D.-loge

ee3

【典例6-2】(2024•全国•模拟预测)若直线y=2x-b与曲线〃x)=e"-2ox(a>-l)相切，则b的最小值

为()

A.-eB.-2C.-1D.0

【方法技巧】

已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的

导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上.

【变式6-1】已知直线尸质+》与函数=的图象相切，则上的最小值为.

【变式6-2](2024•重庆•模拟预测)已知直线y=or+b与曲线y=e，相切于点(x0,e而)，若天«-0),3),

则的取值范围为()

A.(fe]B.(-e3,e]C.(0,e)D.(0,e3]

【变式6-3]已知函数g(x)=x(or+21nx),若曲线y=g(x)在x=l处的切线方程为？=6x+b,则

a+b=_.

【变式6-4](2024•四川•模拟预测)已知加>0,〃>0,直线y='x+"z+l与曲线y=hu-?i+3相切，则

e

m+n=.

【变式6-5]对给定的实数6,总存在两个实数。，使直线>=依-6与曲线y=ln(x-b)相切，则b的取值

范围为___.

题型七：切线的条数问题

【典例7-1】若过点（1力）可以作曲线y=ln（x+l）的两条切线，贝|（）

A.In2<b<2B.Z?>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>l

【典例7-2］若过点（a,b）可以作曲线y=lnx的两条切线，贝|（）

A.eb>0>aB.lna>O>bC.eb>a>0D.lna>b>0

【方法技巧】

设切点为P（x（）,%）,则斜率左=（（X0）,过切点的切线方程为：y-y0=f'（x0）（x-x0）,

又因为切线方程过点A（a,6）,所以6-%=/（%）（“-％）然后解出与的值，有多少个解对应有多少条

切线.

【变式7-11（2024•内蒙古•三模）若过点（a,2）可以作曲线y=lnx的两条切线，则a的取值范围为（）

A.B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,ln2）

【变式7-2］若曲线>=竺?有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（）

B.乎C.|D.f

A-i

【变式7-3］（2024•全国•二模）若曲线〃尤）=已有三条过点（0,。）的切线，则实数。的取值范围为（）

A.川B.（°,曰C.4口.卜。

【变式7-4］已知〃x）=x3-x,如果过点（2,⑴可作曲线y=/（x）的三条切线.则下列结论中正确的是（）

A.—1<m<8B.O<m<7C.—3<m<5D.—2<m<7

【变式7-5】己知函数/（尤）=—（尤>0）,若过点P（a,。）可作两条直线与曲线y=/（x）相切，则下列结论正

确的是（）.

A.—l<ab<0B.0<ab<l

c./+/的最大值为2D.eb>a

【变式7-6】过点（2,0）作曲线=的两条切线，切点分别为（%,/（%））,（%"（%））,则:+:=

（）

A.-2B.-1C.1D.2

【变式7-7］（2024•高三•北京海淀•期末）若关于x的方程log〃x-a、=。（0>0且"1）有实数解，则

"的值可以为（）

A.10B.ec.2D.-

4

题型八：利用导数的几何意义求最值问题

【典例8-1］（2024•四川眉山•三模）若关于X的不等式Inx4加-加-1（"0）恒成立，则彳的最大值为

（）

C.1D.2

A.-z-B.-Y

eeee

yfix+y+1

【典例8-2］（2024•四川凉山•二模）已知点P（x,y）是曲线y=/上任意一点，则信+（；+以的最大值

为（）

CVT5+2^/5口J15+2>/5

A2A/5-V15„275-715

105105

【方法技巧】

利用导数的几何意义求最值问题,利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.

【变式8-1］（2024•湖北•模拟预测）设。=’（一-a)2+(ex-2^'+a+l,其中e=2.71828,则O的最小

值为（）

A.72B.V2+1C.z行D.73+1

【变式8-2］（2024•辽宁辽阳•一模）设曲线y=/在点（1』）处的切线为/,P为/上一点，。为圆

口（》-5）2+产=》上一点，则归。的最小值为（）

A.孚

【变式8-3］（2024•宁夏银川•一模）已知实数羽,满足2炉一51nx—y=0,meR,则

yjx2+y2—2mx+2my+2m2的最小值为（）

【变式8-4】设点尸在曲线y=Y+i@zo）上，点。在曲线y=C（%21）上，贝1JIPQI的最小值为.

【变式8-5］已知y=0-〃）2+（沈苫-〃+1）2（〃£R）,则V的最小值为一

【变式8-6］（2024•高三•山东青岛•期末）已知动点尸，。分别在圆M:（尤-姑根尸+⑶一根尸二；和曲线

y=lnx±.,则|P。的最小值为

【变式8-7］（2024•河南•一模）记函数y=e，的图象为「，作。关于直线y=gx的对称曲线得到G,则

曲线G上任意一点与曲线6上任意一点之间距离的最小值为.

【变式8-8】已知函数y=*的图象与函数y=ln（2x）的图象关于某一条直线/对称，若尸，。分别为它们

图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（）

A.叵*2B.拒也c忘（1+M2）D72（l-ln2）

【变式8-9］（2024•全国•模拟预测）若函数/（%）=犬+31—41nr,点尸是曲线y=/（x）上任意一点，则

点尸到直线/：%-〉-3=0的距离的最小值为（）

A.4后B.殛C.3后D.亚

22

【变式8・10］若点人（4,4）,5仅,6（々/£用，则A3两点间距离|A目的最小值为.

【变式841】实数4/满足3/"+/=3111，+6+1,C£R,（a—c）2+S+c）2的最小值是（）

A.4B.0C.2D.10

r?

【变式8-12］已知'=/+〃是曲线/（x）="的一条切线，则一r的最小值为（）

m

A.—彳B.——C.――D.-1

eee

题型九：牛顿迭代法

【典例9-1］（2024•山东潍坊•三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程/（%）=0的根

就是函数/（x）的零点八，取初始值无。,〃尤）的图象在点&,“％））处的切线与，轴的交点的横坐标为

玉J（x）的图象在点（占"（占））处的切线与x轴的交点的横坐标为巧，一直继续下去，得到占它

们越来越接近设函数/（x）=f+笈，x0=2,用牛顿迭代法得到玉=!|，则实数。=（）

12

A.1B.1C.|D.-

4

【典例9-2】已知函数〃同=片"若曲线y=〃x）在uc=0处的切线交，轴于点（4,0）,在x=4处的切线

交x轴于点（生，。），依次类推，曲线）=/（"在x=%处的切线交£轴于点（q，0）,则

1111

+++■+的值是（）

〃2〃3〃3〃4。2023%024

人2025「2023—2022一2023

A.------B.-------C.------D.

2024202220232024

【方法技巧】

数形结合处理.

【变式9-1］（2024•湖北咸宁•模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一

Newton-Raphsonmethod译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设厂是/（犬）=0的根，选取》作为r的初始近似值,

过点（加〃/））做曲线y=的切线/：>—/（*=/'（3（1—%）,贝心与％轴交点的横坐标为

（小。"。），称X如的一次近似值；重复以上过程，得，的近似值序列，其中

K=%-点，（/'（%）"0）'称X.+I是'的"+1次近似值.运用上述方法'并规定初始近似值不得超过零

点大小，则函数〃x）=liu+x-3的零点一次近似值为（）（精确到小数点后3位，参考数据:

ln2=0.693)

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

〃玉)

【变式9-2]（2024•北京•模拟预测）给定函数/（力，若数歹支Z｝满足当M=%则称数列

E

%—2

优｝为函数/（X）的牛顿数列.已知｛%｝为=x-2的牛顿数列，4=ln-F，且

«182^3=()

=l,xn<-l(?zeN+),数列｛4“｝的前”项和为S,.则

B.22024-1

【变式9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用

广泛，若数列｛居｝满足可则称数列｛%｝为牛顿数列.如果函数/（x）=2f-8,数列｛%｝

为牛顿数列，设。“=抽干|,且q=l,x„>2.数列｛%｝的前"项和为S",则S“=

Xn~

【变式9-4]令函数=对抛物线y=/（x）,持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点（1,1）处

作抛物线的切线，交X轴于（X，O）;在点（占"&））处作抛物线的切线，交X轴于（七,0）;在点（和〃％））

处作抛物线的切线，交了轴于（七,0）;……由此能得到一个数列｛%｝随着”的不断增大，血会越来越接近

函数/（力的一个零在点％,因此我们可以用这种方法求/（x）零点%的近似值.①设%+i=g（x,）,则

g（4）=；②用二分法求方程f+x_i=o在区间（0,1）上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到

牛顿切线法的求解速度（快于、等于、慢于）二分法.

题型十：切线平行、垂直、重合问题

【典例10-11(2024•高三•广东深圳•期末)已知曲线E:y=e，与y轴交于点A,设E经过原点的切线

为/,设E上一点3横坐标为加小片。)，若直线AB/〃，则用所在的区间为()

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A.—1<m<0B.0<m<1C.1<m<—D.—<m<2

22

【典例10-2]（2024•高三•广西•开学考试）曲线/（x）=lnx+2x+3在A点处的切线与直线x+3y-2=0

垂直，则切线方程为（）

A.x+3y+2=0B.3尤-y-l=O

C.x-3y+2-0D.3x—y+2=0

【方法技巧】

利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.

【变式10-1】(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=(x+a)2+lnr的图象上存在不同的两点AB,使得

曲线)=/(%)在点A3处的切线都与直线x+2y=0垂直，则实数。的取值范围是()

A.(-a),l-V2)B.(l-V2,0)C."1+&)D.(0,1+72)

【变式10-2](2024•河北邢台•二模)己知函数/(x)=f+21nx的图像在4(玉,〃%))，8(々,〃々))两

个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是()

A.玉+/=2B.xx+x2=­C.演％2=2D.xxx2=-

【变式10-3】已知函数/(x)=eJx+lnx+a(aeR),过坐标原点。作曲线y=/(x)的切线/,切点为A,

过A且与/垂直的直线4交无轴于点8,则Q4B面积的取值范围是()

A.[e+l,+oo)B.[2e,+a>)C.[e2,+cojD.|^(e+l)2,+ooj

x2+x,x<0

【变式10-4]已知函数/(x)=1的图象上存在不同的两点A、B,使得曲线>=/(幻在这两

——,x>0

、X

点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是()

A.(-1,0)B.(T-:)C.(〈，1)D.(1,2)

，2，

题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题

【典例11-1】已知函数〃x)=asin3x+加+4(aeR力eR),/'(x)为的导函数，则

/(2016)+/(-2016)+r(2015)-r(-2015)=_.

【典例11-2](2024•海南海口•二模)已知函数/(力的定义域为R,/(x+1)是偶函数，当时,

〃x)=ln(l-2x),则曲线了=/(同在点(2,"2))处的切线斜率为()

22

A.—B.----C.2D.—2

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【方法技巧】

奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.

【变式11-1](2024•北京•模拟预测)记函数〃x)=sin®x+协(6＞0,0＜夕＜兀)的最小正周期为T,

/'㈤为/⑺的导函数.若广匕|=0,y=(+£|为偶函数，则0的最小值为().

A.1B.2C.3D.4

【变式11-2](2024•全国•模拟预测)已知函数/(%)=炉+(4-l)f-x+b是定义在函2+间上的奇函数,

/'(x)为“X)的导函数,则r(a+6+m)=()

A.-1B.0C.1D.2

【变式11-3](2024•全国•模拟预测)已知/(x)为奇函数，且当xvO时，/(x)=j，其中e为自然对

数的底数，则曲线/(x)在点(1,7(1))处的切线方程为

题型十二：切线斜率的取值范围问题

【典例12-1]过函数f(x)=ge2、-x图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为(