2024年上海中考数学一轮复习：勾股定理及其逆定理（讲义）（解析版）

专题11勾股定理及其逆定理核心知识点精讲

恒^复靠记

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；

2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；

3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题；

4.加强知识间的内在联系，用方程思想解决几何问题.以体现代数与几何之间的内在联系.

【知识网络】

考点一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边。、的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2^c2）

【要点诠释】勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角

边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，

弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于

斜边的平方.

2.勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法.

用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.

3.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是:_____

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边，在AABC中，NC=90。，贝。。=，片+^,b=y/c2-a2,

a=yjc2-b1；

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

③可运用勾股定理解决一些实际问题.

考点二、勾股定理的逆定理

1.原命题与逆命题

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其

中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

2.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长。、b、c,满足后+从=。2,那么这个三角形是直角三角形.

［要点诠释］

①勾篇定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定

三角形的可能形状；

②定理中a,b,c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a,b,c满

足"+c2=b2,那么以“，b,c为三边的三角形是直角三角形，但是6为斜边；

③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形

是直角三角形.

3.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即£+无=°2中，a,b,c为正整数时，称a,

b,c为一组勾股数；

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等；

③用含字母的代数式表示〃组勾股数：

n2—1,2n,H2+1（n>2,〃为正整数）；

2n+1,2n2+2n,2n2+2H+1（〃为正整数）

m2-M2,2mn,m1+n2（m>n,m,〃为正整数）.

考点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

典例引领

【题型1:勾股定理在图形翻折中的应用】

【典例1】如图，将长方形纸片A3CD折叠，使边OC落在对角线AC上，折痕为CE,且。点落在对角线

上处，若AB=6,AD=8,则EO的长为（）

43

A.—B.3C.1D.—【答案】B

【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，熟练掌握运用勾股定理解决长方形的折叠是解题的关键.首先

利用勾股定理计算出AC的长，再根据折叠可得.DEC段,DEC,设ED=x,贝U

DE=x,AD=AC—Ciy=4,AE=8—x,再根据勾股定理可得方程4?+炉=（8-xj,再解方程即可.

【详解】:AB=6,AD=8,

DC=6,

根据勾股定理得AC=用+82=10，

根据折叠可得：DEC-DEC,

DC=DC=6,DE=DE,

T^ED=X,贝=AD=AC-Ciy=4,AE=8-x,

在RtAEZ7中：（AO）2+（EE＞）2=AE2,BP42+x2=（8-x）2,

解得：x-3,

故答案为：B.

即时检测

1.如图，ABC中，ZACB=90°,AC=12,BC=10,将VADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的

长为（）

A.—B.—C.3.5D.4

46

【答案】B

【分析】此题考查了勾股定理与折叠问题，设CE=x,贝l]AE=12-x,根据折叠得到gE=AE=12-x,由勾

股定理列得8c2+CE?=跖2,代入数据得到方程求出尤的值即可.

【详解】解:设CE=X,则AE=12-x,

由折叠得BE=AE=12-x,

ZACB=90°,

BC-+CE1=BE1,

：.102+X2=（12-X）\

解得x=?，

6

故选：B.

2.如图，将长方形ABC。沿对角线5。对折，使点C落在点C处，BC交AD于E,AD=16,AB=8,则

重叠部分（即△BDE1）的面积为（）

A.24B.30C.40D.80

【答案】C

【分析】本题考查的是勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边性质，由折叠结合矩形的性质先

证明应三刀后，谡BE=DE=x,则AE=16-x,再利用勾股定理求解x,从而可得5DE的面积.掌握以

上知识是解题的关键.

【详解】解：长方形ABC。，AD=\6,AB=8,

:.AD//BC

:.ZADB=NCBD

由对折可得：/CBD=NC'BD

:.ZADB=ZC'BD

:.BE=DE

设BE=DE=x,贝l]AE=16r,

ZA=90°

BE2=AB2+AE2

,-.x2=82+（16-A：）2

.,.x=10

..DE=BE=10

:.S=-DE-AJB=-X10X8=40.

BDE22

故选：C.

3.如图，将长方形纸片45co的边沿折痕AE折叠，使点。落在BC上的点尸处，若AB=5,AD=13,则所

的长为（）

【答案】B

【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，长方形的性质，先由长方形的性质得到

BC=AD=13,ZB=ZC=90°,CD=AB=5,再由折叠的性质得到AF=AD=13,EF=DE,利用勾股定

理求出班'=12,则CF=1,设EF=DE=x,则CE=CD-£>E=5-x,利用勾股定理建立方程

无2=仔+（5-X）、解方程即可得到答案.

【详解】解：由长方形的性质可得BC=AD=13,ZB=ZC=90°,CD=AB=5,

由折叠的性质可得AF=AD=13,EF=DE,

在RtAB/7中，由勾股定理得3尸=办尸-不加=]2,

CF=BC-BF=\,

设EF=DE=x,则CE=CD-£>E=5-x,

在RtACEF中,由勾股定理得EF-=CE2+CF2,

x2=仔+(5—尤

13

解得无=1,

故选B.

4.如图长方形ABCD中，BC=5,AB=3,点E为边CD上一点，将3CE沿匹翻折后，点C恰好落在边AD

上的点尸处，则CE=()

45

A.2B.-C.-D.1

33

【答案】C

【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理，设CE=x,则OE=3-x,由折叠性质可知，EF=CE=x,

BF=BC=5,求出AF=4,FD=AB-AF=1,在RtABE尸中，DE2+DF2=EF2，即（3-尤>+F=Y,

即可求解.

【详解】解：设CE=x,则DE=3—x,

由折叠性质可知，EF=CE=x,BF=BC=5,

在RtA3/中，AB=3,BF=5,

AF=y/BF2-AB2=4，

DF^AD-AF=1,

在RtABEF中,DE2+DF2=EF2，

即（3—x）2+12=x2,

解得x=g.

故选：c.

庾例引领

【题型2：勾股定理及其逆定理在求图形面积中的应用】

【典例2】有一个面积为1的正方形，经过一次"生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个

正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长"后，变成了如图，如果继续"生长"下去，它将变得“枝

繁叶茂"，请你算出"生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）

A.22023B.22024C.2023D.2024【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股定理在几何图形中的应用，根据勾股定理和正方形的面积公式，知"生长"1次

后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形

的面积和是2x1=2；"生长"2次后，所有的正方形的面积和是3x1=3,推而广之即可求出"生长”2023次后

形成图形中所有正方形的面积之和.能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面

积之间的关系是解本题的关键.

【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1,

由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1

二"生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，"生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

二"生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

二"生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024,

故选：D.

即时检过

1.如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）

12

A.169B.144C.30D.25

【答案】D

【分析】本题主要考查了勾股定理，在RtaABC由勾股定理得到AB?=25,由题意得，=则Er=25,

在RtAEFP中,根据勾股定理得出：EF2=EP2+PF2=25,贝!J阴影部分面积=2产+尸^=石尸=25.

【详解】解：如图所示：

Q

由题意得，AB=EF,

EF2=25,

在RtAEFP中，根据勾股定理得出：EF-=EP2+PF2=25,

阴影部分面积=PF2+PE2=EF2=25.

故选：D.

2.如图、在Rt^ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为豆，邑，S3.若

H+邑-S3=18.则图中阴影部分的面积为（）

-22

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出邑-邑=z是解题的关键.由勾股定理得出

S—,再根据4+S2-M=18可得出"的值，即可求解.

【详解】解：由勾股定理得：BC2-AC2=AB2,

即$2-53=，，

Sl+S2-S3=18,

...S1=9,

由图形可知，阴影部分的面积为gd，

9

，阴影部分的面积为

故选：B.

3.李伯伯家有一块四边形田地A3CD,其中NA=90。，AB=9m,BC=36m,CD=39m,AD=Um,则

这块地的面积为（）

A.196m2B.225m2C.324m2D.256m2

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接30,运用勾股定理逆定理可证△D8C为直角三

角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和.

【详解】解：连接3。，则在Rt4）3中，

BD1=AB2+AD2=122+92=225,

:.BD=\5,

在△£>BC中，CD2=1521,DB2+BC2=152+362=1521,

DC2=BD2+BC2,

/DBC=90°,

:.S+S（平方米），

nADRLnJ=-2AB-A£>+-B2£>-CB=-2xl2x9+-x2l5x36=54+270=324,

故答案为：c.

4.如图，四边形ABCD中，E为AB中点，DEJ.AB于点E,AB=8,DE=&BC=2,CD=5,则四边

形ABC。的面积为（）

AEB

A.02IB.475+5C.4逐+伤D.无法求解

【答案】C

【分析】连接先求出80的长，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而利用三角形

的面积公式解答即可.

【详解】解：连接,

E为A3的中点，DE±AB,

是AB的垂直平分线，/DEB=90。，

AB=8,

.-.AE=BE=4,

DE=y/5,

\BD=《DE。+BE?=«耳+4?=亚,

BC=2,CD=5,

\BD'+BC2=(721)2+22=25=52=CD2,

.•.△BCD是直角三角形，NDBC=90°,

..・四边形ABCD的面积=5⑻+5的=3"?。石；BD?BC；仓$百+g仓山而=4非+叵,

故选：C.

【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△38是直角三角

形.

或例系领

【题型3：勾股定理及其逆定理的综合应用】

【典例3】暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走

8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，

则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km.

十埋宝藏点

/6

/【答案】10

/3

/I2

登陆点8图i-i-5

【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离.

考点：勾股定理

即时掇1L

1.两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放.将两个三角板抽象成如图②所示的△抽。和4

VADE,点8、C、D依次在同一条直线上，连接CE.若C£>=1,CE=3,则点A到直线BC的距离为.

图①图②

【答案】出

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，首先根据等

边三角形的性质得ZBAC=60。，AB^AC,ZDAE^6O°,AD=AE,进而可得出N54D=NC4E,据此可

依据"SAS"判定△AB。和3CE全等，从而得出8D=CE=3,进而得3C=2,然后过点A作AHJ_BC于

点H,在RtAHC中，利用勾股定理可求出的长.

【详解】解：ABC和VADE均为等边三角形，

ZBAC^60°,AB^AC,AD=AE,ZDAE=60°,

：.ZBAC=ZDAE,

：.NBAC+NCAD=NDAE+NCAD,

即：ZBAD=ZCAE,

在△回£)和上次虑中，

AB=AC

<ABAD=NCAE,

AD=AE

ABD^,ACE(SAS),

BD=CE,

BC+CD=CE,

-：CD=1,CE=3,

：.BC+}=3,

BC=2,

•••ABC是等边三角形，

BH=CH=—BC=—x2=1,AC=BC=2,

22

在RtAHC中，AC=2,

由勾股定理得：AH=y/AC2-CH2=A/22-I2=>/3.

二点A到直线BC的距离为用.

故答案为：73.

2.如图，已知NBAC=NZME=90。，ZABC=ZADE=30°,AC=DE=2g,将VADE绕点A逆时针旋转,

旋转角为a(0°<a<180°),当点。恰好落在ABC的边上时，的长为.

【答案】3或3g或3石

【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本

题的关键.先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出Rt^ABC斜边上的高A”的长，当点。落

在A5边上时，BD=AB-AD=3,当点。落在BC边上时，可得点。与点H重合，利用勾股定理求得8。的

长；当点。落在AC边上时，直接利用勾股定理求得2D的长，由此即得答案.

【详解】作斜边上的高AH,

ZBAC=9Q°,ZABC=30°,

BC=2AC=4A/3,

AB=VBC2-AC2=7(4A/3)2-(273)2=6，

„=①蛆=*=3

BC473

ZZME=90°,ZADE=3Q°,

:.AE=-DE=y/3,

2

AD=^DE2-AE2=J(2后-(拘2=3,

当点。落在AB边上时，如图1,BD=AB-AD=6-3=3；

当点。落在8c边上时，如图2,点。与点H重合，

BD=yjAB2-AD2=762-32=373；

当点D落在AC边上时，如图3,

BD=^AB2+AD2=762+32=3石；

综上所述，的长为3或3百或3石.

3.在Rt/XABC中，ZABC=90°,AB=15,BC=8.以BC为底在ABC内部作等腰△D8C,连接AD,

若BD=5,则AD的长为.

【答案】4厢

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理,等腰三角形的性质；过点D作DELBC,DF±AB,

垂足分别为E,F；由等腰三角形的性质及勾股定理求得OE的长，再证明BDE^DBF,可得防、。/的

长，再由勾股定理即可求得长.

【详解】解：如图，过点。作OELBC,DF±AB,垂足分别为E,F,

则/Z)FB="E3=90。；

△£>8C是等腰三角形，

BE=-BC=4-

2

由勾股定理得DE=^BEr-BEr=，25-16=3；

DFAB,ZABC=90°,

DF//BE,

■■ZFDB=ZDBE；

NDFB=NDEB=90。,BD=DB,

BDE^DBF(AAS),

：.BF=DE=3、DF=BE=A,

AF=AB-BF=15-3=12,

由勾股定理得AD=ylAF2+DF2=V144+16=4而•

故答案为：4^10.

4.如图，在.ABC中，ZABC=3O°,A8=AC=2石，点。是边BC上的点，将.ACD沿AD折叠得到△AED,

点E是点C的对称点.若NCDE为120。，则8的长是.

【答案】2或4/4或2

【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理.先求得3c=6,

分两种情况讨论，利用等腰三角形的判定和性质以及含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：作AGJ_BC于点G,

AB=AC=2y/3,ZABC=30°,

AG=-AB=A/3,

2

22

•1•CG=BG^^IAB+AG=3<

BC=2BG=6,

当点E在直线BC的下方时，如图,

A

E

由折叠的性质得/ADC=/ADE,

•••ZCDE=120°,

：.ZADC=ZADE=120°,

：.ZAB6=60°,

ZBAD^90°,/ZMC=NC=30°,

:.AD=CD,BD=2AD,

：.CD=-BD=-BC=2；

23

综上，CO的长是2或4.

故答案为：2或4.

好嬴

a础过姜

1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-5,0）,点B的坐标是（0,12）,点M是上一点，将二ABM

沿A"折叠，点B恰好落在x轴上的点9处，则点M的坐标为（）

【答案】B

【分析】此题重点考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质等知识，求得O*=8并且推导出

BM=BM=12-OM是解题的关键.

由勾股定理得AB=&M2+O32=13,由折叠得AB，=AB=13,BM=BM=12-OM,贝!|。8'=AB—Q4=8,

由OM2+O髭2=?加2,得OM2+82=（12-OMY,求得0M=5,则于是得到问题的答案.

【详解】解：4-5,0）,B（0,12）,ZAOB=ZMOB'=90°,

:.OA=5,08=12,

AB=yjOAr+OB2=752+122=13，

由折叠得AB'=AB=13,B'M=BM=12-OM,

:.OB'=AB'-OA=13-5=8,

OM2+OB'2=B'M2,

.-.OM2+82=（12-OM）2,

解得aw=T，

M吟），

故选：B.

2.如图，在RtABC中，AB=4,点M是斜边BC的中点，以为边作正方形AMEF,S正方形.广=16,

则$ABC=（）

A

A.4A/3B.8如C.12D.16

【答案】B

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的面积计算公式，直角三角形面积

的计算公式，勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

先根据正方形AWEF的面积求出AM的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出BC的长,

最后根据勾股定理求出AC的长，然后即可求出直角三角形ABC的面积.

【详解】•••四边形4期是正方形，

又「S正方形/WEF=16,

:.AM2=16,

:.AM=4,

在及ABC中，点M是斜边BC的中点，

:.AM=-BC,

2

即BC=2AM=8,

在心ABC中，AB=4,

22

AC=A/BC2-AB2=>/8-4=473,

$VABC=]".AC=—x4X4A/3=8/,

故选：B.

3.如图，在RtABC中，ZA=90°,AB=3,BC=5f用圆规在上分别截取BD,BE,使BD=BE,

分别以为圆心，大于[OE长为半径画弧，两弧在/A5c内交于点尸，连接班■并延长交AC于点G,

2

则BCG的面积是（）

159

A.—B.6C.—D.-

244

【答案】C

【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到BG平分/ABC,

过G作GH,8c于H,根据角平分线的性质得到AG=GH,进而证明RtABG丝RtHBG（HL）得到

BH=AB=3,则S=2,然后根据勾股定理求得GH=弓即可求解.

【详解】解：,•.在RtASC中，44=90。,48=3,3。=5,

AC=^BC1-AB1=752-32=4>

由作图过程得BG平分/ABC,过G作G"_LBC于H,

AG=GH,又BG=BG,

RtABG^RtHBG(HL),

BH=AB=3,

：.CH=BC—BH=2,

在RtCHG中，由勾股定理得22+G/f2=CG2=(4-Ga)2,

解得G4=g,

3CG的面积是1创5-=—,

2224

故选：C.

4.如图，在।ABC中，ZACB=90°,ZA=22.5°,CDL4B于点D,点E为A3的中点，连接CE,若CO=#,

A.2君B.8C.4A/3D.3娓

【答案】C

【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角，根据直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE=AE=BE=3AB,由等边对等角得出ZACE=ZA=22.5°,

从而得出NCEE>=NACE+NA=45。，进而aCDE是等腰直角三角形，由勾股定理得出CE=，即可得出

答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：，在ABC中，/4CB=90。，点£为45的中点，

:.CE=AE=BE=-AB,

2

ZA=22.5°,

:.ZACE=ZA=22.5°,

:.ZCED=ZACE+ZA=45°,

CDLAB,

：.CDE是等腰直角三角形，

CD=DE=^6,

:.CE=y/CD2+DE2=2A/3，

AB=2CE=4g,

故选：C.

能力想升

1.如图，MC和.ECO都是等腰直角三角形，ABC的顶点A在'ECD的斜边OE上.下列结论：其中

正确的有（）

@AACE^A5CD；②NDAB=ZACE；（3）AE+AC=CD,@AE2+AD2^2AC2

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由ABC和-ECD都是等腰直角三角形，可证NEG4=NDCB,根据SAS得证△ACE丝ABCD①

正确；由全等得?=ZEAC=NDBC,ZBDC=ZE=45°,于是NAZ)3=90。，可证/ACO=/ABD,

从而//MB=/ACE.故②正确；及△"£>中，AB?=4£>2+3。2,于是A^+A^=2AC?；④正确；由ABC

的顶点A在ECD的斜边OE上，得AE+ACWCE,从而AE+ACNCD,故③错误.

【详解】解；ABC和ECD都是等腰直角三角形，

ZE=ZEDC=ZCAB=ZCBA=45°,

CE=CD,CA=CB.

：.ZECA=ZDCB.

：.△ACE丝△BCD.①正确；

AE=DB,ZEAC=ZDBC,NBDC=NE=45。.

/.ZADB=ZEDC+ZBDC=90°；

•「ZEAC=ZACD+ZADC,ZDBC=ZABC+ZABD,

ZACD=ZABD.

•/ZABD+ABAD=90°,ZACE+ZACD=90°,

/.ZDAB=ZACE.故②正确；

中，AB2=AD2+BD2

而AB2=AC2+BC2=2AC\AE=BD

AE2+AD2=2AC2;④正确；

:ABC的顶点/在的斜边OE上，

.,.AE+AC2CE,

而CE=CD

AE+AC>CD,故③错误.

故选：C

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短；由

全等三角形得到线段相等，角相等是解题的关键.

2.如图，在四边形ABDE中，AB//DE,点C是边8D上一点，BC=DE=a,CD=AB=b,

1211

AC=CE=c.下列结论：①ABC^CDE；②ZACE=90。；③^^+匕）--5才=2xyb；④该图可

以验证勾股定理.其中正确的结论个数是（）

【答案】A

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明ZiABC/△CQE（SAS）,由全等

三角形的性质可得出/BAC=/OCE,ZACB=ZE.再由图形的面积逐项分析判断即可求解.

【详解】解：AB//DE,ABYBD,

:.DE±BD,

:.ZB=ZD=90°.

在.ABC和CDE■中,

AB=CD

ZB=ZD=90°,

BC=DE

AABC^ACr)E(SAS),

:.NBAC=NDCE,ZACB=ZE.

/BAC+ZACB=9伊,

ZDCE+ZACB=90°.

ZDCE+ZACB+ZACE=180°,

ZACE=90。，

故①②正确；

梯形ABE史的面积-直角三角形ACE的面积=两个直角三角形的面积，

—(a+b)2——c2=2x—ab

222f

222

a+b-c>(0+6)2=/,

故③④正确

故选：A.

3.如图，在四边形ABC。中，AB=2.,BC=2,CD=4,DA=2娓,且NABC=90。，则四边形ABC。的面

A.4B.1+2&C.2+40D.1+72

【答案】C

【分析】连接AC,在RtABC中得到AC的值，然后再根据：DC2+AC2=AD2,可得是直角三角

形，最后求得RtACD和RtA3c的面积和就是所求四边形的面积.

【详解】解：连接AC,

D

,/ZABC=90°,AB=2,BC=2,

在RtABC中，AC2=AB2+BC2,

AC2=8,AC=2V2,

文:CD=4,DA=2巫,

DC2=16,AD2=24.

在，ACD中有：DC"+AC1=16+8=24=AD2,

ACD是直角三角形，ZDC4=90°,

四边形ABC。的面积

=S+S=-DC-AC+-AB-BC=-X4X2A/2+-X2X2=2+4^,

.Arn/AtoReC2222

故选：c.

【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，通过作辅助线可将一般的四边形转化为两个直角三角

形，使面积的求解过程变得简单.

4.如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,ABIBC,则阴影部分

【答案】A

【分析】连接AC,先根据勾股定理求出AC的长，再由勾股定理的逆定理判断出ACD是直角三角形，进

而可得出结论.

【详解】解：如图，连接AC.

A

在ABC中，ABIBC,即？390?,AB=3,BC=4,

AC=\lAB2+BC2=5.

CD=12,AD=13,AC=5,

AC2+CD2=AD2,

ACD是直角三角形，

S阴影=—S/^ABC=—x5xl2--x3x4=30-6=24.

故选：A.

【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出A8是直

角三角形是解答此题的关键.

5.如图，Rt^ABC中，/ACB=90。，分别以AC,BC,AB为边作等腰直角三角形，

NZMC=N3£C=NA"=90。，若,BCE的面积是3,ACD的面积是4,则的面积是（）

【答案】B

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理.根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式

分别求得3。2=2③2=12,AC2=8,再根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：；8CE是等腰直角三角形，

BC2=2CE2,

'''BCE的面积是3,

11,

S=-CEXBE=-CE2=3,

BRCCEF22

BC2=2CE2=12,

ACD的面积是4,

AC?=8,

5^=^52=|（^2+5^）=|（8+12）=10,

故选:B.

6.如图，在Rt^ABC中，/ACB=90。，ZA=60°,AC=6,将.ASC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'3'C,

此时点A恰好在AB边上，则点&与点B之间的距离为（）

C.6夜D.673

【答案】D

【分析】连接班'，根据已知条件以及旋转的性质可得6=6',进而可得，ACA是等边三角形，可得旋转

角为60。，即可得V3CB'是等边三角形，即可求解.

【详解】解：如图，连接班'，

将ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'3'C,此时点A恰好在AB边上,

CA=CA,CB=CB',

又NA=60。，

.,.一AC4'是等边三角形，

•••旋转角ZB'CB=//VC4=60。，

CB=CB',

・•.VBC8'是等边三角形，

BB'=BC,

在Rt^ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=6,

.-.ZABC=30°,

:.AB=2AC=12,

BC=\lAB2-AC2=7122-62=6y/3，

•••点8'与点B之间的距离为BB'=BC=6y[3,

故选：D.

【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，

找到旋转角是解题的关键.

7.如图，在RtAABC中，AB=AC,D,E是斜边8C上两点，且NZME=45。，将△ADC绕点A顺时针

旋转90。后，得到连接EF,下列结论：

①

②ABE^ACD；

（3）BE+DC=DE；

@BE2+DC2=DE~.

其中正确的是（）

A.②④B.①④C.②③D.①③

【答案】B

【分析】利用SAS证明可判断①；由物与CD不一定相等，可判断②；由DE=EF,

在△BEF中,BE+BF>EF,可判断③；利用勾股定理判断④.

【详解】解：在Rt^ABC中，AB=AC,

：.ABAC=900°,ZABC=ZC=45°,

ZDAE=45°,

ZBAE+ZDAC^45°,

,将AADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△相»,

△AFB丝△ADC,

NBAF=NCAD,AF=AD,BF=CD,ZABF=ZACD=45°,

：.ZEAF=ZBAF+ZBAE=ZCAD+ZBAE=45°,

•.ZEAF=ZEAD,ZEBF=ZABF+ZABD=45°+45°=90°,

在△AED与△?!£下中,

AD=AF

<ZEAD=ZDAF,

AE=AE

AED^AEF(SAS),故结论①正确；

DE=FE，

在A/?/犷中,BE+BF>EF,

..BE+CD>DE,故结论③错误；

在，ABE与ACD中，

AB^AC,ZABC=NC=45°,

但BE与CD不一定相等，

:._ABE与ACD不一定全等，故结论②错误；

•••/EBF=90。,

在RtABEF中，BE1+BF2=EF2，

BE2+DC2DE2,故结论④正确，

,正确的结论是①④.

故选：B.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾

股定理等知识，证明是解题的关键.

8.如图，AD所在的直线是ABC的对称轴，AC=5cm,CD=3cm,AD=4cm,贝。ABC的面积为cm.

【答案】12

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，对称的性质，如果三角形的两边的平方的和等第三边的平方，那

么这个三角形是直角三角形.

【详解】解：AC2=CD2+AE>2,

ADC是直角三角形，

S=-CD-AD=—x4x3=6,

/A-A/ILZC22

AO是ABC的对称轴，

SADC=S=6,

故答案为：12.

9.如图，ABC中，AC=5,CB=12,AB=13,CO是A3边上的中线，CD=.

【答案】6.5

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质的综合应用，先根据勾股定理的逆定理判定

ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论，先判定.ABC为直角三角形是解题的关键.

【详解】解：AC=5,BC=12,AB=13,

AC2+BC-=5?+12?=169,

又AB2=169，

AC"+BC"=AB1,

..ABC是以NACB为直角的直角三角形，

•••CD是AB边上的中线，

CD=-AB^6.5.

故答案为：6.5.

10.如图，在等边AfiC中取点尸使得上4,PB,PC的长分别为3,4,5,则必APC+SfPB~•

【答案】6+手

【分析】把线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60。得到线段AD,由旋转的性质、等边三角形的性质以

及全等三角形的判定定理SAS证得AADB2△APC,连接PD,根据旋转的性质知AAPD是等边三角形，利用

勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，NBPD=90°,由△AO8V△APCSAADB=SAAPC,则有S"PC

+S4APB=5"DB+$4APB=S"DP+5/BPD,根据等边三角形的面积为边长平方的3倍和直角三角形的面积

2

公式即可得到SAADP+SABPD=^X3+|X3X4=6+—.

【详解】将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60。得到线段/W,连接PD

AD=AP,ZDAP=60°,

文:△ABC为等边三角形，

ZBZ\C=60°,AB=AC,

zDAB+ABAP=NPAC+ABAP,

ZDAB=NPAC,

XAB=AC,AD=AP

△ADBV△APC

•••DA^PA,NDAP=60°,

△ADP为等边三角形，

在APBO中，PB=4,PD=3,BD=PC=5,

•；32+42=52,即PD2+PB2=BU,

：.△P8D为直角三角形，ZBPD=90°,

,/△ADB^：△APC,

/.S"DB=S"PC,

m1

SAPC+SAAPB=SAADB+SAAPB=SAADP+SBPD=X32+-x3x4=6+^-.

AA424

故答案为：6+.

4

【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解.

11.如图，RtZkABC中，ZC=90°,AB=5,AC=4,分别以RtZkABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为.

【答案】6

【分析】先利用勾股定理列式求出BC,再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上

直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解.

【详解】解：；在RtAABC中,ZACB=90°,

■,AC2+BC2=AB2,

AB=5,AC=4,

BC=7AB2-AC2=A/52-42=3>

S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+SAABC一直径为AB的半圆的面积

1（AC?1fBC\

一万111可}+2Jl{T）

1919191

=-n（AC）+-Ji（BC）——兀（AB）+—ACxBC

8882

=1JI（AC2+BC2-AB2）+1ACXBC

=-ACxBC

2

=—x3x4

2

=6.

【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键.

12.如图，高速公路上有A,B两点相距10km,C,。为两村庄，已知/M=4km,CB=6km.于

A,8,45于8,现要在A3上建一个服务站E,使得C,。两村庄到E站的距离相等，则胡的长是.

【答案】6km

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据于4CBLAB于B,DE=CE,列式

AD2+AE1=DE1=BE2+BC2=CE2,解出AE的值，即可作答.

【详解】解：由题意知，AB-10km,ZM=4km,CB-6km,

设AE=xkm,则BE=（1。一x）km,

因为D4_LAB于4于B,DE=CE

所以在Rt^ADE与RtBCE中,

由勾股定理得，AD2+AE2=DE2=BE2+BC2=CE2,

4?+尤2=（10-尤）2+62,

解得x=6,

AE=6km,

故答案为：6km.

直睡的

1.（2023・四川泸州•统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数。，b,

c的计算公式：（祖2-1/），b=mn,c=；（/+”2）,其中m，，是互质的奇数.下列四组

勾股数中，不熊由该勾股数计算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

【答案】C

【分析】首先证明出6+加=02,得到公。是直角三角形的直角边然后由小>〃>0,m，〃是互质的奇数

逐项求解即可.

[详解]:a=1(m2-n2

,b=mn,c^-m2+n2

2

a2+b2=—(m2—n2]+(mn)2=—(m2—n2]+m2n2=—m4+—m2n2+—H4.

2、74V)424

1/72\1/72、21412214

—m+n=—\m+n=—m+—mn+—n,

2、74V7424

•*-a2-\-b2=c2•

二.a,匕是直角三角形的直角边,

m,〃是互质的奇数，

A.3=1x3,

/.当机=3,〃=1时，a=-(m2-n2]=4,b=mn=3,

・•.3,4,5能由该勾股数计算公式直接得出;

B.5=1x5,

221/22

「•当加=5,几=1时，a=—m—n=12,b=rm=5,c=—\m+〃=13,

22V

,5,12,13能由该勾股数计算公式直接得出;

C.6=2x