2025高考数学大一轮复习讲义-复数

§5.5复数

【课标要求】1.通过方程的解，认识复数2理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义3掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

■落实主干知识

【知识梳理】

1,复数的有关概念

(1)复数的定义：形如。+历(a,bdR)的数叫做复数，其中________是复数z的实部

是复数z的虚部，i为虚数单位.

⑵复数的分类：

复数z=a+bi(a£R)

'实数S0),

<

、虚数(b0)(当a。时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+bi=c+di=(〃，人，c,d£R).

(4)共柜复数:

a+历与c+di互为共辗复数o(。,b,c,d£R).

⑸复数的模：

向量宓的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作________或________,即|z|=|a+bi\=

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+6i(a,b^R)'"复平面内的点Z(a,b).

一—对应,

⑵复数z=a+6i(a,bGR)'"平面向量应.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=〃+bi,Z2=c+di(a,Z?,c,R),贝！］

①加法:zi+Z2=3+bi)+(c+di)-

②减，去：Z1-Z2=(。+bi)-(c+di)=

③乘法:z「Z2=(〃+/?i)-(c+di)=；

a+bi(〃+Z?i)(c-di)

④除法：1=________________(c+diWO).

c+di(c+di)(c-di)

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZiZZ?可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即应=

,ZiZ2-.

【常用结论】

1+i1-i

1.(1土i>=±2i；---=i；----=-i.

1-i1+i

4,i

2.i=1,i4"+1=i,i4"+2=-1,i%+3=-i(neN*).

3.i4n+i4,!+1+i4"+*12+i4"+3=0(/1eN*).

4.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|W6表示以原点。为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z-(a+历)|=厂(厂>0)表示以(a,6)为圆心,广为半径的圆.

【自主诊断】

1,判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)复数z=0没有共机复数.()

(2)复数可以比较大小.()

(3)已知z=a+历(a,Z?eR),当a=0时，复数z为纯虚数.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模・()

2.（必修第二册P95Tl（3）改编）已知复数z=i3（l+i）,贝［|z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.（2023・合肥模拟）已知i是虚数单位，若11+翻=5,则实数a等于（）

A.2B.2mC.-2D.±2^6

4.已知复数z满足z（l-i）=i（i为虚数单位）,则z的虚部为.

■探究核心题型

题型一复数的概念

例1⑴（多选）（2023银川模拟）若复数z满足z（l-2i）=10,则（）

A.z=2-4i

B.z-2是纯虚数

C.复数z在复平面内对应的点在第三象限

D.若角a的始边为x轴非负半轴，复数z对应的点在角a的终边上，则sina=当

（2）（2024.杭州模拟）若复数z满足z（l+i）=-2+i（i是虚数单位）,贝此|等于（）

A.丹B.JC.|D坐

⑶（多选X2023・永州模拟）若关于x的方程/+工十加=0（m£R）有两个不同复数根为和必，其

中为=-3+监（i是虚数单位）；则下面四个选项正确的有（）

A.m=1B.xi>X2C.xl-1D.始=X2

跟踪训练1（1）（多选）下面是关于复数Z=-1-i（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A.|z|=2

B.z2=2i

C.z的共期复数为1+i

D.z的虚部为-1

2+i

⑵（2023.淄博模拟）若复数z=——的实部与虚部相等，则实数a的值为（）

a+1

A.-3B.-1C.1D.3

⑶（2023・怀化模拟）若复数z是炉+苫+1=0的根，贝亚|等于（）

ASB.1C.2D.3

题型二复数的四则运算

1-i_

例2⑴（2023・新鬲考全国I）已知z=，则z-z等于（）

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

（2）（多选）（2023•忻州模拟）下列关于非零复数zi,z2的结论正确的是（）

AZ1,Z2

.若互为共犯复数，则ZI.Z2ER

B.若Z1N2GR，则zi,Z2互为共舸复数

C.若Zl,Z2互为共拆复数，目Z2#0，则言=1

D.若3=1,则Z1,Z2互为共辗复数

跟踪训练2⑴（2022・新高考全国II）（2+2i）-（l-2i）等于（）

A.-2+4iB.-2-4i

C.6+21D.6-2i

⑵（2023.济宁模拟）已知复数z满足z-i3=l-2i,则，的虚部为（）

A.1B.-1C.2D.-2

题型三复数的几何意义

例3⑴（2023•渭南模拟）棣莫弗公式（cosx+isinx）n=cosnx+isinnx（\为虚数单位）是由法国数

学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，若复数z满足z（cosW+i-sin|）6=|i

+i|,则复数z对应的点Z落在复平面内的（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

（2）（2023•邢台模拟）已知i是虚数单位,复数z=a+bi（a“£R）,且|z-i|=|z+2-i|,则|z-3

的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

跟踪训练3⑴在复平面内,0为坐标原点，复数zi=i(-4+3i),Z2=7+i对应的点分别为Zi,

Z2,则/Z1OZ2的大小为()

,兀一2兀一3兀-5兀

A-3B-TC-TD-6

(2)(2023•太原模拟)已知复数z满足|z-2|=1,则|z-i的最小值为()

A.1B.y[5-1C.由+1D

§5.5复数答案

落实主干知识

知识梳理

1.(l)tzb(2)=/=

(3)a-cS.b-d(4)a-c,b--d

(5)|z|\a+b\\yla2+b2

ac+bdbe-ad

3.(1)①(a+c)+(b+(2)(a-c)+(b-d)i®(ac-bd)+(ad+bc)i@~z7+—ri(2)

~"c2+cPc2+d2

自主诊断

1.⑴x(2)x(3)x(4)V

2.D3.D4.；

探究核心题型

例1(l)AB

(2)A(3)ACD

跟踪训练1(1)BD(2)A(3)B

例2⑴A(2)AC

跟踪训练2(1)D(2)B

例3(1)C[z(cosW+i-sinm>=|l+i|,

根据棣莫弗公式可知,

(3兀.3兀)

z-lcos1■十rsm丁I

=z(-当+坐)=巾，

即z-(—l+i)=2,

29(—1—i)

则z=_]+j=(—]+i)(——0=T—。复数z对应的点Z(--1,—1)落在复平面内的第三象

限.]

(2)B[因为z=〃+Z?i3，6£R),

则z-i=a+(b-l)i,z+2-i=(a+2)+(b~l)i,