湖南长沙某中学2024-2025学年九年级上学期入学考试数学试题（含答案）

湖南长沙长郡外国语学校2024-2025学年九年级上学期入

学考试数学试题含答案

长郡外国语实验中学初三作业检查练习

一、选择题（共io小题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中

填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.化简厮的结果是（）

A.10B.2屈C.475D.20

2.二次函数y=（x—I?+3图象的顶点坐标是（）

A.(1,3)B.(1,—3)C.(—1,3)D.(-1,-3)

3,下列各组数中，以a,b,c为边的三角形不是直角三角形的是（）

A.〃=1.5,b—2,c=3B.。=7,8=24,c=25

C.Q=6,b=8,c=lQD.〃=3,b=4,c=5

4.一次函数＞=-3尤+5的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.要使式子万金有意义，则X的取值范围是（）.

A.x>0B.x>—2C.x>2D.x<2

6.如图，为测量位于一水塘旁的两点A3间的距离，在地面上确定点0,分别取的中点C。，量

得CD=20m,则A3之间的距离是（）

A.5mB.10mC.20mD.40m

7.一组数据:5、4、3、4、6、8,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.4.5,4B.3.5,4C.4,4D.5,4

8.如图，在平面直角坐标系中、四边形043。为菱形，。为原点，A点坐标为(8,0),ZAOC=60°,

则对角线交点E的坐标为（）

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A.(4,273)B.(254)C.(2石，6)D.(6,2用

9.如图，一次函数为=戈+6与一次函数%=Ax+4的图象交于点P（l,3）,则关于x的不等式

%+。>履+4的解集是（）

A,x>3B.x<3C.x>1D.x<1

10.如图，△ABC为等边三角形，点尸从点A出发沿A-5fC路径匀速运动到点C,到达点C时停

止运动，过点尸作PQLAC于点。.若△4PQ的面积为y,AQ的长为X,则下列能反映y与X之间

的大致图象是（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11-若x=夜-1，则X?+2x+1=.

12.如图，在平行四边形A3CD中，A3=4cm,A£>=7cm,NA3C的平分线交AD于点E,交CD的

延长线于点F,则DF=cm.

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13.二次函数y=2%2-4x+5,当-3Sxa时，y的最大值是,最小值是.

14.如图，抛物线、=以2与直线y=6x+c的两个交点坐标分别为4(-3,9),3(1,1),则关于x的方程

15.设a,6是方程龙2+x—2024=0的两个实数根，则/+2a+6的值为.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线丁=。/上，过点A作〉轴的垂线，交抛物线于另一

点、B,点、C、£＞在线段A3上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、尸两点.当四边形CDFE为正

方形时，线段C。的长为.

三.解答题(本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分,

第23、24题每小题10分，共72分。解时写出必要的文字说明、证明过程或演算过程)

17.解方程：

(1)(x-l)2-l=0

⑵2X2+3X+1=0

18.近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务

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质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A为非常满意、2为比较满意、C

为一般、。为不太满意.并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题：

“课后服务满意度调查”条形统计图“课后服务满意度调查”扇形统计图

(1)参与这次调查的学生家长共计_____人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是

(2)将图中的统计图补充完整.

(3)若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？

19.如图，在平行四边形A3CD中，AC=BC,M、N分别是A5和C。的中点.

(1)求证：四边形AMCN是矩形；

(2)若NB=60°,BC=2,求平行四边形A5CD的面积.

20.已知关于x的一元二次方程x2++"/+加=0有实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为为、无2,且+君=12,求相的值.

21.已知抛物线丁=2必—3x+机(根为常数)与x轴交于A3两点，且线段A3的长为;.

(1)求机的值；

(2)若该抛物线的顶点为尸，求口432的面积.

22.某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不

变的基础上，3月份的销售量达到400个.

(1)求2、3这两个月销售量的月平均增长率；

(2)该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售

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量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元？

23.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的

点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”.

(1)函数y=3x-2是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”：

(2)已知二次函数y=a(x—左图象可以由二次函数y=-Y平移得到，二次函数y=a(x—/?)?+左

的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”P(3,m),求该二次函数的解析式：

(3)已知二次函数y=2(x—c7+Q(c,d为常数，cwO)图象的顶点为M,与V轴交于点N,经过

35

点”,N的直线/上存在无数个“朴实点”，当〃z—函数y=2(x—c)~9+Q有最小值E，求

m的值.

24.如图，AB//CD,三角形硒山的顶点E、顶点R分别在直线A3、直线CD上，点M在直线A5

与直线CD之间，ER平分NAEM.

(1)如图(1),已知平分NEED,ZBEM=40°,则NN=°；

(2)如图(2),已知点N为ME延长线上一点，且/BEM=NNEF=NN=20。,求NNb。的度数；

(3)在(2)间的条件下，将△HVE绕点R顺时针以每秒5°的速度旋转得到口网名'，当FN'落在射线

FD上时停止旋转，直接写出旋转过程中N'E'与AEFM的边平行时t的值.

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长郡外国语实验中学初三作业检查练习

一、选择题(共10小题，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中

填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分)

1.化简a的结果是()

A.10B.2710C.475D.20

【答案】B

【解析】

【详解】V40=74x10=2^/10.

2.二次函数y=(x—Ip+3图象的顶点坐标是()

A.(1,3)B.(1,-3)C.(-1,3)D.(-1,-3)

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标.

【详解】Vy=(x-l)2+3,

•••二次函数图象顶点坐标为：(1,3).

故答案为A.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x-h)2+k中,

对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).

3.下列各组数中，以mb,c为边的三角形不是直角三角形的是()

A.a=1.5,6=2,c=3B.a—1,6=24,c=25

C.a=6,b=8,c=10D.a=3,i>=4,c=5

【答案】A

【解析】

【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答.

【详解】解：A.•••1.52+22邦2,.♦.该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；

B.♦.•72+242=252,.•.该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；

C.•.•62+82=102,.•.该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；

D.♦.•32+42=52,.•.该三角形是直角三角形，故D选项不符合题意.

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故选：A.

【点睛】本题考查直角三角形的判定，掌握勾股定理是本题解题关键.

4.一次函数>=-3x+5的图象不经过的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】一次项系数-3<0,则图象经过二、四象限；常数项5>0,则图象还过第一象限.

【详解】解：.♦.图象经过二、四象限；

又.•.直线与y轴的交点在y轴的正半轴上，图象还过第一象限.

所以一次函数y=-3x+5的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选C.

［点睛】一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数及常数是大于0或是小于0.可借助草图分析解答.

5.要使式子万行有意义，则：v的取值范围是（）.

A.x>0B.x>-2C.x>2D.x<2

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件解答.

【详解】解：；要使收金有意义，

2—x>0,

：.x<2,

故选：D.

【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，熟记条件是解题的关键.

6.如图，为测量位于一水塘旁的两点A3间的距离，在地面上确定点0,分别取的中点C,。，量

得CD=20m,则A,B之间的距离是（）

A.5mB.10mC.20mD.40m

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【答案】D

【解析】

【分析】本题考查三角形中位线定理，根据三角形中位线定理解答即可，熟记三角形中位线等于第三边的一

半是解题的关键.

【详解】解：：C。分别是。4,03的中点，

CD是□A3。的中位线，

/.AB=2CD=2x20=40cm,

A3之间的距离是40cm,

故选：D.

7.一组数据:5、4、3、4、6、8,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.4.5,4B.3.5,4C.4,4D.5,4

【答案】A

【解析】

【分析】（1）把给出的此组数据中的数按从小到大（或从大到小）的顺序排列，由于数据个数是6,6是偶

数，所以处于中间两个数的平均数就是此组数据的中位数；

（2）在此组数据中出现次数最多的那个数就是此组数据的众数.

【详解】（1）按从小到大的顺序排列为：3,4,4,5,6,8,

所以这组数据的中位数是：（4+5）4-2=4.5；

（2）此组数据中出现次数最多的数是4,

所以4就是此组数据的众数.

故选A.

【点睛】此题主要考查了中位数与众数的意义与求解方法.

8.如图，在平面直角坐标系中、四边形0ABe为菱形，。为原点，A点坐标为（8,0）,ZAOC=60°,

则对角线交点E的坐标为（）

A.(4,2百)B.(254)C.(26，6)D.(6,273)

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【答案】D

【解析】

【分析】过点E作所lx轴于点R由直角三角形的性质求出所长和。厂长即可.

【详解】解：过点E作EFlx轴于点F,

:四边形。42c为菱形，ZAOC=60°,

1

：.^AOE=-AAOC=30°,OBLAC,N曲£=60°,

2

ZA£F=30°

VA(8,0),

.\AO=8j

11

AE=—A.O——x8=4,

22

29

•*»^F=—AE=2fEF=JAE?——之2_y/_2—yfi2=2y/3

：.OF=AO-AF=S-2=6,

.•.E(6,2百).

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30。直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

9.如图，一次函数为=x+）与一次函数为=近+4的图象交于点尸（1，3）,则关于x的不等式

x+Z?>fcc+4的解集是（）

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A.x>3B.x<3C.x>1D.x<1

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数必=x+6的图象在一次函数

%=依+4的图象上方所对应的自变量的范围即可.

【详解】解：根据图象得，当x>l时，%〉%,

即：关于x的不等式％+匕>丘+4的解集为x>1.

故选C.

10.如图，AABC为等边三角形，点尸从点A出发沿A-3fC路径匀速运动到点C,到达点C时停

止运动，过点尸作PQLAC于点。.若△4PQ的面积为y,AQ的长为X,则下列能反映y与X之间

【答案】D

【解析】

【分析】分两种情况讨论点尸从点A出发运动到点B之前；P点过了8点向C点运动.

【详解】解：:△ABC为等边三角形，「。，4。于点。,

设AQ=x,

则PQ=AQ-tan60。=6X，

点P从点A出发运动到点B之前,

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B

•••此时函数图像为顶点在原点，开口向上的抛物线,

排除A、B：

设△ABC的边长为相，则当x>一时，尸点过了8点向C点运动，如图所示,

2

则CQ=m-x,

:.PQ=CQ-tan60°=V3（m-x）,

•.•y=-ixxV3zn-x、=---G---x2+,——Vsmx>

2V'22

此时函数图像为开口向下的抛物线，

•••选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线，选项D为开口向下的抛物线，

/.D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查了动点轨迹的函数图像，正确表示出了和x之间的关系是解题关键.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11-若x=夜-1，则x?+2x+1=.

【答案】2

【解析】

【分析】将炉+2%+1进行配方，然后代入％=血—1计算即可.

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【详解】解：X2+2X+1=(X+1)2,

将x=0—1代入(x+l)2

得(0_]+1)2=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式，将f+2x+l进行配方变形是解题的关键.

12.如图，在平行四边形A3CD中，A3=4cm,AD=7cm,NA5C的平分线交AD于点E,交CD的

延长线于点F,则DF=cm.

【答案】3

【解析】

【分析】先证明CB=B,再结合平行四边形的性质，计算即可.

【详解】解：•••四边形A3CD是平行四边形，

BC=AD,AB//CF,AB=CD,

：.AABF=ABFC,

BF平分NABC,

：.NABF=ZCBF,

：.ZBFC=ZCBF,

CB=CF,

•：CF=CD+DF,

AD=AB+DF,

：.DF=7-4=3(cm),

故答案为：3.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.

13.二次函数y=2x2-4x+5,当-3W左4时，y的最大值是,最小值是.

【答案】①.35②.3

【解析】

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【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=2,然后根据二次函数的增减性解答即可.

b-4

【详解】解:：抛物线的对称轴为%=--=——-=1，

2a2x2

a=2>0,

，X<1时，y随X的增大而减小，X>1时，y随X的增大而增大，

...在-3Wx*内，x=l时,y有最小值，x=-3时y有最大值，分别是y=2-4+5=3和y=2x9-4x(-3)+5=35.

故答案为35,3.

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题

的关键.

14.如图，抛物线y=a£与直线y=6x+c的两个交点坐标分别为4(-3,9),则关于x的方程

【解析】

【分析】由关于龙的方程依2一法一°=0可化为冰2=法+0,根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接

求解方程的解.

【详解】解：•••抛物线丁=奴2与直线丁=以+。的两个交点坐标分别为4(-3,9),5(1,1),

联立二次函数及一次函数解析式可得"2=a+c,即底_打_0=0,

；・关于x的方程办2一版-c=0的解为石=-3,赴=1;

故答案为Xi=-3,X2=1.

【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键.

15.设。，6是方程V+x—2024=0的两个实数根，则/+2a+6的值为.

【答案】2023

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到/+a=2024，

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利用根与系数关系得到a+b=-l,则/+2。+6=("+。)+(。+4，再利用整体代入的方法计算即

可.熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键.

【详解】：。，6是方程必+%—2024=0的两个实数根，

a2+a—2024=：0>a+b=--=-1,

a~+a=2024，

,•a~+2a+b

=(a~+a)+(a+/?)

=2024-1

=2023

故答案为：2023.

16.如图，在平面直角坐标系中，点A(2,4)在抛物线y二。/上，过点A作〉轴的垂线，交抛物线于另一

点、B,点、C、£>在线段A3上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、尸两点.当四边形CDFE为正

方形时，线段C。的长为.

V

【答案】-2+26

【解析】

【分析】点42,4)代入抛物线中求出解析式为丁=%2,再设CD=2x,进而求得E点坐标为(x,4-2x),代入

丁=必中即可求解.

【详解】解：将点42,4)代入抛物线y=中，解得〃=1,

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.♦・抛物线解析式为y=f,

设CD、跖分别与y轴交于点M和点N,

当四边形CDEE为正方形时，设CD=2x,则CM=x=NE,NO=MO-MN=4-2x,

此时E点坐标为(x,4-2x),代入抛物线y=/中，

得到：4-2X=%2,

解得X]=-L+6,%=T一石(负值舍去)，

•*-CD=2x=-2+2y/5>

故答案为：—2+26.

【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数

的图像及性质是解决本题的关键.

三.解答题(本大题共8个小题，第17、18题每小题8分，第19、20、21、22题每小题9分，

第23、24题每小题10分，共72分。解时写出必要的文字说明、证明过程或演算过程)

17.解方程：

⑴(x-l)2-l=0

⑵2X2+3%+1=0

【答案】(1)玉=2,%=。

(2)X]=——,%2=-]

【解析】

【分析】本题考查的是解一元二次方程，能根据方程的特点选择适当的解方程的方法是关键.

(1)利用直接开方法求解即可；

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（2）利用因式分解法求解即可.

【小问1详解】

解：(x-if-1=0

(1)2=1

x-l=±l

玉=2,%=0;

【小问2详解】

解：2%2+3X+1=0

(2x+l)(x+l)=0

2x+l=0或x+l=0

18.近日遵义某中学为更好地落实“双减”政策，提高课后服务质量，对部分家长进行关于对学校课后服务

质量满意度的问卷调查，在此次调查中对问卷选项做了数据分析，其中A为非常满意、B为比较满意、C

为一般、。为不太满意.并绘制了如下的两幅不完整的统计图，请根据图中的相关信息解决下列问题：

“课后服务满意度调查”条形统计图“课后服务满意度调查”扇形统计图

（1）参与这次调查的学生家长共计人，扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是.

（2）将图中的统计图补充完整.

（3）若该校学生共有900名，请估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共多少人？

【答案】（1）60,54°

（2）见解析（3）估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人.

【解析】

【分析】（1）根据作2的人数与所占的百分数即可得到参加此次调查的总人数，用总人数减去其它人数,

求出C的人数，据此求得C所对应扇形的圆心角的度数；

（2）利用（1）的结论，从而补统计图；

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（3）用样本估计总体即可.

【小问1详解】

解:36+60%=60（人），即参与这次调查的学生家长共计60人，

C的人数60—10—36-5=9（人），

9

360°X—=54°,即扇形统计图中C所对应扇形的圆心角的度数是54°.

60

故答案为：60,54°；

【小问2详解】

【小问3详解】

解：900x10+36=690（人），

60

答：估计对课后服务比较满意和非常满意的家长共690人.

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，明确题意找出所求问题需要的条件是解

题的关键.

19.如图，在平行四边形A3CD中，AC=BC,M、N分别是A5和CD的中点.

（1）求证：四边形AMCN是矩形；

（2）若NB=60。，BC=2,求平行四边形A3CD的面积.

【答案】（1）见解析（2）2A/3

【解析】

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB〃CD,AB=CD,由已知条件得出AM=,

AM=CN,证出四边形AMCN是平行四边形，由等腰三角形的性质得出01〃，阳，即可得出四边形

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AMCN是矩形；

(2)根据/8=60°,BC=2,即可得到C般和的长，再根据等腰三角形的性质即可得到A3的

长，进而得出平行四边形A3CD的面积.

【小问1详解】

证明：•••四边形A3CD是平行四边形，

AB//CD,AB=CD,

'：M.N分别是A5和。。的中点，

AM=BM=-AB,CN=DN=-CD,

22

.1AM=CN,

四边形AMCN是平行四边形，

又•:AC=BC,

：.CM1AB,

：.ACMA=90°,

四边形AMCN是矩形；

【小问2详解】

解：,e•ZB=60°,BC=2,ZBMC=90°,

ZBCM=30°,

BM=—BC=1,CM=V22—I2=V3,

VAC=BC,CM!AB,

：.AB=2BM=2,

平行四边形ABC。的面积为ABxCM=2x6=2百.

【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形“三线合一”的性质、含30°角

的直角三角形的性质及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出

CMV加是解决问题的关键.

2

20.已知关于X的一元二次方程X+2mx+加2+根=o有实数根.

(1)求机的取值范围；

(2)若该方程的两个实数根分别为为、%，且才+云=12,求加的值.

【答案】(1)m<0；(2)冽=一2

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【解析】

【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即420求解即可；

（2）由韦达定理把芭+々和%尤2分别用含根的式子表示出来，然后根据完全平方公式将片+后=12变

形为（X1+%）2-2石々=12,再代入计算即可解出答案.

【详解】（1）由题意可得：A=（2m）2-4（m2+m）>0

解得：m<0

即实数m的取值范围是加<0.

（2）由％:+考=12可得：（石+%2『一2七入2=12

1

*.*%+/=—2m；x1x2-m+m

:.（-2m）2-2（疗+ni）=12

解得：机=3或机=一2

m<0

m——2

即m的值为-2.

【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当420时，方程有实数根；

（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键.

21.已知抛物线丁=2必—3x+机（机为常数）与％轴交于A3两点，且线段A3的长为g.

（1）求机的值；

（2）若该抛物线的顶点为尸，求DABP的面积.

【答案】（1）m=l

⑵工

32

【解析】

【分析】本题考查二次函数与面积综合问题，一元二次方程根与系数的关系.

3TH

（1）令2必—3x+m=0根据一元二次方程根与系数的关系得到XA+XB=5，XAXB=5，从而得到

9Q11?1

B

（xA+xBy=-,再根据线段A5的长为3,得到瓦-X|=］，进而得到（4-%）一=1,即可求解；

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3_1

（）由（）知相=求出抛物线顶点坐标为,根据口的面积为即可求解.

211,4，-8432

【小问1详解】

解：令2x?-3x+"z=0，

3m

..xA+xB=~,xAxB=-

29

2?2即彳:++机="

(xA+xB)'=XA+XB+2XAXB=-,4

11

/\z922,22，

\XA~XB)=+XB~^XAXB='即％T+Xj—机=[，

+42+"Z)一-+4-一=2,

【小问2详解】

]_

解：由（1）知m=1,则抛物线为丁=2炉—3x+l=2

8

3_1

抛物线顶点坐标为

4，-8

1111

一^OABP=:明泡=；X—X—=——

22832

22.某商场将进价为25元的台灯以40元出售，1月份销售256个，2、3月份销售量持续走高，在售价不

变的基础上，3月份的销售量达到400个.

（1）求2、3这两个月销售量的月平均增长率;

（2）该商场决定从4月份进行降价促销，经调查发现，台灯价格在3月份的基础上，每个降价1元，销售

量可增加4个，若商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，则台灯售价应定为多少元?

【答案】⑴25%；

(2)35元.

【解析】

【分析】（1）设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率为x,根据1月份销售256个，2、3月份销售

量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个，列一元二次方程，求解即可;

（2）设每个降价。元，根据商场要想使4月份销售这种台灯获利4200元，列一元二次方程，求解即可.

【小问1详解】

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解：设2、3这两个月销售量的月平均增长率为x,

则：256（1+x）2=400,

2

（l+x）=—

16

1+x=±—

4

xx=-2.25（舍），々=0.25,

答：2、3这两个月销售量的月平均增长率为25%.

【小问2详解】

解：设每个降价。元，

则：（40-67-25）X（400+4a）=4200,

整理得：/+85”450=0，

解得：ax=-90（舍），4=5，

所以售价=40-5=35元

答：售价定为35元在4月份可获利4200元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立相应的等量关系是解题的关键.

23.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的

点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”.

（1）函数y=3x-2是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”：

（2）已知二次函数y=a（x—+左图象可以由二次函数y=-Y平移得到，二次函数y=。（%一〃）？+左

的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”P（3,m）,求该二次函数的解析式：

（3）已知二次函数y=2（x—+d（c,d为常数，cwO）图象的顶点为V,与V轴交于点N,经过

35

点的直线/上存在无数个“朴实点”，当〃z—函数y=2（x—c）9~+Q有最小值E，求

m的值.

【答案】（1）“朴实点”为（1』），“沉毅点”为：（J；

（2）y=—（x—l）'+1或y=6）~+6

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、7

(3)m=±—

2

【解析】

【分析】(1)直接根据一次函数y=3x-2是一个“朴实沉毅函数”即可得出结论；

(2)先由平移确定出二次函数的。值，再由二次函数y=a(x-上的顶点就是一个“朴实点”,得

出力=左，二次函数y=a(x—〃)2+左图象经过一个“沉毅点”得出(3,-3),然后代入

y=-(x-k^+k,即可得出结论；

(3)由题意得，点M(c,d),求得点N的坐标为：(0,2c2+J),设直线MN的表达式为：

y=kx+2c2+d,将点M的坐标代入上式得：d=kc+2c-+d^直线MN的表达式为：

y=-2cx+2c2+d,由经过点M,N的直线/上存在无数个“朴实点”，即丁=%,则直线和，=尤

重合，解得：C=—d=--.从而抛物线的表达式为：y=2(x+^-]—进而得％=不可能在

22{2J22

X=加—1和x=加之间.分情况讨论即可得到答案.

【小问1详解】

解：由题意得：V=x,即y=3x-2=x,

解得：％=1,

“朴实点”为(1,1),

当％+y=0时，即3%—2+x=0,

解得：X=-,

2

；・“沉毅点”为：J；

【小问2详解】

解：二次函数y=a(x—力)？+左图象可以由二次函数y=-f平移得到，

a=-1

则抛物线的表达式为：y^-(x-h^+k.

•••抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即〃=跖

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抛物线的表达式为：y=—（x—

:还经过一个“沉毅点”P（3,m）,

即加=—3,

将点（3,-3）代入抛物线表达式得：贝ij一3=—（3-+h,

解得：力=1或6,

即抛物线的表达式为：y=-（x-l）2+l^j=-（^-6）2+6；

【小问3详解】

解：由题意得，点M（c,d）,

当x=0时，y=2（x-c）"+<7-2c~+d,

即点N的坐标为：（0,202+d）,

设直线MN的表达式为：y=kx+2c2+d,

将点M的坐标代入上式得：d=kc+2c2+d，解得：k=-2c,

直线MN的表达式为：y=-2cx+2c2+d,

•••经过点M,N的直线/上存在无数个“朴实点”，即丁=%,则直线MN和丁=%重合,

-2c=1且2c2+d=Q>

解得：c=—,d=—.

22

••・抛物线的表达式为：y=+

935

•・,当x工m,函数y=2（%一c）+d有最小值万，

•••抛物线在顶点处的最小值为-工，

2

X=—不可能在X=根—1和犬二机之间.

2

当加<---时，当X=机时，函数取得最小值，

2

日口」1丫135

I2J22

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75

解得：=――,m2=—(不合题意，舍去).

[I，

当t相一I>—时,

2

当％=加一1时，函数取得最小值，

HnJ।1Y135

I2)22

75

解得：叫=5，，%=—万(不合题意，舍去),

7

综上所述，相=土一.

2

【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质在新定义中的应用，新定义“朴实点”

和“沉毅点”的理解和掌握，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

24.如图，AB//CD,三角形瓦加的顶点E、顶点R分别在直线A3、直线CD上，点M在直线A5

与直线CD之间，平分NAEM.

(2)如图(2),已知点N为MF延长线上一点，且NBEM=NNEF=NN=20。,求NNFD的度数；

(3)在(2)问的条件下，将△MVE绕点R顺时针以每秒5。的速度旋转得到口FN'E'，当MV'落在射线

FD上时停止旋转，直接写出旋转过程中N'E'与AEFM的边平行时t的值.

【答案】(1)75

(2)ZNFD=140°

(3)/=4或『=16或/=32或/'=40

【解析】

【分析】本题考查了平行性的性质，旋转的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用这些知识.

(1)过点"作MG〃A